@ Hoko
pytanie, czy trzeba liczyć dla ujemnych: czy -4 jest wielokrotnością 2?
A diabli wiedzą. Z jednej strony, raczej nie. Bo wielokrotności liczby otrzymujesz mnożąc daną liczbę przez kolejne liczby naturalne. 0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej.
https://opracowania.pl/opracowania/matematyka/wielokrotnosci-liczb,oid,1874
Naturalne, znaczy dodatnie. Albo przynajmniej nieujemne.
Z drugiej - podejrzewam, nie bez kozery w zadaniu podano przykład [-pi]=-4
Może angolskie "multiple of n" to nie do końca to samo co polskie "wielokrotność n"? 
Tu piszą, że wielokrotności są naturalne i jakoweś całkowite, ale przykładów z ujemnymi nie znalazłem ani tu, ani nigdzie indziej.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielokrotno%C5%9B%C4%87No ale 1/1, 2/2 to też wielokrotności, a zero jest wielokrotnością każdej liczby. Czyli jeśli mam w portfelu 0zł, to mam wielokrotność dowolnie dużej kwoty. Ciekawe, co powiedzą na to w sklepie
https://www.math.edu.pl/dzielniki-wielokrotnosci*
Dobra, skoro nie możemy wejść drzwiami, spróbujmy oknem.
To będzie dalszy ciąg wcześnejszego dowodzenia.
Wykazaliśmy, że dla każdego a ∈ R+ {-Z+}
(czy jak to się tam oznacza rzeczywiste minus całkowite) istnieje takie n, że
[na] mod n ≠ 0
Potrzebujemy wykazać, że to wystarczy, ażeby było spełnione
([a] +[2a]+ ... + [na]) mod n ≠ 0
jeśli n=1
[an]=[a] i [a]mod1 = 0
więc
n=1 spełnia warunki zadania dla wszystkich a
def2
x mod y = r, 0 =< r < y, więc r mod y ≠ 0
def3
(x + z) mod y = ((x mod y) + (z mod y)) mod y
n ∈ N więc n posiada wartość najmniejszą n(min) = 1
co implikuje że
jeżeli w ciągu [a]+[2a]+..+[na] istnieją elenty n takie że
[na] mod n ≠ 0
to
istnieje pierwszy taki element, a w takim razie wszystkie wcześniejsze wyrażenia ciągu spełniają warunek
[na] mod n = 0
a co za tym idzie, spełnony jest warunek
([a]+[2a]+ ... + [(n-1)a]) mod n = 0
W takim razie, na mocy def2 i def3
([a] +[2a]+ ... + [(n-1)a] + [na]) mod n ≠ 0
Sprawdzajcie, a szczegółowo, bo oczywiście mogło mi się coś rypnąć
