Będąc Młodym Fizykiem...

[Lieber Augustin]

To jest możliwe, ale z drugiej strony nie wszystkie procesy zawierające "składnik chaotyczny" są z tego powodu chaotyczne. Wręcz przeciwnie, bardzo wiele nie (prawie całe nasze otoczenie). Oczywiście nie chcę tu ważyć, czy atmosfera nad naszymi głowami nie jest większa niż "całe nasze otoczenie" itp. tym niemniej składowa chaotyczna nie zawsze prowadzi do chaosu.

Przyznaję, nie do końca zrozumiałem tę Twoją myśl, maźku. Wydaje się, skoro "stała + zmienna = zmienna", to tak samo, per analogiam, "porządek + chaos = chaos"...
Prawie całe nasze otoczenie – nie? szczerze pisząc, jestem nieco zdziwiony, gdyż myślałem, że porządek to raczej wyjątek z reguły w naszym świecie. Coś w rodzaju wysepki w oceanie chaosu. Ale może się myliłem?

To bardzo trudne pytanie. Raczej filozoficzne (pozostanie bez odpowiedzi). Na początek, czy w ogóle matematyka może opisywać rzeczywistość (jako "język" fizyki)? Czy tylko zgadza się z nią z bardzo dobrym przybliżeniem (ale jednak przybliżeniem)?

Zgadza się z bardzo dobrym przybliżeniem. Z dokładnością do nieskończenie małej. Ale fizyka chyba nie ma tu nic do rzeczy, bo nawet w swojej własnej dziedzinie matematyka jest nauką poniekąd nieścisłą. Nawet takiej czysto matematycznej, nie fizycznej, wielkości jak pole powierzchni koła nie można obliczyć ściśle, tylko z dokladnością do tej samej nieskończenie małej.
W odniesieniu do świata fizycznego matematykę można w pewnym sensie porównać do przyrządu pomiarowego. Metrologia uczy, że precyzja pomiaru nie może być wyższa, niż na to pozwala klasa dokładności przyrządu.

Na pewno tak było i musiało być, jeśli proces był stochastyczny, jak piszesz. Proces stochastyczny to taki, w którym każdy kolejny stan jest losowy w stosunku do poprzedniego. Rzucając monetą (co jest chyba najprostszym przykładem takiego procesu) nie jesteś w stanie nigdy przewidzieć wyniku następnego rzutu.

O ile dobrze wiem, dowolny komputerowy model procesu stochastycznego z zasady nie może być w pełni „stochastycznym”. Tak samo jak dowolny programowy generator liczb losowych jest w istocie generatorem pseudolosowym, opartym o jakiś określony algorytm. A wygenerowany w taki sposób ciąg liczb zawsze cechuje pewna ukryta prawidłowość. Innymi słowy, komputer modeluje nie proces losowy, tylko niby-losowy. Czyli w pewnym sensie „chaotyczny deterministycznie”, jeśli można tak powiedzieć.

A zatem, gdyby to co pisałem o niezbieżności rezultatów kolejnych symulacji było prawdą, a nie błędem technicznym lub metodologicznym, to chyba nie dlatego, że modelowany proces był stochastyczny. Przyczyna leży gdzie indziej. Diabli wiedzą gdzie...

W chaosie deterministycznym kolejny stan można przewidzieć z dowolną precyzją (zależną tylko od "długości kartki", na której zamierzasz zapisać wynik). To jest właśnie najbardziej niesamowite, że matematyczne wzory obliczane do najdalszego możliwego miejsca po przecinku dają w efekcie chaos, mimo, że każde "posunięcie" jest ścisłe i deterministyczne.

i

...wiemy, że znane prawa rządzące danym zjawiskiem z matematyczną ścisłością prowadzą do chaosu deterministycznego - czyli najmniejsza odchyłka w warunkach początkowych musi doprowadzić do rozejścia się efektów? W matematyce (komputerze) jest to możliwe - ale czy możliwe to jest w fizyce? Nasze możliwości w zakresie zapewnienia ilości miejsc po przecinku są znacznie większe, niż możliwości w zakresie precyzyjnego pomiaru realnych wartości. Tzn. dokładność pomiaru jest np. 12 miejsc po przecinku, a liczyć możemy liczby znacznie, znacznie dłuższe - a i tak wychodzi z tego chaos.

Hm. Z dowolną precyzją...
Przeprowadźmy eksperyment myślowy. Ot, my mamy do dyspozycji komputer o niezwykle dużej, może nieskończonej mocy obliczeniowej i pamięci, i modelujemy chaos deterministyczny. Wprowadzamy do maszyny dane wejściowe z dokładnością do 5 miejsca po przecinku i otrzymujemy w wyniku taki a taki stan układu. Następnie wprowadzamy te same dane, ale z dokładnością do 10, 20, 30, 100, n-tego miejsca. Zakładamy, że podczas obliczeń maszyna nie zaokrągla danych.

Jak sądzisz, maźku, wyniki za każdym razem będą zasadniczo różnić się od siebie, jak w modelu Lorenza? I to ad infinitum? Czy też po osiągnięciu pewnej określonej dokładności danych wejściowych – nie będą? W sensie, chaotycznych, „katastrofalnych” zmian w układzie już nie będzie? I jeśli to drugie, to jakiego rzędu wielkości może być owa „granica precyzji”?

[maziek]

Przyznaję, nie do końca zrozumiałem tę Twoją myśl, maźku. Wydaje się, skoro "stała + zmienna = zmienna", to tak samo, per analogiam, "porządek + chaos = chaos"...

