Matematyka krolowa nauk ;)

[Lieber Augustin]

Wystarczy więc, że nie pomyślisz o niedzieli;))

)
Cóż, jutro będę szczególnie starannie pilnował swojej głowy

Możemy więc do początkowej liczby dodać  80y z przedziału, który daje liczbę czterocyfrową i jest mniejszy od połowy tej końcowej liczby?

Noo... chyba niezupełnie, gdyż 80*10, 80*11, 80*12 to liczby trzycyfrowe, a mimo to dają w wyniku stosowne liczby początkowe.
Czy może nie o to Ci chodzi?
...trociny w głowie trochę się przegrzały i dymią

Tak. Z tym, że w drugiej linijce masz błąd - nie 1431, a 1710, ale wynik mnożenia dobry!;)))

Ożeż

Podchwytliwym przypadkiem jest liczba zaproponowana w zagadce: 2007?9
Można się pomylić przez nieuwagę.

Cóż tam takiego podchwytliwego? 9.
Wszak nie zero - zero jest zabronione do usunięcia

[olkapolka]

Wystarczy więc, że nie pomyślisz o niedzieli;))

)
Cóż, jutro będę szczególnie starannie pilnował swojej głowy

Głowy jak głowy...myśli...pilnuj myśli! Jak jeden Elektrycerz;)

Możemy więc do początkowej liczby dodać  80y z przedziału, który daje liczbę czterocyfrową i jest mniejszy od połowy tej końcowej liczby?

Noo... chyba niezupełnie, gdyż 80*10, 80*11, 80*12 to liczby trzycyfrowe, a mimo to dają w wyniku stosowne liczby początkowe.
Czy może nie o to Ci chodzi?
...trociny w głowie trochę się przegrzały i dymią

No właśnie - tamten brykiet, który uformowały uprzednie trociny już się spalił i nie wiem co miałam na myśli...ale chodziło chyba o to, że początkowa liczba musi być czterocyfrowa, a po dodaniu 80y dawać tę końcową - nie może jej przekroczyć. Z tą połową się nie zgadza.
Ale wyszła mi prawidłowość, że liczb spełniających działanie jest zawsze 10 i to kolejnych sum.
W zasadzie tak, jak Ty to podałeś.
Jak w naszym przykładzie - 3213 -  y należy do przedziału [10, 19]. Pierwsza liczba to 2413 (suma 10), ostatnia to 1693 (suma 19)
Y to suma cyfr początkowej liczby - max i min.
Pierwsza niepasująca i zarazem największa liczba dla y=9 to 2493 o sumie cyfr 18,  ostatnia niepasująca liczba dla y=20 to 1613 o sumie cyfr 11. Różnica tych sum to 7. A różnica y to 11. Ale to już wynika z tych pasujących.
Sprawdziłam kilka liczb i to zdaje się być prawidłowością.
Czyli:
- 10 liczb spełniających działanie i dających ten sam wynik
- suma cyfr tych liczb daje 10-elementowy ciąg y, y+1, ...,y+9 - łatwo znaleźć min i max
- różnica sum cyfr pierwszej (wyższej) i ostatniej (niższej) niepasujących liczb (błędnych wyników - nie dających wyniku przeprowadzonych działań) to 7, a różnica ich y to 11.
Dzięki tym info zadanie można ruszyć z innych poziomów? W sensie skomplikować je i zadać pytanie: jaka to liczba? wychodząc np. od najmniejszej niepasującej? Hę;))

Cóż tam takiego podchwytliwego? 9.
Wszak nie zero - zero jest zabronione do usunięcia 

Jasne - nic takiego - tylko dla nieuważnych możliwość popełnienia błędu z zerem.

[Lieber Augustin]

...ale chodziło chyba o to, że początkowa liczba musi być czterocyfrowa, a po dodaniu 80y dawać tę końcową - nie może jej przekroczyć.

W sensie że początkowa czterocyfrowa liczba po dodaniu 80y nie może stać się pięciocyfrową?
W zasadzie chyba może.
Na przykład, pomyślana 9997 daje końcową 12717. Tej liczbie odpowiada nie 10, tylko 11 liczb początkowych. Wartości y: przedział [15; 24], a ponadto 34.
Przy czym różnica sum cyfr pierwszej i ostatniej liczb niepasujących (tzn. tych od y=14 i 25; y=33 i 35)] wynosi już nie 7, tylko 9...

