Autor Wątek: Nieskończoność i jej różne wymiary  (Przeczytany 75558 razy)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #195 dnia: Kwietnia 19, 2024, 02:29:59 pm »
O hierarchii nieskończoności:
https://www.youtube.com/watch?v=i7c2qz7sO0I
Ciekawy filmik.
Drobne zastrzeżenie: teza, że parzystych jest tyle samo co naturalnych, bo zachodzi bijekcja, opiera się na logice i zdrowym rozsądku. Które nie zawsze są pomocne, ba, czasem wręcz szwankują, zwłaszcza gdy chodzi o nieskończoności. Przykładem czego może służyć choćby zasadnicza (!) niemożność udowodnienia bądź obalenia hipotezy continuum w ramach matematyki. Pomyśleć tylko, matematyki, która podobno jest apoteozą i kwintesencją wszelkiej logiczności i zdroworozsądkowości...

W świetle powyższego: a dlaczego właściwie teza, że parzystych jest dwa razy mniej, jest "gorsza"? Wszak również oparta jest na logice. Mniej więcej w taki deseń:
W przedziale, dajmy na to, [0; 10[ jest dokładnie 10 liczb naturalnych i 5 parzystych; stosunek N/Np wynosi 2:



To samo dotyczy przedziału [0; 100[, [0; 1000000[, itd. Generalnie, dla dowolnego n zachodzi równość:



Bardziej ogólnie, w granicy, gdy n dąży do nieskończoności:

,



Czyli:



QED ;)
« Ostatnia zmiana: Kwietnia 19, 2024, 02:38:17 pm wysłana przez Lieber Augustin »

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #196 dnia: Kwietnia 19, 2024, 03:56:40 pm »
teza, że parzystych jest tyle samo co naturalnych, bo zachodzi bijekcja, opiera się na logice i zdrowym rozsądku.
No jak na logice, to wcale nie na zdrowym rozsądku ;) . Skoro oba te ciągi są nieskończone to wychodzi, że na 1 liczbę N przypada jedna P, jak długo byś nie liczył dodając jedną, kolejną z N i P? To chyba ta magia, już gdzieś omówiona zdaje mi się, że dla dowolnego skończonego parzystego n od dowolnego n nieparzystego liczba kolejnych liczb N jest ściśle 2x większa od liczby kolejnych liczb P, zaś w nieskończoności wcale nie...
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #197 dnia: Kwietnia 19, 2024, 04:53:44 pm »
Taa... masz rację, ze zdrowym rozsądkiem raczej nie do końca w porządku... Nie wykluczono nawet, ze z perspektywy rzeczonego zdrowego rozsądku zachodzi tu klasyczny związek prostytucji z muzyką: coś tu k*wa nie gra ;)

A więc okej, niech będzie tylko i wyłącznie logika, sama jak palec. Trzeba przyznać, że Twoje rozumowanie
Cytuj
...na 1 liczbę N przypada jedna P, jak długo byś nie liczył...
jest logiczne, a nawet bardzo logiczne. Mucha nie siada. Z drugiej strony, a w którym to miejscu ja zgrzeszyłem przeciwko logice, rozważając przedział, górna granica którego dąży do nieskończoności?..
« Ostatnia zmiana: Kwietnia 19, 2024, 04:58:57 pm wysłana przez Lieber Augustin »

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #198 dnia: Kwietnia 19, 2024, 05:01:32 pm »
Ha! Pewno w ostatniej linijce zgrzeszyłeś, skoro z innych linijek wręcz tryska woda święcona. Wszak dzielisz tam /.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #199 dnia: Kwietnia 19, 2024, 05:19:53 pm »
Ha! Pewno w ostatniej linijce zgrzeszyłeś, skoro z innych linijek wręcz tryska woda święcona. Wszak dzielisz tam /.
I co? / to symbol nieoznaczony, jeden z 7, i jako taki może przybierać w granicy określoną wartość.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #200 dnia: Kwietnia 19, 2024, 08:29:39 pm »
Może, suma ciągu przez sumę itd. - ale czy przybiera w tym wypadku? Algebraicznie chyba nie skrócisz i "delopitala" nie zastosujesz IMO. Niby można napisać prosto, że dla parzystego n liczb N począwszy od 1 przypada 1/2 n liczb parzystych, sęk w tym, że jeśli rozpatrujesz bijekcję to fałszywe jest założenie, że przedział dla N jest taki sam jak dla P, bo ten drugi jest 2x większy. Jeśli rozpatrujesz  dajmy na to N od 1 do 10 to przedział dla P będzie od 2 do 20. A że oba przedziały nigdy się nie kończą...
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #201 dnia: Kwietnia 19, 2024, 09:19:16 pm »
Algebraicznie chyba nie skrócisz i "delopitala" nie zastosujesz IMO.
Dlaczego nie skrócisz? Moim zdaniem, jak najbardziej. Na dowolnym przedziale parzystych jest tyle samo co nieparzystych:
Np=Nn ,
przy czym
N=Np+Nn=2Np .
Zatem, podstawiając 2Np zamiast N, mamy:


maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #202 dnia: Kwietnia 20, 2024, 09:39:08 am »
Nie no, formalnie możesz zdefiniować po prostu funkcję stałą f(n)=n/(0,5*n)=2 gdzie n jest naturalne i >0. Funkcja ta jest stała w całym przedziale R+ więc z definicji jej granica w każdym punkcie dziedziny oraz w +nieskończoności wynosi 2. Czego, można by powiedzieć, należało dowieść, kropka. Czy jednak ta funkcja pasuje do problemu? O to mi chodzi, o to n, które bierzesz, zakładając, że to rozwiązuje sprawę.  Tu pewnie jest pies pogrzebion. Skoro nie wierzymy w to zdroworozsądkowo, ale uznajemy za fakt bo tego dowiedziono, że pomiędzy dwiema liczbami wymiernymi, niezależnie od tego jak mały jest przedział je dzielący, istnieje nieskończenie wiele liczb niewymiernych... i że te nieskończoności są sobie równe dla przedziałów pomiędzy różnymi liczbami wymiernymi. Równe są na tej samej zasadzie - jakąkolwiek liczbę niewymierną z jednego przedziału weźmiesz, możesz (o ile tak zechcesz), przypisać jej jedną i tylko jedną liczbę z drugiego przedziału, i tak w nieskończoność. Jest to proces niemożliwy do ukończenia (mnie się to kojarzy z faktem, że 1=0,9(9) i też dla dowolnej skończonej liczby miejsc po przecinku ułamka jest to nieprawda, ale w nieskończoności prawda).


Tak samo tu, nieskończenie możesz dobierać w pary liczby n i 2n i nigdy tego nie ukończysz. A to stanowi o mocy zbioru - że jeśli postępując w ten sposób jeden zbiór "się skończy", to ma mniejszą moc. Tu nic takiego nie zajdzie. Jeśli zbiór jest skończony, to można go przeliczyć, w przypadku zbiorów nieskończonych pozostaje tylko bijekcja. Podobnież Cantor od tego zwariował, więc problem z całą pewnością wykręca rozum.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Q

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 16278
  • Jego Induktywność
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #203 dnia: Kwietnia 20, 2024, 06:58:12 pm »
Wrzuta z doskoku ;). Trochę o matematycznych samoukach, żebyście poczuli, że jesteście w dobrym towarzystwie ;):
https://www.qschina.cn/en/courses/mathematics/7-extraordinary-mathematicians-who-didnt-study-mathematics-university
« Ostatnia zmiana: Kwietnia 20, 2024, 07:58:15 pm wysłana przez Q »
"Wśród wydarzeń wszechświata nie ma ważnych i nieważnych, tylko my różnie je postrzegamy. Podział na ważne i nieważne odbywa się w naszych umysłach" - Marek Baraniecki

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #204 dnia: Kwietnia 20, 2024, 10:08:50 pm »
O to mi chodzi, o to n, które bierzesz, zakładając, że to rozwiązuje sprawę.
Widzisz, maźku, kim ja jestem, żeby kwestionować powszechnie uznaną teorię nieskończonych mnogości Cantora? Opartą poniekąd na bijekcji i zakladającą istnienie nieskończoności "bardziej" lub "mniej" nieskończonych. Tzn. o różnej mocy, różnych liczbach kardynalnych.

Chciałem tylko ostrożnie pokazać, na ile pozwala rozumek, że mogą mieć miejsce też inne podejścia. Mniej lub więcej spójne wewnętrznie, a zarazem nie rzucające aż takiego wyzwania zdrowemu rozsądkowi. W końcu istnieją alternatywne teorie. Przykładowo, czeski matematyk Petr Vopěnka stworzył własną teorię mnogości, zakładającą m.in., że nieskończoność to nieskończoność, a dajmy na to zbiory N, Z i R, mnogość przeliczalna i continuum mają tę samą moc...