No to wyobraź sobie takie doświadczenie - jest sprężyna, za pomocą której wystrzeliwujesz kulki. To za jaką siłą kulka jest wystrzelona zależy od rzutu monetą. Albo jest to większa siła, albo mniejsza (0-1). Niezależnie od siły, kulki i tak wlecą do dużej miski, na spodzie której jest dziurka, którą to dziurką trafią z powrotem na sprężynę. Jest tu chaos? A teraz wyobraź sobie drugie doświadczenie, sprężyna jak poprzednio wystrzeliwuje kulki, ale tym razem z możliwie największą powtarzalnością, deterministycznie. Tym razem trafiają one jednak na szpic stożka i staczają się po jego zboczu do czterech innych sprężyn - a w około są inne takie same stożki ze sprężynami - jest determinizm?

Zgadza się z bardzo dobrym przybliżeniem. Z dokładnością do nieskończenie małej.

Ok, choć moim zdaniem "nieskończenie" to założenie, a nie fakt (nie wiadomo doświadczalnie, z jaką dokładnością). Tym niemniej charakter cyklicznych procesów chaotycznych jest taki, (matematycznie), że NIE WAŻNE na którym miejscu po przecinku wystąpi różnica - i tak po iluś iteracjach doprowadzi do rozjechania się obliczeń.

Ale fizyka chyba nie ma tu nic do rzeczy, bo nawet w swojej własnej dziedzinie matematyka jest nauką poniekąd nieścisłą. Nawet takiej czysto matematycznej, nie fizycznej, wielkości jak pole powierzchni koła nie można obliczyć ściśle, tylko z dokladnością do tej samej nieskończenie małej.

Nie wiem, czy można to mieszać, w tym kierunku. Ściśle pole koła to jest 2Pir. Możesz tego użyć w obliczeniach i Ci się to Pi np. skróci i nie bedzie żadnej dokładności tylko liczba całkowita. Tzn. to jest tak, jakbyś miał za zadanie mierzyć centymetrem krawieckim mikronowe średnice. Tzn. na odwrót, jakbyś miał mikrometrem (matematyką) mierzyć kilometry (fizykę). Mówię tu o możliwościach pomiarowych (rzeczywistych) vs możliwości obliczeniowe.

W odniesieniu do świata fizycznego matematykę można w pewnym sensie porównać do przyrządu pomiarowego. Metrologia uczy, że precyzja pomiaru nie może być wyższa, niż na to pozwala klasa dokładności przyrządu.

Chaos deterministyczny jest ponad to. Masz liczby i wzory, niczego nie mierzysz (żadnej fizyki), prowadzisz tylko obliczenia - mimo to wychodzi chaos. Możliwe, że "fizyka" też jest chaotyczna - ale nawet, gdyby była deterministyczna nie byłbyś w stanie tego stwierdzić, bo deterministyczne równania po iluś iteracjach nieuchronnie prowadzą do chaosu i jest to mniej więcej taka nieusuwalna zasada jak zasada nieoznaczoności.

A wygenerowany w taki sposób ciąg liczb zawsze cechuje pewna ukryta prawidłowość. Innymi słowy, komputer modeluje nie proces losowy, tylko niby-losowy. Czyli w pewnym sensie „chaotyczny deterministycznie”, jeśli można tak powiedzieć.

Zapewne tak, ale zgodzisz się, że nawet kiepski pseudolosowy generator nie będzie losował tych samych liczb za każdym razem od początku?

A zatem, gdyby to co pisałem o niezbieżności rezultatów kolejnych symulacji było prawdą, a nie błędem technicznym lub metodologicznym, to chyba nie dlatego, że modelowany proces był stochastyczny. Przyczyna leży gdzie indziej. Diabli wiedzą gdzie...

Jest bardzo wiele procesów, w których średnia (jakiej można oczekiwać) nie jest zbliżona do żadnego faktycznego wyniku. Weź taki proces - wybierasz kartę, sprawdzasz kolor, idziesz karo-kier-pik-trefl - północ-wschód-południe-zachód 1 krok, losujesz kartę, idziesz jak wyżej 10 kroków, kolejną 100 kroków...

Jak sądzisz, maźku, wyniki za każdym razem będą zasadniczo różnić się od siebie, jak w modelu Lorenza? I to ad infinitum?

Sądzę, że ad infinitum. Oczywiście, im większa precyzja, tym później.

[Lieber Augustin]

No to wyobraź sobie takie doświadczenie - jest sprężyna, za pomocą której wystrzeliwujesz kulki. To za jaką siłą kulka jest wystrzelona zależy od rzutu monetą. Albo jest to większa siła, albo mniejsza (0-1). Niezależnie od siły, kulki i tak wlecą do dużej miski, na spodzie której jest dziurka, którą to dziurką trafią z powrotem na sprężynę. Jest tu chaos? A teraz wyobraź sobie drugie doświadczenie, sprężyna jak poprzednio wystrzeliwuje kulki, ale tym razem z możliwie największą powtarzalnością, deterministycznie. Tym razem trafiają one jednak na szpic stożka i staczają się po jego zboczu do czterech innych sprężyn - a w około są inne takie same stożki ze sprężynami - jest determinizm?

Wygląda na to, że masz rację.
Chociaż... Hm. Chaos to druga nazwa entropii. W pierwszym doświadczeniu chaos rzucania monetą znika, zamienia się w porządek. Czyli entropia układu maleje. Zatem układ nie jest zamknięty, ergo chaos pozostaje nadal, tyle że przybiera jakąś inną postać. Być może, cała rzecz w dopływie energii, niezbędnej dla podniesienia kulki na poziom sprężyny?

