Matematyka królowa nauk ;)

[olkapolka]

Wydaje mi się, że trzeba dostać wysokość całego trójkąta - wtedy z podobieństwa trójkątów wyjdzie nam bok kwadratu (z proporcji).

A żeby dostać wysokość - np. z funkcji trygonometrycznych - trzeba mieć miarę kąta miedza bokami 7.5 i 7.
Żeby dostać tę miarę może można z wzoru Herona obliczyć pole trójkąta:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Herona

Bo mamy dane tylko boki trójkąta.

Jak mamy to pole - to wstawiamy je do innego wzoru na pole trójkąta, w którym jest sinus. Mam na myśli wzór drugi:
https://www.matemaks.pl/wzory-na-pole-trojkata.html

Jak podstawimy pole, a, b - to wyjdzie nam sinus i odczytamy go z tabelki sinusów (można z niej korzystać?)  -dowiemy się jaką miarę ma kąt między bokami 7.5 i 7.

Wtedy z funkcji trygonometrycznych obliczymy h całego trójkąta i to podobieństwo trójkąta dużego i mniejszego? Z niewiadomą: bok kwadratu?

[maziek]

LA, czy zastosowałeś brute force (tw. cosinusów - znalezienie kąta itd.) czy coś sprytnie wymyśliłeś? Bo jak brute force to mi się nie chce, a jak coś wymyśliłeś to mi się chce (tylko nie mów co  ).

[olkapolka]

Przepraszam za bazgroły, ale o ile coś nie pokręciłam to 3.2?



To jest wg tego co wyżej napisałam: Heron, drugi wzór sinusowy na pole, H z funkcji trygo. w trójkącie prostokątnym i z podobieństwa trójkątów.

(tw. cosinusów - znalezienie kąta itd.)

Też myślałam o twierdzeniu cosinusów, ale chyba brak danych - albo trzeba by układać skomplikowane układy równań? Nie pasowało mi. Ale chętnie zobaczyłabym takie rozwiązanie.

Chociaż teraz jak tak patrzę - to mój drugi krok chyba można z cosinusów - wychodzi kąt bardziej 53 stopnie, bo cosinus 0.6 - kwestia zaokrągleń.
Taaa....zamiast pól można dostać ten kąt z cosinusów. Ok:)

[maziek]

E no da się spoko wg Twoich oznaczeń:


a2 = c2 + b2 - 2bc*cos(alfa)


po podstawieniu wychodzi cos(alfa) = 0,6


Kalkulator twierdzi, że wartość kąta dla takiego cosinusa to 53o7'48,37" (dokładnie takoż samo twierdzi dla śinusa z 0,8 ).


Brawo, zamiast gadać - zrobiłaś .

[olkapolka]

No tak - policzyłam - odpowiedziałam wyżej.

Prościej z cosinusów - nie trzeba tego wielkiego Herona i drugiego wzoru.
Ale jakieś 3 tygodnie temu miałam pacjenta z planimetrią i mi mąciły te wzory na pole - widząc trzy dane boki zaraz mi się ten H uruchomił:)

Już wiem dlaczego odrzuciłam te proste cos - bo wybrałam zły trójkąt - zamiast całego, to ten prostokątny z wysokością H. Zaćmienie.

[maziek]

Kurde, jak wygląda pacjent z planimetrią? Ekierka mu z czoła wystaje ?

[olkapolka]

Kurde, jak wygląda pacjent z planimetrią? Ekierka mu z czoła wystaje ?

W każdem taki pacjent bokiem wychodzi;)

[Lieber Augustin]

LA, czy zastosowałeś brute force (tw. cosinusów - znalezienie kąta itd.) czy coś sprytnie wymyśliłeś? Bo jak brute force to mi się nie chce, a jak coś wymyśliłeś to mi się chce (tylko nie mów co  ).

A bo ja wiem, sprytnie czy też nie?
W każdym razie bez cosinusów, natomiast zastosowałem nieco zmodyfikowany wzór Herona. No i poniekąd przydało się podobieństwo trójkątów. O, proszę:

Ale jakieś 3 tygodnie temu miałam pacjenta z planimetrią...

)))))
Planimetria ostra czy przewlekła?

Zuch jesteś, olka, biję brawa

[olkapolka]

Ale jakieś 3 tygodnie temu miałam pacjenta z planimetrią...

)))))
Planimetria ostra czy przewlekła?

Zuch jesteś, olka, biję brawa

Zdecydowanie: ostra:))))
Dzięki;)

Widzę, że każdy poszedł inną drogą.

Chociaż Ty podobnie do mnie - najpierw dwa wzory na pole, później podobieństwo trójkątów.
Ale na łatwiznę z tym podobieństwem nie poszedłeś;)

[maziek]

Bez śinusów jest szlachetniej. Ja mam jeszcze inną koncepcję zupełnie (jeometryczną), ale albo błędną, albo rozumek za mały .

