Matematyka królowa nauk ;)

[maziek]

Jeśli piłeczki nieściśliwe to 68.


PS to mi nasunęło pytanie, mamy różne pudełka o wys. 1 cm, wszystkie o podstawie kwadratowej, różniące się długością boków podstawy co 1 cm. Dla którego pudełka ułożenie heksagonalne zaczyna być korzystniejsze?

[Lieber Augustin]

Piłeczki oczywiście nieściśliwe, a pudełko nierozciągliwe

Trochę niepokoi, że gdy układamy piłeczki w kolejności 8-7-8-7-...-8, wciąż pozostaje sporo wolnego miejsca między ostatnim, dziewiątym rzędem a krawędzią...
No dobra, a o ile milimetrów trza zwiększyć długość/szerokość pudełka, by zmieściło się 69 kulek?

[maziek]

Miejsca zostaje ~0,7 mm więc tak mocno grzechotać nie będą . Apropos pytania, czy:

- nie zmieniamy wysokości pudełka, wynosi ona zawsze 1 cm?
- pudełko ma pozostać kwadratowe w podstawie?
- ma zmieścić się dokładnie 69 kulek, czy co najmniej 69 kulek?

[Lieber Augustin]

Precyzuję:
- wysokość pudełka ta sama, 1cm;
- nie, nie kwadratowe, lecz prostokątne. Tzn. 8cm x (8+x)cm;
- dokładnie, ekhm, 69

[maziek]

- nie, nie kwadratowe, lecz prostokątne. Tzn. 8cm x (8+x)cm;

O, jeden wymiar musi pozostać 8 cm?

[Lieber Augustin]

O, jeden wymiar musi pozostać 8 cm?

No tak.

[maziek]

Nie mogę myśleć zbyt długo w tym momencie, ale wydaje mi się, że to nie ma rozwiązania. To znaczy można w jakimś porządku rozmieścić 69 kulek w prostokącie 8x(8+x) cm, gdzie x to całkowite centymetry, ale nie najściślej. Powiększenie pudełka o 1 cm w dowolnym kierunku spowoduje, przy układzie heksagonalnym, zwiększenie ilości kulek, jeśli "przesuw" będzie w kierunku, w którym brzegi kulek nie tworzą linii prostej, o 4 bądź 5. Zależnie czy układamy 8-7-... -8 czy 7-8-...-7. Ten drugi układ w pudełku 8x8 cm jest mniej korzystny, daje 67 kulek, ale po powiększeniu o 1 cm oba układy dają 72 kulki - o ile pudełko powiększy się w opisanym wyżej kierunku, bo w przeciwnym będzie to 75 kulek. Aczkolwiek po ułożeniu ściśle w 72 kulek nie będą się one mogły przemieścić, więc OK. Więc ostatecznie można te kulki rozmieścić nieheksagonalnie (albo heksagonalnie, ale przekręcone względem pudełka i będzie ich może 69, ale po potrząśnięciu ułożą się w plaster miodu i zostanie puste miejsce. Jeśli jednak istniej odpowiedź to nie pisz jaka, tylko napisz, że jest .

[Lieber Augustin]

Jeśli jednak istniej odpowiedź to nie pisz jaka, tylko napisz, że jest .

Kiedy nie wiem na pewno, że jest. Może mi się tak tylko wydaje, i gdzieś się machnąłem
Wg mnie, istnieje dość prosty sposób rozmieścić dokładnie 69 kulek, wydłużywszy jeden z boków pudełka o ~0,196 cm, czyli zaledwie o 2 mm.

[maziek]

Hm, z jednej strony to ja myślałem, że chodzi o wydłużenie o pełne cm (1,2 itd.), ale z drugiej nic nie umiem wymyślić, co by spełniało warunek zadania a równocześnie nie dawało się ciaśniej ułożyć, gdyby nawet niepełne cm stosować. Próbowałem z jakoś przekręconym układem heksagonalnym o np 15 stopni, ale po pierwsze nie wychodzi, po drugie puste miejsca spowodowałyby inne ułożenie kulek, gdyby pudełko postawić na którymś wąskim boku. Rozpatrywałem też wydłużenie JEDNEGO boku - po dodaniu 1 cm jednak wchodzą jeszcze 2 kulki, a poza tym Tobie chodzi o pudełko prostopadłościenne a nie o podstawie trapezu. Co prawda to rozwiązanie po zmniejszeniu wydłużenia jednego boku do ok. 6 mm pozwala wcisnąć jedną i tylko jedną kulkę, ale chyba nie o to mimo wszystko chodziło, a poza tym puste miejsca też spowodują inne naturalne ułożenie kulek. Ale 2 mm to już nie wiem . Więc tak, jestem gotów, zadaj proszę coup de grace!

[Lieber Augustin]

Oj, ja Cię proszę, jaki tam kup?
Take it easy

Nieśmiało proponuję następujące rozwiązanie: trzy rzędy układamy równiutko, tak że centra sąsiednich kulek tworzą wierzchołki kwadratu, a resztę - "miodowo-plastrowo", centra tworzą trójkąt równoboczny. Coś w ten deseń:



Sześć razy pierwiastek kwadratowy z trzech, przez dwa, plus trzy... równa się... mniej więcej 8,196.
Sześć razy osiem, plus trzy razy siedem... 69.
Pytanie mam tylko jedno, lecz zasadnicze: gdzie się walnąłem?