Ściśle pole koła to jest 2Pir.

Nie przerażaj mnie, maźku. Pierkwadrat

Możesz tego użyć w obliczeniach i Ci się to Pi np. skróci i nie bedzie żadnej dokładności tylko liczba całkowita. Tzn. to jest tak, jakbyś miał za zadanie mierzyć centymetrem krawieckim mikronowe średnice. Tzn. na odwrót, jakbyś miał mikrometrem (matematyką) mierzyć kilometry (fizykę). Mówię tu o możliwościach pomiarowych (rzeczywistych) vs możliwości obliczeniowe.

Tak, zdarza się, że owo niewymierne Pi się skraca. Jak w przypadku np. księżyców Hipokratesa, ale to raczej przypadek szczególny.
A co do mikrometra i kilometrów, powiedziałbym tak: możliwości obliczeniowe jako takie, do diabli wiedzą jakiego miejsca po przecinku, jeszcze o niczym nie świadczą. Gdy mówię o matematyce jako „narzędziu pomiarowym”, mam na myśli model matematyczny zjawiska fizycznego, który może być mniej lub więcej „precyzyjny”.
Dajmy na to, niezbyt dokładny model geocentryczny Ptolemeusza został zastąpiony przez mechanikę nieba Keplera i Newtona, która znacznie lepiej tłumaczy fakty obserwowalne. A ta z kolei, ze względu na drobną niezgodność z obserwowanym ruchem Merkurego – przez mechanikę relatywistyczną. Słyszałem, że tamta też jest z czymś tam niezgodna i potrzebuje modyfikacji albo i zastąpienia przez inną.

Z tego wniosek: wystarczy, żeby precyzja modelu matematycznego była nie mniejsza, niż precyzja pomiaru.

Chaos deterministyczny jest ponad to. Masz liczby i wzory, niczego nie mierzysz (żadnej fizyki), prowadzisz tylko obliczenia - mimo to wychodzi chaos. Możliwe, że "fizyka" też jest chaotyczna - ale nawet, gdyby była deterministyczna nie byłbyś w stanie tego stwierdzić, bo deterministyczne równania po iluś iteracjach nieuchronnie prowadzą do chaosu i jest to mniej więcej taka nieusuwalna zasada jak zasada nieoznaczoności.

Wygląda na to, że twórca zasady nieoznaczoności też zastanawiał się nad takimi rzeczami. Zacytuję jeszcze raz, bo podoba mi się ten aforyzm
„Po śmierci, gdy spotkam Boga osobiście, zapytam go o dwie rzeczy. Po pierwsze – jak skwantować grawitację, a po drugie – jak matematycznie opisać turbulencję. Może zna odpowiedź na pierwsze pytanie, ale na pewno nie odpowie na drugie.”

Skomplikowana zagadka, nie na mój rozumek. Czy matematyka rządzi światem, i chaos w świecie fizycznym istnieje o tyle, ponieważ w matematyce istnieją pojęcia iteracji i układów funkcji rekurencyjnych o dodatnim wykładniku Lapunowa? Czy też odwrotnie – jaki świat, taka w nim i matematyka?

Edit: apropos tego ostatniego istnieje krótkie żartobliwe opowiadanie: https://www.litmir.me/br/?b=71801

Zapewne tak, ale zgodzisz się, że nawet kiepski pseudolosowy generator nie będzie losował tych samych liczb za każdym razem od początku?

Tego nie wiem, maźku. Ale skoro tak, to niejasne, na czym polega zasadnicza różnica między pseudolosowym generatorem i symulatorem trzech ciał:

Jeżeli na dwóch identycznych kompach jednocześnie uruchomić, dajmy na to, program-symulator ruchu grawitacyjnego trzech ciał, to orbity ciał na obydwu monitorach podobno utworzą identyczny deseń? Tak czy nie? I jeśli nie, to dlaczego?

Tak powinno być, jeśli te programy i komputery są identyczne...

Jak sądzisz, maźku, wyniki za każdym razem będą zasadniczo różnić się od siebie, jak w modelu Lorenza? I to ad infinitum?

Sądzę, że ad infinitum.

Za przeproszeniem, a czy nie ma tu sprzeczności z powyższym?

W chaosie deterministycznym kolejny stan można przewidzieć z dowolną precyzją (zależną tylko od "długości kartki", na której zamierzasz zapisać wynik).

[maziek]

W pierwszym doświadczeniu chaos rzucania monetą znika, zamienia się w porządek. Czyli entropia układu maleje.

Bo ja wiem, czy maleje: z punktu widzenia termodynamiki masz w zasadzie to samo, uporządkowana energia (do naciągania spreżyny) zamienia się w ciepło, kiedy kulka znieruchomieje. To my w tym przypadku myślowo wyróżniamy jakiś stan, a nie wyróżnia się on sam przeciwnie naturze (na zasadzie demona termodynamicznego) - że np. warunki strzału są stochastyczne a punkt uderzenia kulki w cel się samodzielnie porządkuje.

Nie przerażaj mnie, maźku. Pierkwadrat

Haha, o matko jedyna . Nie martw się, w tym wypadku to jednak tylko zajęcie łba czym innym, jeszcze nie skleroza . Ale to piękne, zawsze jak będzie mi się wydawało że jestem taki mądry, to mogę teraz sobie przypomnieć, że napisałem iż pole koła to 2Pir .