[Lieber Augustin]

Bez śinusów jest szlachetniej.

A dzięki

Ja mam jeszcze inną koncepcję zupełnie (jeometryczną), ale albo błędną, albo rozumek za mały .

Zamieniam się w słuch. A ściślej, we wzrok

[maziek]

E no niestety mogę się relaksować obecnie odcinkowo - poranny odcinek pół godziny wcześniej w robocie zanim zadzwoni pierwszy telefon i wieczorny odcinek, o ile się przemogę, żeby nie oglądać durnowatych filmików na jutubie .


O proszę, zapadka zaskoczyła...
Wystarczy de wyjściowego trójkąta abc dobudować od spodu kwadrat na podstawie ab=7 m (i trójkąt podobny a'b'c tylko dla wizualizacji podobieństwa). Łącząc wierzchołek kwadratu 1' z wierzchołkiem trójkąta c dostajemy z podobieństwa punkt przecięcia 1 odpowiedniego wierzchołka szukanego kwadratu z podstawą trójkąta abc. No i to tyle, reszta to pionowa z 1 do przecięcia z ac w pkt. 4 i pozioma z tegoż punktu do przecięcia z bc w pkt 3 itd do pkt.2. Powinno dać się to przetłoczyć w równania, ale nie teraz...


PS 2 - jawi się oczywiście rozwiązanie z geometrii analitycznej, aczkolwiek mam wrażenie, że bardziej skomplikowane (w sensie ilości obliczeń) od zaproponowanych: zarys taki, że jeśli umieścić pkt. a w początku układu, to równania prostych ac i bc sądzę  da radę obliczyć z układu równań (znane pkt. przecięcia osi, znane długości ab i bc). Po czym można obliczyć równanie prostej c1'. Po czym punkt przecięcia tej prostej z OX. itd. Ale to nieeleganckie .

[Lieber Augustin]

Hm. No nie wiem.
Układ równań prostych ac, bc i ab chyba da się ułożyć, znając długości stron (7,5, 6,5 i 7 odpowiednio), oraz wysokość cH=6. Nawet bez kwadratu pod spodem.



Klasyczne równanie prostej w układzie współrzędnych Kartezjusza ma wygląd y = ax + b, gdzie współczynnik "a" to tangens kąta nachylenia prostej względem osi odciętych.
aH = sqrt (ac² – cH²) = sqrt (7,5² – 6²) = 4,5
bH = sqrt (bc² – cH²) = sqrt (6,5² – 6²) = 2,5

Dla prostej ac ów tangens wynosi cH/aH = 6/4,5 = 1,(3)
dla bc:  –cH/bH = –6/2,5 = –2,4
no i dla ab wynosi zero.

Wtedy układ równań wygląda następująco:
y = 1,(3)x
y = –2,4x + 7
y = 0

No i co z tym począć? Jak z tego wszystkiego ułożyć równanie c1' ?

[olkapolka]

Hmm...ale wysokości w zadaniu nie mamy podanej...a nawet gdyby...chyba coś knocę, ale punkt C powinien mieć współrzędne (4.5; 6) - skoro długość aH to 4.5, a wysokość  z wierzchołka C to H=6.

Jednocześnie punkt C jest punktem przecięcia prostych ac i bc czyli rozwiązując układ równań z Twoimi równaniami prostych
y = 1,(3)x
y = –2,4x + 7

powinniśmy dostać ten punkt C (4.5; 6) - a mnie tak nie wychodzi.
Dostaję punkt C (15/8; 2.5).

Gdzie robię błąd?
---------

Albo gdzie LA zrobił błąd?

W równaniu drugiej prostej? Znaczy prostej bc? Współczynnik b we wzorze funkcji liniowej to punkt przecięcia z osią OY - więc nie 7:)
7  to miejsce zerowe - przecięcie z OX

Wzór drugiej prostej - znaczy bc -  to y= -2.4x + 16.8:)

Współczynnik b obliczamy z wzoru na miejsce zerowe x= -b/a
x=7, a = -2.4...b wyliczamy

I teraz - punktem przecięcia prostej c1' jest miejsce zerowe...mamy punkt należący do tej prostej...i prostą ab z którą się przecina...to się da?

Pss...mnie też się wydaje, że się nie da - zazwyczaj jak jest jeden punkt to albo potrzeba długości boków do tego tg albo robi się z warunków równoległości/prostopadłości...chyba, że jakiś układ równań wieloniewiadomy? Nie wiem.

[Lieber Augustin]

Oczywiście to mea culpa
Jak Ty już słusznie napisałaś, wzór na prostą bc
y = –2,4(x–7) = –2,4x + 16,8

Errare humanum...