Hm... jestem nieco odmiennego zdania, maźku. Właśnie w innym zestawie, na ogół szerszym, paradoks może być obalony.
Tzn. w tym innym zestawie on nie wystąpi - ale jakie to ma znaczenie dla jego występowania w tym zestawie, w którym istnieje? Uważasz, że ten pierwszy zestaw jest z tego powodu "gorszy"? Może być mniej zgodny z "fizyką" ale też niekoniecznie, bo na pierwszy rzut oka geometria Łobaczewskiego jest zupełnie niezgodna ze zdrowym rozsądkiem, a obecnie uważa się ją za bliższą rzeczywistości. Zestaw aksjomatów definiuje pewien "świat" i paradoksy mogą występować przy takim zestawie a przy innym nie, co jest konsekwencją zestawu ale to że - dajmy na to - zdefiniujesz funkcję y=x/2 i zastrzeżesz, że x>1 ^ x ( parzyste, co spowoduje powstanie "paradoksu", że funkcja ta da wyłącznie liczby całkowite, to oczywiście możesz "zlikwidować" ten "paradoks" usuwając zastrzeżenia do x (poza, że x różne od zera) - tylko że to będzie inna funkcja niż ta pierwsza, więc dostaniesz to, coś chciał, ale za pomocą innej funkcji a nie tej samej.
Czy nie może to być poniekąd konsekwencją twierdzenia Gödla?
Myślę, że w tym wypadku chodzi wprost o błędny "lemat" Zenona - mianowicie, że pokonanie "szerokości" punktu wymaga niezerowego czasu. To w zasadzie kładzie sprawę, gdyż z tego "lematu" a równocześnie założenia podzielności odcinka na nieskończenie wiele części wysnuł wniosek, że pokonanie drogi od A do B wymaga przejścia nieskończenie wielu odcinków, z których jednakże każdy wymaga niezerowego czasu. Piszę "lemat", bo to przekonanie, że przesunięcie punktu za punkt wymaga pokonania jakiejś drogi musiało być wstępnym wnioskiem z natury geometrii, jaką uznawał. Jaka była ta natura to nie wiem, czasy przedeuklidesowe to były no ale taki był wniosek. Można było wysnuć inny wniosek, bo jeśli rozpatrywać ruch jednostajny (i każdy inny, tyle, że dla jednostajnego wnioski wynikają z prostych ułamków), to skoro długość l pokonuje się w czasie t, to także w t/2+t/2 (pokonując odpowiednio l/2+l/2) i tak dalej (t/2+t/4+t4 pokonując l/2+l/4+l/4...) - wyraźnie więc widać, że za podziałem odcinków idzie podział czasu ale nic się nie zmienia bo jedno i drugie sumuje się do pierwotnie przyjętych wartości l i t, jako że z dzielenia tych pierwotnych wartości pochodzi - i żadnego paradoksu nie ma. To jest bardzo ważne, że te wartości l i t są de facto przyjęte z góry jako założenie w paradoksach Zenona. Oczywiście nie w dzisiejszej formie, ale wychodzi Zenon od zadanego dystansu i prędkości (jakiejś, niezdefiniowanej, ale istniejącej). I to dopiero szatkuje na kawałki. Nie trzeba do tego limesów i granic ani różniczek.
Skoro w ramach danego zestawu aksjomatów powstaje paradoks, czyli wewnętrzna sprzeczność, świadczy to o niezupełności albo wręcz o błędności, niewłaściwości owego zestawu.
Oczywiście, gdyby same aksjomaty były sprzeczne (dajmy na to równocześnie Euklides powiedział, że na płaszczyźnie proste równoległe nie przecinają się i że proste poprowadzone względem siebie pod jakimkolwiek kątem muszą się przeciąć - byłby to lipny zestaw aksjomatów. W przypadku Zenona to nie znam na tyle historii, abym wiedział, co u niego było (mogło być) zestawem aksjomatów, a co błędnym rozumowaniem z nich (jak wyżej) - a nawet nie jestem pewien, czy w ogóle to wiadomo, jaka konkretnie była ta "geometria Zenona". Z Goedlem to myślę, że nie trzeba w tym wypadku Goedla.
Jak widać, w ramach elementarnej matematyki i klasycznej fizyki paradoksu Zenona-Bertranda nie da się rozstrzygnąć.
Czy wyżej nie udowodniłem, że da się? Dlaczego miałoby się nie dać rozstrzygnąć, zakładając po współczesnemu najpierw l i t - i pytając, kiedy biegacz, żółw czy co tam było dobiegnie do 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 itd. dystansu l? Dziecko z podstawówki podzieli t na dowolną ilość przedziałów, nawet nieskończoną jeśli w tym wieku złapie ideę nieskończoności - mając pełną świadomość, że tak jak suma długości kawałków pociętego sznurka nie może być dłuższa niż sam sznurek tak czas podzielony na dowolne ułamki w sumie nie może dać dłuższego czasu niż wyjściowy. Oczywiście dowód, że nieskończoność razy l/nieskończoność = l nie był (prawdopodobnie) dostępny Zenonowi, ale jest to zupełnie intuicyjne, bo sprawdza się doskonale dla jakiejkolwiek ilości podziałów mniejszej od nieskończoności (10*1/10, 100*1/100... 1000000*1/1000000 itd.), tak, jak rozumujesz z naturalnymi i parzystymi. Zenon mógł to zrobić "z Talesa" (chyba mógł znać jego prace), bo skoro droga jest proporcjonalna do czasu to da się to przedstawić geometrycznie właśnie na podstawie twierdzenia Talesa.