Gdy mówię o matematyce jako „narzędziu pomiarowym”, mam na myśli model matematyczny zjawiska fizycznego, który może być mniej lub więcej „precyzyjny”. Dajmy na to, niezbyt dokładny model geocentryczny Ptolemeusza został zastąpiony przez mechanikę nieba Keplera i Newtona, która znacznie lepiej tłumaczy fakty obserwowalne. A ta z kolei, ze względu na drobną niezgodność z obserwowanym ruchem Merkurego – przez mechanikę relatywistyczną. Słyszałem, że tamta też jest z czymś tam niezgodna i potrzebuje modyfikacji albo i zastąpienia przez inną.

No ale to nie wina matematyki w tym wypadku, że są pewne zastrzeżenia do OTW - w zasadzie tego rodzaju, że zakładamy, że powinna być jedna teoria wszystkiego, a więc OTW jako "niekwantowa" nie może być ostateczna. Sporo o tym pisał Hawking. To jest kwestia modelu a nie samej matematyki.

Natomiast tu jest problem w samej matematyce. Pewne równania, biorące cyklicznie własny wynik za kolejną zmienną, mimo, że są ścisłe i deterministyczne (nie zawierają elementu stochastycznego) - i mimo, że ten wynik zawiera się w pewnej ograniczonej przestrzeni (wyniki nie rozbiegają się do nieskończoności mówiąc w uproszczeniu) - prowadzą po wielu iteracjach do rozejścia się wyników o ile tylko w którymkolwiek miejscu, bardzo daleko po przecinku zmieniono jakąś cyfrę. Zwykle przeprowadza się obliczenia (inżynieryjne) do 2 - 3 miejsc po przecinku i świat się jakoś nie wali.

Z tego wniosek: wystarczy, żeby precyzja modelu matematycznego była nie mniejsza, niż precyzja pomiaru.

Na ogół tak, ale nie w chaosie deterministycznym. Możesz jako wartości początkowe wprowadzić liczby całkowite - o ile tylko model nie produkuje w wynikach wyłącznie liczb całkowitych, to w drugim czy trzecim kroku pojawią się liczby, które komputer będzie musiał skrócić. Różnica pozycji, w której zachodzi skrócenie, niezależnie od odległości tej pozycji od przecinka, powoduje, że po wielu iteracjach wynik będzie inny.

„Po śmierci, gdy spotkam Boga osobiście, zapytam go o dwie rzeczy. Po pierwsze – jak skwantować grawitację, a po drugie – jak matematycznie opisać turbulencję. Może zna odpowiedź na pierwsze pytanie, ale na pewno nie odpowie na drugie.”

.

Skomplikowana zagadka, nie na mój rozumek. Czy matematyka rządzi światem, i chaos w świecie fizycznym istnieje o tyle, ponieważ w matematyce istnieją pojęcia iteracji i układów funkcji rekurencyjnych o dodatnim wykładniku Lapunowa? Czy też odwrotnie – jaki świat, taka w nim i matematyka?

No, to jest ciekawe. Nie wiem w zasadzie co powiedzieć mądrego, bo czuję się głupi , czyli jak to określiłeś, czuję, że to nie mój rozumek . Wydaje mi się, że zjawiska zachodzą tak jak zachodzą, i to że powiedzmy, nie da się zapisać liczbą na żadnej kartce papieru całego pola prawdziwego koła o promieniu 1 nie oznacza, że pole to nie ma jakiegoś określonego pola "skończonego" w tym sensie, że jest ono unikatowe i jedyne dla tego własnie promienia i wszelkie inne koła będą miały inne pole, choćby promień ich różnił się nieskończoność minus jeden miejsc po przecinku. Z drugiej strony wydaje mi się, że zjawiska muszą zachodzić według pewnego "rastra", nie wiem jak to lepiej określić, ale nie mogą zachodzić byle jak, tylko muszą być pewne ruchy dozwolone i inne niedozwolone, bo na logikę inaczej wszystko to nie miałoby sensu. I skoro tak, co co innego mogłoby być tym "rastrem", jak nie matematyka?

Czy to nie diabelska sprawka, że gmach matematyki, ta "zamrożona muzyka" wali się, bo nie ma nieskończenie długich kartek papieru?

Edit: apropos tego ostatniego istnieje krótkie żartobliwe opowiadanie: https://www.litmir.me/br/?b=71801

Spróbuje jutro przyswoić .

Zapewne tak, ale zgodzisz się, że nawet kiepski pseudolosowy generator nie będzie losował tych samych liczb za każdym razem od początku?

Tego nie wiem, maźku. Ale skoro tak, to niejasne, na czym polega zasadnicza różnica między pseudolosowym generatorem i symulatorem trzech ciał

Zły pseudolosowy generator to jest generator, który nierównomiernie rozkłada prawdopodobieństwo wylosowania poszczególnych liczb. Przekładając to na rzucanie monetą zła moneta to jest taka, która rzucona upada częściej na daną stronę. Ale - jednak - nawet strasznie zła moneta, taka upadająca 99% razy na orła, nie pozwala przewidzieć deterministycznie kolejnego rzutu, zgodzisz się? Podobnie kiepski generator losowy, o ile nie jest tylko nagranym ciągiem liczb podawanych w pętli, będzie "wyrzucał" niektóre liczby częściej. Tym niemniej nawet w tym wypadku liczb tych nie da się deterministycznie przewidzieć z ruchu na ruch. Mimo, że wykazują one statystyczną prawidłowość (na przykład, że większość z nich jest większa od 0,5, zakładając, że te pseudolosowe liczby to tradycyjnie z przedziału <0,1>).