[maziek]

Haha, genialne, na to nie wpadłem   . Jednak umysł mi kamienieje...

[Lieber Augustin]

 Dzięks

O, a te postscriptum jakoś umknęło mojej uwadze. Dopiero teraz zauważyłem:

PS to mi nasunęło pytanie, mamy różne pudełka o wys. 1 cm, wszystkie o podstawie kwadratowej, różniące się długością boków podstawy co 1 cm. Dla którego pudełka ułożenie heksagonalne zaczyna być korzystniejsze?

Jutro. Jutro. Mam mózgownicę jak suszoną rybę tarańkę 




Wracamy do naszych baranów.
Na mój rozumek, heksagonalne ułożenie zaczyna być korzystniejsze właśnie poczynając od "kratki" 8x8.
W pewnym uproszczeniu: wysokość rzędu kulek w tetragonalnym ułożeniu jest równa 1, podczas gdy w heksagonalnym wynosi sqrt(3)/2. No i właśnie przy długości boku N=8 sumaryczna różnica
N*(1–sqrt(3)/2)
staje się większa od jedynki, co pozwala wcisnąć do pudełka dodatkowy, dziewiąty rząd kulek.

Tu dochodzi takie pytanie: no dobra, a czy przy dalszym wzroście N, dajmy na to, gdzieś w okolicach N=13..15, przewaga heksagonalności czasem nie zniknie? Wszak drugi dodatkowy rząd ukaże się dopiero przy N=16, a tymczasem ilość wolnego miejsca rośnie?
Cóż, sprawdźmy.

Niech dla uproszczenia długość boków podstawy w centymetrach N to liczba nieparzysta, większa od 8 i mniejsza od 16.
W tetragonalnym ułożeniu liczba kulek w pudełku to po prostu N².
W heksagonalnym połowa linijek są "długie", o N kulkach, a połowa "krótkie", o N–1 kulkach w rzędzie. Z uwzględnieniem dodatkowego rzędu, ogólna liczba kulek wynosi:
N(N+1)/2 + (N–1)(N+1)/2 = (N²+N+N²–1)/2 = N²+(N–1)/2

Tak czy owak, to więcej niż N². Czyli, poczynając od N=8, heksagonalne ułożenie forever number one

[xetras]

Moja odpowiedź #673 powinna była zakończyć dyskusję (podaję tylko numer mojej prezentacji, jak u Lema w omawianym Kongresie Futurologicznym). 

Zapytałem 3 różne AI o tę zagadkę, podając tekst w języku angielskim. Tylko chat w MS Bing odpowiedział poprawnie i wyjaśnił w jednym kroku, chociaż jest ono trochę dłuższe niż moje i bardziej przypomina jedną z wersji @maziek:

The store lost **USD 100**. Here's why:

1. The man stole USD 100 from the register, so the store was already down USD 100.
2. The man then used the stolen USD 100 to buy USD 70 worth of goods. So, the store essentially gave away USD 70 worth of goods for free.
3. The man also received USD 30 in change, which is an additional loss for the store.

So, if you add up the value of the stolen money (USD 100), the goods (USD 70), and the change (USD 30), it would seem like the store lost USD 200. However, since the goods and change were bought with the store's own stolen money, they are part of the initial USD 100 that was stolen. Therefore, the net loss for the store is **USD 100**.

ChatGPT 3.5 odpowiada jak @olapolka i @LA (a autorzy na YT nie są bynajmniej wiarygodni). A-Lem odpowiada jak mój kolega od ping-ponga, chyba nawet gorzej, bo raczej nie rozumie pytania.

Chciałem jednak pocieszyć biorących udział w dyskusji, że podobne perypetie z rozumowaniem mogą trwać latami między geniuszami i profesorami logiki. Przypomniał mi się jeden z panią Marilyn vos Savant (posiadała IQ > 180, jakiś czas była przewodniczącą MENSA), która otrzymywała obelżywe listy od profesorów a nawet petycje by nie mąciła ludziom w głowach co do problemu zwanego 'Monty hall problem': https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem. Angielski artykuł jest świetny i analizuje nawet błędy poznawcze występujące przy łamigłówkach związanych z prawdopodobieństwem warunkowym. Polska wersja jest też dostępna, ale znacznie krótsza. Polecam!

Finalną stratą realną w 2 postaciach jest stówa.
Lepiej stosować logikę chłopskiego rozumu niż rozkminiać.

[miazo]

Pytanie o dwa kółka z najnowszego odcinka Veritasium: The SAT Question Everyone Got Wrong.

Przyznam, że też wybrałem tę niewłaściwą odpowiedź.

[Lieber Augustin]

Przyznam, że też wybrałem tę niewłaściwą odpowiedź.

Ja też

Generalnie, przekładnie planetarne i inne układy typu "koło w kole" (koła Ezekiela), mimo swej pozornej prostoty, są trudne do ogarnięcia rozumem. Jakaś magia:
https://youtu.be/jfaMt090ulU

Przykładowo, taka prosta rzecz jak gąsienica czołgu. Przyznaję się, nie bardzo kapuję: jak może być tak, że jej dolna część leży nieruchomo na gruncie, podczas gdy górna częśż porusza się względem ziemi, i to z podwojoną prędkością pojazdu?..