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #205 dnia: Kwietnia 20, 2024, 10:32:14 pm »
Przestań z choreografią. Kiedyś bym napisał, że żaden z nas nie jest Einsteinem ani Cantorem, ale obecnie stoję na nieco pewniejszym stanowisku, mianowicie, że ja nim (nimi) nie jestem. Jednakże w moim rozumieniu, jeśli liczb naturalnych jest nieskończoność, a pomiędzy każdą z nich jest nieskończenie wiele innych liczb to zdroworozsądkowo - są to inne nieskończoności.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #206 dnia: Kwietnia 21, 2024, 01:46:28 am »
Hehe, ależ komplemenciarz z Ciebie :))

Spieszę zaznaczyć: jeśli Ty nie jesteś Cantorem, to jam wogóle nim nie jest .
("Wogóle" nawiązuje tu do klasycznego odeskiego dowcipu:
Właściciel drukarni udziela instruktażu świeżo zatrudnionemu pracownikowi:
- Pamiętaj, kochany, że czerwonego atramentu pić nie wolno, bo od tego można umrzeć... No, a czarnego atramentu wogóle nie wolno pić...


Nie wiem zresztą, czy moje tłumaczenie choćby częściowo oddaje klimat sytuacji :) )

Cytuj
Jednakże w moim rozumieniu, jeśli liczb naturalnych jest nieskończoność, a pomiędzy każdą z nich jest nieskończenie wiele innych liczb to zdroworozsądkowo - są to inne nieskończoności.
Aha, a nieskończoność zbioru wszystkich liczb rzeczywistych jest dokładnie taka sama, jak nieskończoność takowych w dowolnie małym przedziale. Mimo że takich przedziałów na osi liczbowej jest nieskończenie wiele...
Nie. Wygłada na to, że zdrowy rozsądek i nieskończoność nie idą nigdy w parze.
"Nieskończoności nie są dla człowieka", że tak Karellena parafrazuję...

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #207 dnia: Kwietnia 21, 2024, 09:46:24 am »
Ta, jak to przechwalał swoje pięści mój kolega chuligan z lat młodości: "prawą to mogę zabić, a lewej sam się boję". Apropos atramentu ;) .


Ja to sobie tłumaczę tak, aczkolwiek nie jest to ścisłe i sam widzę w tym dziury ale może jakaś idea w tym jest, liczby naturalne (całkowite, pierwsze, wymierne) to punkty na osi liczbowej. A pomiędzy nimi jest continuum. Możesz więc zużyć wszystkie ww. liczby "punktowe" a nie wyczerpiesz continuum z przedziału między dwiema pierwszymi "punktowymi" które wziąłeś w tym celu.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2528
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #208 dnia: Kwietnia 21, 2024, 03:30:51 pm »
Coś w tym jest. Sam o tym myślałem. Można chyba sformulować to inaczej: gdyby wszystkie liczby naturalne lub wymierne ustawić niejako "obok siebie", tzn. spróbować przypisać im "sąsiednie" liczby ze zbioru niewymiernych/rzeczywistych, to cały zbiór przeliczalny byłby jednym jedynym punktem na osi liczbowej. Nie?


Właśnie przyszło mi do głowy. No dobra, wg Cantora, przedział [0; 1] jest równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych, tzn. moc przedziału jest równa mocy całego zbioru R. Tak? Tak.
Dalej, równa moc oznacza, że zachodzi bijekcja, t.j. każdej liczbie, każdemu punktowi z przedziału [0; 1] odpowiada jedna i tylko jedna liczba, punkt na osi liczbowej. I vice versa, to ważne. Zgodnie z definicją, funkcja jest bijekcją jeśli każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden element przeciwdziedziny oraz jednocześnie każdy element przeciwdziedziny odpowiada jakiemuś argumentowi.

Niby wszystko git, ale co z przedziałem [1; 2]? Przecież tam też zachodzi podobna bijekcja? Czy nie wychodzi, że jednemu elementowi zbioru R odpowiadają dwa elementy w dwóch różnych przedziałach? To już nie bijekcja, tylko jakaś trzy-jekcja :) . Że nie wspomnę o kolejnych przedziałach, bo wówczas mielibyśmy do czynienia z 4-, 5-, n-jekcją, a tak wprawdzie z nieskończoność-jekcją ;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13510
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #209 dnia: Kwietnia 21, 2024, 04:41:39 pm »
Tu sprawa (teoretycznie ;) ) jest prosta. Jak chodzisz równocześnie z Lubą i z Wierą, ale one o tym nie widzą, to wszystko jest OK (II prawo Ohma - nie chodź z jedną, tylko z dwoma*). To są zabiegi rozłączne. Możesz zrobić bijekcję zbioru A (podzbioru R) z R i możesz równocześnie zrobić bijekcję zbioru B (także podzbioru R) z R i nothing wrong happens.

*dla zrymowania powiedzonko to brzmi "II prawo Ohma: nie chodź z jedną, tylko z DWOMA". Powinno być z DWIEMA. Z dwoma to można chodzić facetami. Tak więc, w sposób niezamierzony, taka perwersja z tego wychodzi (o której, oczywista, nikt nawet nie pomyślał w czasach, gdy to "prawo" poznałem).
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).