Jak sądzisz, maźku, wyniki za każdym razem będą zasadniczo różnić się od siebie, jak w modelu Lorenza? I to ad infinitum?

Sądzę, że ad infinitum.

Za przeproszeniem, a czy nie ma tu sprzeczności z powyższym?

W chaosie deterministycznym kolejny stan można przewidzieć z dowolną precyzją (zależną tylko od "długości kartki", na której zamierzasz zapisać wynik).

Dlaczego, przybliż proszę, bo nie rozumiem problemu?

[Lieber Augustin]

No, to jest ciekawe. Nie wiem w zasadzie co powiedzieć mądrego, bo czuję się głupi   , czyli jak to określiłeś, czuję, że to nie mój rozumek . Wydaje mi się, że zjawiska zachodzą tak jak zachodzą, i to że powiedzmy, nie da się zapisać liczbą na żadnej kartce papieru całego pola prawdziwego koła o promieniu 1 nie oznacza, że pole to nie ma jakiegoś określonego pola "skończonego" w tym sensie, że jest ono unikatowe i jedyne dla tego własnie promienia i wszelkie inne koła będą miały inne pole, choćby promień ich różnił się nieskończoność minus jeden miejsc po przecinku. Z drugiej strony wydaje mi się, że zjawiska muszą zachodzić według pewnego "rastra", nie wiem jak to lepiej określić, ale nie mogą zachodzić byle jak, tylko muszą być pewne ruchy dozwolone i inne niedozwolone, bo na logikę inaczej wszystko to nie miałoby sensu. I skoro tak, co co innego mogłoby być tym "rastrem", jak nie matematyka?

Och, kwadratura koła. Trociny sypią się ze łba Raster... pikseli... prostokątna siatka...A wiesz co, matematyka matematyką, a natura nie lubi "głupiej nieskończoności". Skoro istnieje planckowski kwant długości rzędu 10-33 cm, musi istnieć również kwant pola (powierzchni) 10-66 cm2. Zatem wszelkie inne koła mogą różnić się od danego nie mniej niż o te same 10-66 cm2. Lemat: pole koła o średnicy 1,616229(38)*10-33 cm jest równe polu kwadrata o tym samym boku

Zły pseudolosowy generator to jest generator, który nierównomiernie rozkłada prawdopodobieństwo wylosowania poszczególnych liczb. Przekładając to na rzucanie monetą zła moneta to jest taka, która rzucona upada częściej na daną stronę. Ale - jednak - nawet strasznie zła moneta, taka upadająca 99% razy na orła, nie pozwala przewidzieć deterministycznie kolejnego rzutu, zgodzisz się? Podobnie kiepski generator losowy, o ile nie jest tylko nagranym ciągiem liczb podawanych w pętli, będzie "wyrzucał" niektóre liczby częściej. Tym niemniej nawet w tym wypadku liczb tych nie da się deterministycznie przewidzieć z ruchu na ruch. Mimo, że wykazują one statystyczną prawidłowość (na przykład, że większość z nich jest większa od 0,5, zakładając, że te pseudolosowe liczby to tradycyjnie z przedziału <0,1>).

W moim mniemaniu, zły losowy pseudogenerator to nie taki, który, podobnie jak zła moneta, preferuje jedynki lub zera, lecz taki, co działa w oparciu o ściśle określony, „deterministyczny” algorytm. W rezultacie czego wygenerowany ciąg liczb robi się przewidywalny, a zatem i powtarzalny.Taki przykład. Można wyobrazić sobie generator, który oblicza cyfry liczby Pihttp://www.numberworld.org/y-cruncher/Poszczególne cyfry ułamku tworzą ciąg liczb na pozór jak najbardziej losowych. Taki ciąg nie wykazuje żadnych prawidłowości, jest nieskończony, nie-okresowy (może lepiej byłoby powiedzieć „nieperiodyczny”?). Jeżeli przedstawić ciąg w postaci binarnej, jedynek i zer prawdopodobnie będzie pół na pół.A jednak nie byłby to generator liczb losowych, gdyż wartość każdej kolejnej liczby jest z góry przesądzona. Każdy raz po uruchomieniu generator odtworzy dokładnie ten sam ciąg.Czy tak samo jest w rzeczywistości, z istniejącymi programowymi generatorami? Nie wiem. Podejrzewam, że tak.Bardziej ogólnie: czy da się - w zasadzie - stworzyć programowy generator liczb losowych? Prawdziwych losowych, a nie pseudo. Mam na myśli, w oparciu o algorytmy rekurencyjne, iteracyjne, „chaotyczne deterministycznie”. Czy da się przy pomocy komputera modelować chaos?Jeśli tak, modelowanie komputerowe chaotycznego ruchu trzech ciał ma sens, bo ruch „komputerowy” niczym zasadniczo nie różni się od ruchu realnego, fizycznego. I wówczas można badać, czy przy jednakowych warunkach początkowych układ zachowuje się w kolejnych doświadczeniach tak samo, czy też nie.Jeśli zaś śię nie da, takie badanie traci sens, i owa symulacja jest czymś w rodzaju pięknej gifki, i niczym więcej.

Dlaczego, przybliż proszę, bo nie rozumiem problemu?