Jakaś wyższa arytmetyka

Dzięki tym info zadanie można ruszyć z innych poziomów? W sensie skomplikować je i zadać pytanie: jaka to liczba? wychodząc np. od najmniejszej niepasującej? Hę;))

Wygląda na to, że tak.
W każdym razie magik prowadzący zabawę może nie tylko podać brakującą cyferkę, a i zgadnąć pomyślaną liczbę w nie więcej niż 10, góra 11 próbach.
Za dodatkową opłatę, ma się rozumieć

[olkapolka]

...ale chodziło chyba o to, że początkowa liczba musi być czterocyfrowa, a po dodaniu 80y dawać tę końcową - nie może jej przekroczyć.

W sensie że początkowa czterocyfrowa liczba po dodaniu 80y nie może stać się pięciocyfrową?
W zasadzie chyba może.

W zasadzie to tak, ale ja napisałam o naszym szczególnym przypadku: 3213 i szukaniu do niej początkowej liczby.
3213 już jest tą liczbą, która "się stała"

W każdym razie magik prowadzący zabawę może nie tylko podać brakującą cyferkę, a i zgadnąć pomyślaną liczbę w nie więcej niż 10, góra 11 próbach.
Za dodatkową opłatę, ma się rozumieć

O! Może zrobimy tournee po Ukrainie i Polsce?)

[Lieber Augustin]

W zasadzie to tak, ale ja napisałam o naszym szczególnym przypadku: 3213 i szukaniu do niej początkowej liczby.
3213 już jest tą liczbą, która "się stała"

Aha...

Wiadomo, że początkowa liczba dla liczby 3213 musi być czterocyfrowa.
Wiadomo to stąd, że największa liczba trzycyfrowa przetworzona w zadany sposób daje 3159.
Możemy więc do początkowej liczby dodać  80y z przedziału, który daje liczbę czterocyfrową i jest mniejszy od połowy tej końcowej liczby?

Jeśli chodzi o to, czy nie da się przypadkiem wyprowadzić jakiś wzór na pasujące wartości y (w naszym przypadku przedział [10; 19]), zamiast mechanicznie podstawiać do równania po kolei liczby z ciągu 1, 2, 3, ..., 36, to... hm...
Nie wiem. Nie jestem pewien, że to jest w ogóle możliwe. Bądź co bądź, mamy równanie z dwoma zmiennymi x = 80y + const
Chociaż, ściśle rzecz biorąc, iks i igrek nie są zmiennymi w pełni niezależnymi...
Hmm...
Ciekawym, czy istnieje jakaś funkcja czy wzór na zależność między liczbą naturalną a sumą jej cyfr?

O! Może zrobimy tournee po Ukrainie i Polsce?)

Jestem za
A kto będzie magik, artysta, a kto - entrepreneur, czyli impresario?

[maziek]

Ja będę robił klakę oraz cichcem usuwał matematyków spośród przytomnych

[olkapolka]

W tym sęk - prawidłowość jest, ale czy ktoś ją zapisał w postaci jakiegoś wzoru/funkcji? Czy się da?
Z własności liczb N i sumy ich cyfr?
Znalazłam takie sumowanko (od strony 51 - suma cyfr - przykłady i własności):
https://www.researchgate.net/profile/Andrzej-Nowicki-2/publication/274069589_Cyfry_Liczb_Naturalnych/links/5513ffe90cf283ee08349e26/Cyfry-Liczb-Naturalnych.pdf
Ale czy coś z tego wynika?

Co do występów - akurat wczoraj zobaczyłam film o sztuczkach - "Prestiż":
https://www.filmweb.pl/film/Presti%C5%BC-2006-259945

Powiem Wam, że łatwo nie będzie...trup się ściele...konkurencja nie przebiera w środkach...potrzebujemy ochroniarza

[Lieber Augustin]

W tym sęk - prawidłowość jest, ale czy ktoś ją zapisał w postaci jakiegoś wzoru/funkcji? Czy się da?
Z własności liczb N i sumy ich cyfr?
Znalazłam takie sumowanko (od strony 51 - suma cyfr - przykłady i własności):
https://www.researchgate.net/profile/Andrzej-Nowicki-2/publication/274069589_Cyfry_Liczb_Naturalnych/links/5513ffe90cf283ee08349e26/Cyfry-Liczb-Naturalnych.pdf
Ale czy coś z tego wynika?