Istnieje niezerowy kwant, długość Plancka, i żeby przebyć ją, potrzebny jest przynajmniej jeden, również niezerowy kwant czasu.
Czy długość Plancka to jest "kwant długości" (rzeczywista ziarnistość przestrzeni) - czy tylko długość, której zmierzenie wymaga "oświetlenia" cząstką o energii równoważnej tej wystarczającej do zamknięcia się tejże cząstki w horyzoncie zdarzeń (zapadnięcia się w czarną dziurę)? Czy jest to fakt realny (ten kwant), czy tylko granica stosowalności mechaniki kwantowej jaką znamy, poniżej której prawa te załamują się i nie mogą byś stosowane? Adekwatnie do tego, że mikroskopem optycznym można zmierzyć dystanse rzędu pół mikrona i nie można z pewnych względów znacząco obniżyć tej wartości - ale nie znaczy to przecież, że mniejsze nie istnieją.
Z punktu widzenia matematyki, należy uświadomić sobie, iż suma nieskończenie wielu nieskończenie małych może być wielkością skończoną. Czyli przejść do innego „zestawu aksjomatów” – do wyższej matematyki, mianowicie do rachunku całkowego.
Wydaje mi się, że wyżej pokazałem dobitnie, że nie. Jeśli wychodzisz od dzielenia całości to nie wymaga niczego z tych rzeczy. Owszem, gdyby zapytać Zenona jaka jest granica jakiegoś ciągu zbieżnego - czyli odwrotnie, kazać mu składać ułamki w całość - to może by i wymiękł
. Tym niemniej jeśli by mu kazać podzielić 1 stadion wg schematu 1/2+1/4+1/8+... i spytać jaką długość osiągnie po złożeniu wszystkich tych ułamków w całość - cóż mógłby odpowiedzieć jeśli nie "1 stadion"? A czyż nie jest to "po naszemu" suma wszystkich wyrazów pewnego ciągu geometrycznego? Ciągi są tak magiczne w kierunku od ułamka do całości, zaś w przeciwnym kierunku tracą ten czar. Aż dziw, że w ten sposób o nich nie uczą.
No tak, ale, z drugiej strony, skąd możemy mieć pewność, że 2*nieskończoność to ta sama nieskończonoćś, a nie nieco inna? Przecież nieskończoność, dajmy na to, liczb rzeczywistych różni się od takowej liczb naturalnych jak dzień od nocy?
A co Ci trudniej przychodzi wyobrazić sobie: równoliczność N i parzystych czy "różne rodzaje" nieskończoności? Bo mi prawdę mówiąc "różne rodzaje" nieskończoności. Na zdrowy rozum nieskończoność to nieskończoność i jak mogą się one różnić? Poza tym przechodząc od naturalnych do rzeczywistych w zasadzie używasz dowodu (nierównoliczności tych zbiorów), który negujesz
. Do Cantora wszelkie takie spekulacje ucinano paradygmatem, że nieskończoność jest jedna i tożsama.
A po drugie, jako argument "subiektywnie ostateczny" to przy podobnej dyskusji gdzieś w liceum, nie pamiętam już czego dotyczyła, ale z powziętych założeń, po prawidłowych przekształceniach, wychodził jakiś kompletnie niezdroworozsądkowy wynik. Gadałem o tym z kumplem, który miał iskrę bożą w dziedzinie matmy i on mi tłumaczył tak i siak - aż w końcu zniecierpliwiony powiedział coś w rodzaju, nieco łagodząc przekaz: o co ci kretynie chodzi? Nie rozumiesz, że jak założyłeś to i to, prawidłowo przekształciłeś to znaczy że tak jest? Był to, muszę przyznać, jakiś moment, że mi zaiskrzyło w obwodach
. Jeśli nie ma błędu w przekształceniach to TAK JEST. Albo się z tym godzisz, albo podważasz sens istnienia matematyki (konkretnie sens dowodu matematycznego i sens znaku równości). Oczywiście niewykluczone, że jest jakiś dowód, że masz rację, ale sądzę że nie są to dowody, który podałeś, ponieważ przypuszczam, że tego typu rozumowania były już "wytaczane" i najwyraźniej uznano, że równoliczność jest miernikiem tego, co się definiuje mocą, czyli równością zbiorów.
Proszę mnie dobrze zrozumieć. Jestem daleki od myśli, że ja, kompletny laik, odkryłem coś tam nowego w matematyce. Po prostu jestem ciekaw, gdzie tkwi błąd w moim rozumowaniu?
Jasne, wiem, że nie jesteś megalomanem, sądzę, że błąd sprowadza się do tego co napisałem, że nieskończoność nie jest konkretną liczbą, wobec czego załamują się rachunki i na przykład 2xnieskończoność to dalej ta sama nieskończoność.
Słowo да (tak), acz formalnie jest antonimem negującego нет, w danym konkretnym przypadku jedynie dodatkowo wskazuje na wątpliwości i niezdecydowanie zagadniętej osoby.
- Napijesz się może herbaty?
Haha, fajne, czegoś się nauczyłem
.