Przepraszam, użyłem skrotu myślowego.  Chodziło mi o to, że z jednej strony, wg Ciebie, „w chaosie deterministycznym kolejny stan można przewidzieć z dowolną precyzją (zależną tylko od "długości kartki", na której zamierzasz zapisać wynik)”. Zrozumiałem to w taki sposób, że w chaosie d. stan układu teoretycznie można przewidzieć, to tylko kwestia dokładności danych wejściowych, „długości kartki”. Właśnie dlatego ten chaos nosi nazwę „deterministycznego”.Z drugiej zaś strony, jak Ty sam się zgodziłeś, w miarę wzrostu dokładności danych ów stan nie zmierza do stabilności. Odwrotnie, zmienia się chaotycznie i nieprzewidywalnie, nawet gdy „długość kartki” dąży do nieskończoności. Czyli jest z zasady nieprzewidywalny.Sprzeczność? Czy może źle zrozumiałem Twoją myśl?


edit maziek - sorry, zamiast odpowiedzieć na Twój post pomyłkowo edytowałem go . Przepraszam, chyba udało mi się doprowadzić do pierwotnego wyglądu.

[maziek]

A wiesz co, matematyka matematyką, a natura nie lubi "głupiej nieskończoności". Skoro istnieje planckowski kwant długości rzędu 10-33 cm, musi istnieć również kwant pola (powierzchni) 10-66 cm2. Zatem wszelkie inne koła mogą różnić się od danego nie mniej niż o te same 10-66 cm2.

Mam podobne myśli .

W moim mniemaniu, zły losowy pseudogenerator...

Masz rację, żyłem w mniemaniu, że każdy generator "sztuczny" jest z definicji pseudolosowy. Tymczasem widzę, że definicja jest dzieląca na "matematyczne" (mające cechy o których piszesz) i nazwijmy to "fizyczne" - oparte na jakimś fizycznym zjawisku stochastycznym. Chodzi mi oczywiście o te drugie. Jasnym jest, że zjawisko deterministycznie chaotyczne nigdy nie może wejść w ten sam punkt przestrzeni, ponieważ wówczas automatycznie i deterministycznie zaczęłoby odtwarzać się w pętli, skoro wszystkie następne kroki wynikają ściśle jeden z drugiego. A zjawisko odtwarzające się w pętli nie jest chaotyczne.

Z drugiej zaś strony, jak Ty sam się zgodziłeś, w miarę wzrostu dokładności danych ów stan nie zmierza do stabilności. Odwrotnie, zmienia się chaotycznie i nieprzewidywalnie, nawet gdy „długość kartki” dąży do nieskończoności. Czyli jest z zasady nieprzewidywalny.

Tak, o ile wiem, tak właśnie jest. To właśnie jest tak frapujące i sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem, że różnica może być w dowolnym miejscu. Trochę pomaga świadomość, że tego typu procesy obfitują w gwałtowne przemiany, załamania i fluktuacje. W chwili takiej gwałtownej fluktuacji proces zmienia się drastycznie. To tak jakbyś szedł na piechotę i ktoś powiedział "stój" - zatrzymasz się z dokładnością do 1 m. Ale jak jedziesz samochodem po autostradzie to zatrzymasz się z dokładnością może do 50 m a może i to nie.  Apropos tych myśli o kwancie planckowskim to ciekawe, czy tak naprawdę liczba stanów o ile olbrzymia, to jednak jest skończona, czy nie. I czy ostatecznie, po odpowiedniej liczbie iteracji, rzeczywiste zjawisko fizyczne nie musiałoby jednak wejść w te same koleiny?

[Stanisław Remuszko]

matematyka matematyką, a natura nie lubi "głupiej nieskończoności". Skoro istnieje planckowski kwant długości rzędu 10-33 cm, musi istnieć również kwant pola (powierzchni) 10-66 cm2.

Mam wrażenie, że Autor myli fizykę z matematyką. Gruntownie nie zgadzam się z hipotezą o matematycznym kwancie czegokolwiek :-)

R.

[Q]

musi istnieć również kwant pola (powierzchni) 10-66 cm2.

Sprawiłeś, że przypomniałem sobie artykuł "Czas i przestrzeń - wykraczając poza teorię Einsteina" (jego autorami są Abhay Ashtekar i Jerzy Lewandowski) zamieszczony na stronie wydziału fizyki UW:
https://www.fuw.edu.pl/~lewand/nauka_a_4.html

Konkluzję pozwolę sobie zacytować:

"Na początku zeszłego stulecia dowiedzieliśmy się ze szczególnej teorii względności, że materia i energia są tym samym. Masa spoczynkowa cząstki może zamienić się w energię promieniowania i odwrotnie. Ogólna teoria względności na równi z materią traktuje geometrię.

Naturalne jest więc pytanie: czy mogą być one przeistoczone jedno w drugie? W 1974 roku Stephen Hawking wykazał, że czarna dziura emituje kwantowe promieniowanie zmniejszając jednocześnie swoje pole powierzchni. Jest to mocna przesłanka za tym, że pole powierzchni horyzontu czarnej dziury może być zamienione w materię. Obliczenia Hawkinga zostały przeprowadzone dla klasycznej czasoprzestrzeni (w której nie występowały "kwanty" geometrii) zgodnej z ogólną teorią względności.

Jedynie materia była kwantowa. Stosując geometrię kwantową, możemy ponownie zanalizować ten proces. Kwantami pola powierzchni horyzontu są przecięcia z nitkami polimerowych wzbudzeń geometrii. Proces Hawkinga polega na zamianie kwantów pola powierzchni na kwanty materii. W ten sposób Einsteinowska wizja fizycznej natury geometrii realizuje się na poziomie teorii kwantowej. Takie przeistoczenie geometrii w materię to właśnie "Einsteinowska alchemia"."

ps. By na tekście popularyzatorskim nie kończyć...
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9602046
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9711031
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9806041
https://arxiv.org/abs/gr-qc/9901023

I jeszcze wypowiedź starego Alberta o geometrii jako o gałęzi fizyki:
http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Einstein_geometry.html

[Lieber Augustin]

Jasnym jest, że zjawisko deterministycznie chaotyczne nigdy nie może wejść w ten sam punkt przestrzeni, ponieważ wówczas automatycznie i deterministycznie zaczęłoby odtwarzać się w pętli...