A czy ja wiem?
I tak, i nie.
Z jednej strony, mamy to sumowanko:

Imho niezły wzór.
Mimo że zawiera nieskończony szereg Σ_k=1;∞[n/10^k] i dlatego wygląda dość horrorystycznie , w praktyce jego zastosowanie nie sprawia większych trudności.
Rzecz w tym, że kwadratowe nawiasy oznaczają część całkowitą ilorazu n/10^k. A skoro tak, wystarczy sumować tylko kilka pierwszych składników szeregu, a reszta w grę nie wchodzi, gdyż są mniejsze od jedynki.
Na przykład, suma cyfr naszej liczby 3213:
3213/10=321,3. Część całkowita 321.
3213/100=32,13. -"- 32
3213/1000=3,213. -"- 3

s(3213)=3213 – 9*(321 + 32 + 3) = 9
Zgadza się.

Innymi słowy, mamy do dyspozycji swoisty operator s(x), który pozwala obliczyć sumę cyfr y dowolnej liczby x: y = s(x)
Równanie z dwiema zmiennymi
x + 80y = const
przybiera postać
x + 80*s(x) = const
Uff, nareszcie mamy równanie z jedną zmienna...

I co?
Głowę daję, tego typu równania nie da się rozwiązać analitycznie, podobnie jak nie da się rozwiązać analitycznie równania x + sin(x) = const
Za to chyba da się rozwiązać, stosując computational mathematics.
Na jedno wychodzi?..

Powiem Wam, że łatwo nie będzie...trup się ściele...konkurencja nie przebiera w środkach...potrzebujemy ochroniarza

Wspaniała trójka
Prawie muzykanci z Bremy

[Terminus]

Widzę, że towarzystwo się tu nieźle bawicie.
A od kiedy to
", podobnie jak nie da się rozwiązać analitycznie równania x + sin(x) = const"
że jak?
A da się rozwiązać analitycznie równanie x=const?

[Lieber Augustin]

A od kiedy to
", podobnie jak nie da się rozwiązać analitycznie równania x + sin(x) = const"
że jak?

Oczywiście nie wykluczono, że się pomyliłem...
Cóż, uprzejmie proszę o analityczne rozwiązanie równania
x + sin(x) = 5

Z góry dziękuję.

[Terminus]

Nie pomylił się Pan, ale tu nie o to chodziło. Chodziło mianowicie o to, czego często brakuje w rozmowach humanistów o matematyce, czyli ścisłość.
Bo pisząc x+sin(x)=const, nie zastrzegł Pan że const nie równa się 0, czyli nie wykluczył trywialnej wersji. Dla const=0 rozwiązanie istnieje (oczywiście x=0).
Jest to  (o czym zakładam, Pan doskonale wie), równanie przestępne (https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_przest%C4%99pne), więc w ogólności łatwego rozwiązania nie będzie.

Nie do końca także zgadzam się, że rozwiązania "analitycznego" nie będzie. Sęk w tym, że rozwiązanie przybliżone często jest w pewnym sensie analityczne, tj. w takim, w jakim możemy poznać jakąkolwiek liczbę rzeczywistą. Rozwiązaniem x+sin(x)=5 jest oczywiście x=5.61756 (to całe rozwinięcie), problem w tym że można to przedstawić jedynie nieskończonym szeregiem, który przypominać będzie wzór prof. Nowickiego przytoczony przez Olkępolkę, ale któremu sobie tu oszczędzimy

A mnie wypada przeprosić Pana za swój niemiły ton, miałem wtedy nie najlepszy dzień.
Z szacunkiem

[Lieber Augustin]

Nie ma Pan za co przepraszać.
Tym bardziej, że uważam Pańską uwagę dotyczącą ścisłości za całkiem słuszną. Jak to się mówi, Ordnung muß sein

Rozwiązaniem x+sin(x)=5 jest oczywiście x=5.61756 (to całe rozwinięcie), problem w tym że można to przedstawić jedynie nieskończonym szeregiem...

Idzie o rozwijanie funkcji sinus w szereg Taylora lub Maclaurina?

Z poważaniem

[maziek]

Jak robot może mieć nie najlepszy dzień? Korciło mnie napisać, że to nieporozumienie, ale stchórzyłem .