A co to znaczy, że „zjawisko nie może wejść w punkt przestrzeni”? Niezupełnie zrozumiałem. Przybliż proszę, jeśli nie kłopot.
Może chodzi Ci o następujące:

Apropos tych myśli o kwancie planckowskim to ciekawe, czy tak naprawdę liczba stanów o ile olbrzymia, to jednak jest skończona, czy nie. I czy ostatecznie, po odpowiedniej liczbie iteracji, rzeczywiste zjawisko fizyczne nie musiałoby jednak wejść w te same koleiny?

Hm. W te same koleiny? Masz na myśli, czy np. gwiazdy w układzie potrójnym Alfa Centauri mogą teoretycznie utworzyć konfigurację, która już raz powstała w przeszłości, i rozpocząć dokładnie taki samy chaotyczny taniec od nowa?
Trudno powiedzieć. Sądzę, że raczej nie. Nie wchodzi się dwa razy do tej samej rzeki.
Liczba elementów, „kwantów przestrzeni”  układu gwiezdnego A. C. jest bardzo duża – to objętość tamtego kawałku przestrzeni podzielić przez długość Plancka w sześcianie. A liczba stanów jest wprost niewyobrażalna – to z grubsza liczba permutacji tych elementów, czyli silnia liczby powyższej. Nędznych kilka dziesiątków miliardów lat, dzielących Big Bang od Big Crunch, zdecydowanie  nie wystarczy, by „przebrać” choćby mały ułamek wszystkich możliwych stanów.


@ Pan Stanisław

Mam wrażenie, że Autor myli fizykę z matematyką. Gruntownie nie zgadzam się z hipotezą o matematycznym kwancie czegokolwiek :-)

Śpieszę wyjaśnić, że Autor, młody fizyk , tylko żartował.
 


@ Q

Obliczenia Hawkinga zostały przeprowadzone dla klasycznej czasoprzestrzeni (w której nie występowały "kwanty" geometrii) zgodnej z ogólną teorią względności.

A niech mnie kule biją
Wygląda na to, że mój żarcik przypadkiem trafił w dziewiątkę?
Znaczy, w nieklasycznej czasoprzestrzeni owe „kwanty geometrii” jednak występują?

[Q]

Znaczy, w nieklasycznej czasoprzestrzeni owe „kwanty geometrii” jednak występują?

Zacytuję opis czasoprzestrzeni wedle kwantowej teorii geometrii (ponownie Ashtekar z Lewandowskim, źródło też jw.):

"Dzięki systematycznemu wysiłkowi wyłoniła się kwantowa teoria geometrii, oferująca język służący do sformułowania poszukiwanego uogólnienia teorii Einsteina.
/.../
Język ten operuje pojęciem "kwantowych wzbudzeń geometrii". Są one jednowymiarowe, przypominają polimer. Związek z trójwymiarową przestrzenią, do której jesteśmy przyzwyczajeni, można zilustrować na przykładzie kawałka tkaniny. Dla celów praktycznych reprezentuje on dwuwymiarowe kontinuum, choć w rzeczywistości jest utkany z jednowymiarowych nitek. To samo jest prawdą dla "tkaniny", z której stworzona jest czasoprzestrzeń. Rejon wszechświata, który zamieszkujemy, jest niezwykle ciasno utkany z kwantowych nitek geometrii i jedynie dlatego postrzegamy czasoprzestrzeń jako kontinuum. Przecinając dowolną (dwuwymiarową) powierzchnię, każda niteczka, czyli "polimerowe wzbudzenie", obdarza ją malutkim, plankowskim kwantem pola powierzchni wynoszącym około 10-66 cm kw.

Pole 100 cm kw. jest rezultatem 1068 takich przecięć. Liczba ta jest ogromna, przecięcia są rozmieszczone bardzo blisko siebie i pojawia się iluzja kontinuum. Matematyka kwantowej geometrii przewiduje, że długości, pola i objętości są skwantowane w bardzo swoisty sposób i umożliwia obliczenie ich "widm", tzn. dozwolonych, dyskretnych wartości."

I jeszcze jednego pejperka dorzucę:
http://cgpg.gravity.psu.edu/people/Ashtekar/articles/qgfinal.pdf

[Stanisław Remuszko]

Szanowny Panie Sergiuszu, nabrałem się, przyznaję bez bicia :-)

R.

[Lieber Augustin]

@ Q

Kwantowa teoria geometrii...
Niesamowite. Frapujące. Wprost mistyczne.
Cóż to, zarówno przestrzeń, jak i materia zbudowane są z czystej matematyki?

[maziek]

A co to znaczy, że „zjawisko nie może wejść w punkt przestrzeni”? Niezupełnie zrozumiałem. Przybliż proszę, jeśli nie kłopot.

Przestrzeń w sensie zbioru stanów. Dany stan (matematyczny!) - a więc wynik rozwiązania modelu dla podanych zmiennych rysuje w przestrzeni (jakiejś, ile zmiennych, tyle wymiarów, zmienne te nie muszą być wymiarem, tylko np. temperaturą, ciśnieniem) punkt. Następnie te wyniki wprowadzane są do modelu jako kolejne zmienne i w efekcie dają kolejny stan, to jest kolejny punkt. Zagęszczając te punkty otrzymuje się linie. Przestrzeń dla typowego modelu ma jakieś całkiem ograniczone rozmiary (poszczególne zmienne np. w atmosferze mają stosunkowo niewielki zakres, temperatura od powiedzmy -50 do +50, ciśnienie ok. 1000 hPa plus minus może 100, itd). Linie, które otrzymuje się z rozwiązania modelu zaczynają wypełniać tę przestrzeń, na ogół wygląda to coś jak kłębek wełny czy zwitek sznurka, często układa się też w powyginane powierzchnie o "zerowej grubości". Te linie (dla deterministycznego modelu chaotycznego) nigdy nie mogą się przeciąć ani pokryć na jakimś odcinku. Powód jest prosty - gdy się przetną, a więc stan modelu znajdzie się dokładnie w punkcie, w którym już był, to od tego momentu, ze względu na determinizm, otrzymawszy dokładnie te same zmienne, powtórzy trajektorię w przestrzeni od punktu przecięcia, po tej samej trasie z powrotem do punktu przecięcia - tak, par excellence, w koło Macieju.

Hm. W te same koleiny? Masz na myśli, czy np. gwiazdy w układzie potrójnym Alfa Centauri mogą teoretycznie utworzyć konfigurację, która już raz powstała w przeszłości, i rozpocząć dokładnie taki samy chaotyczny taniec od nowa?

W pewnym sensie. Tyle, że tu już mówimy o zjawisku fizycznym, a nie jego modelu. Może nie aż tak maksymalistycznie myślałem, żeby od razu do gwiazd. Ale czy może to się zdarzyć w mniejszym "pudełku" o sensownych fizycznych rozmiarach? Albo jak duże mogłoby być pudełko, abyśmy mogli oczekiwać, że to się zdarzy, powiedzmy w ciągu 10 lat?

Liczba elementów, „kwantów przestrzeni”  układu gwiezdnego A. C. jest bardzo duża – to objętość tamtego kawałku przestrzeni podzielić przez długość Plancka w sześcianie. A liczba stanów jest wprost niewyobrażalna – to z grubsza liczba permutacji tych elementów, czyli silnia liczby powyższej. Nędznych kilka dziesiątków miliardów lat, dzielących Big Bang od Big Crunch, zdecydowanie  nie wystarczy, by „przebrać” choćby mały ułamek wszystkich możliwych stanów.

- w obserwowalnym wszechświecie. A co jeśli za horyzontem są inne wszechświaty albo nawet i ten sam, tylko już po ucieczce za własny horyzont? Jest sporo teorii co do tego, że tuż za naszym horyzontem siedzą maziek i LA i mądrzą się na tematy, których obaj nie rozumieją ...


PS w związku z nasz dyskusją zachciało mi się powytwarzać nieco tych atraktorów - kiedyś z wypiekami na twarzy się tym bawiłem, musiało to być ze 2 dychy temu jak nie lepiej, miałem taki programik działający w oknie dosowym (miał tę zaletę, że można było ustawić dokładność danych - a więc właśnie sprawdzić, że zaokrąglanie w innym miejscu prowadzi do zupełnie innego wyniku). Potem się to nastawiało i szło spać, komputer to mełł wedle ówczesnych możliwości, rano zamiast obrazka był zazwyczaj komunikat o błędzie . Teraz jest tego multum, ściągnąłem pierwsze co mi w rączki wpadło http://www.chaoscope.org/. Parę minut i jest efekt 2 mld iteracji. To jest atraktor Lorenza, to samo modelowanie, tylko widok z kilku stron, żeby rzecz "uprzestrzennić" .
















PS 2 -  w zasadzie ten program nie ma takiej opcji, ale idzie to zrobić "z ręki" - kto potrafi patrzeć stereoskopowo zezem to zobaczy .

[Q]

Niesamowite. Frapujące. Wprost mistyczne.
Cóż to, zarówno przestrzeń, jak i materia zbudowane są z czystej matematyki?

Wiedziałem, że jeśli nie znasz tej interpretacji (o co nie byłem skłonny się zakładać po lekturze Waszej dyskusji ), to Ci się ona spodoba . Ale spokojnie, to tylko teoria (a raczej hipoteza). Choć fakt, że jej autorem jest niedawny laureat Nagrody Einsteina (a więc poniekąd spadkobierca Wheelera), który na relatywistyce zęby sobie zjadł, sugeruje, że warto traktować ją serio (tym bardziej, że w uzasadnieniu w/w nagrody przyznania twierdzą, iż jego podejście to aktualnie leading approach to the unification of general relativity and quantum physics that is being pursued by dozens of research groups worldwide).
https://www.springer.com/gp/livingreviews/relativity/news/abhay-ashtekar-honored-with-einstein-prize/16233706

[Stanisław Remuszko]

Maziek napisał:

kto potrafi patrzeć stereoskopowo zezem to zobaczy

W londyńskiej National Gallery wraz z Małżonką podziwialiśmy sławny obraz Holbeina "Ambasadorowie" namalowany 1533. On jest naturalistyczny jak cholera, ale u stóp tychże dyplomatów widnieje przedziwny niekształtny kształt, który - z pewnej odległości i pod pewnym kątem - przeobraża się w wyrazistą żółtą trupią czaszkę.
Pytanie: dlaczego tej czaszki nie da się zobaczyć ani w albumie ani w internacie, mimo najdowolniejszych wzajemnych ustawień tego samego widza i reprodukcji tego samego malowidła?

R.