[Terminus]

@maziek: Oj może może, na przykład rezystory w obwodach odpowiedzialnych za emulowanie emocji mogą się przegrzać. A nuż wygrzmoci mi kondensator!
(PS. Zauwazyłeś, że wróciłem do awatara który miałem w okolicach 2004 roku? Odnaleziony gdzieś w backupie...)

@L.A.
Tak, chodzi o przedstawienie sinusa jako szeregu Taylora. Jak Pan wie, sinus ma wiele definicji. Jest ta szkolna czyli stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej, jest moja ulubiona z wykorzystaniem liczb zespolonych (sinx=(e^ix-e^-ix)/2), no i są te "najwłaściwsze", jako sumy szeregu. Funkcje tryg. mają to do siebie, że gdy Pan rozwinie np. w szereg Taylora, to n-ta pochodna będzie tylko sinusem lub cosinusem zależnie od parzystości (innej możliwości nie ma), zatem można rozwinąć sinx w nieskończony szereg Taylora w taki sposób, że po prawej stronie nie ma żadnej funkcji trygonometrycznej.
Zatem:
sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+...

Ciekawe jest to, iż możemy właśnie zdefiniować sinus w ten sposób. Czyli powiedzieć "sinx" to jest suma takiego szeregu, i szlus. Tak czy inaczej, w takiej sytuacji równanie x+sinx=5 można zapisać jako:

2x-5 -x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+... = 0

i takie równanie nie jest już przestępne:) No... z tym że ma nieskończenie wiele wyrazów. Niemniej, rozwiązanie jest znane z dowolną dokładnością, a szereg zbiega się do x=5.61756 i dalsze wyrazy rozwinięcia nie pojawiają się (o ile pamiętam) nawet przy zwiększaniu n. To mniej więcej miałem na myśli.

pozdrawiam

PS. Wzory takie jak ten prof. Nowickiego (którego nie znam, siedzę zbyt głęboko w matematyce stosowanej, i do tego nie w  Polsce, by z nim pracować. Prawdopodobnie nazwałby mnie fizykiem, haha.) są bardzo przyjemne w użyciu, wystarczy podstawiać kolejne n by to "wyczuć". Z kolei, jest nieskończenie (nieprzeliczalnie) wiele  liczb, których nie da się nijak "analitycznie" przedstawić inaczej, niż jako sumę nieskończonego szeregu (np. pi, e...) więc dla matematyków, taka liczba jest dobra, jak każda inna. Słowem, jak kto pokaże panu Kowalskiemu na ulicy zapis "16/9" to powie on "liczba". A jak ktoś pokaże matematykowi zapis "2x-5 -x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+... " to on powie dokładnie to samo (podczas gdy p. Kowalski podrapałby się w głowę). To, niestety, tworzy między "nami" i "nimi" pewną płaszczyznę na której często dochodzi do nieporozumień. Ale spoko, zdawać sobie z tego sprawę to już pierwszy krok.

[Lieber Augustin]

Jak Pan wie, sinus ma wiele definicji.

O, jak najbardziej. Do dziś pamiętam tę pierwszą, szkolną definicje. Akurat chodziło tam o okrąg jednostkowy, o punkt na tym okręgu, o wektor wodzący i jego obracanie, o rzutowanie końca tego wektora na oś rzędnych. Ech, młodość, młodość, lata szkolne...

...gdy Pan rozwinie np. w szereg Taylora, to n-ta pochodna będzie tylko sinusem lub cosinusem zależnie od parzystości (innej możliwości nie ma), zatem można rozwinąć sinx w nieskończony szereg Taylora w taki sposób, że po prawej stronie nie ma żadnej funkcji trygonometrycznej.
Zatem:
sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...

Drobna formalna uwaga: podany przez Pana szereg bardziej wygląda na szereg Maclaurina, nie?
Zresztą nie ma to większego znaczenia, gdyż szereg M. jest niczym innym, jak szczególnym przypadkiem szeregu Taylora.

2x-5 -x3/3!+x5/5!-x7/7!+... = 0

i takie równanie nie jest już przestępne:) No... z tym że ma nieskończenie wiele wyrazów.

Imho, nadal jest przestępne. Gdyż funkcja, przedstawiona sumą nieskończenie wielu wyrazów, nie jest funkcją algebraiczną. Innymi słowy, nieskończony szereg w danym wypadku to tylko inny "sposób pisania" przestępnej funkcji sinus.