Nieskończoność i jej różne wymiary

[maziek]

Haha, jesteś ostatnim człowiekiem, który we mnie wierzy ) .
Wychodzi mi tak, ale nie do x tylko do x+Pi/4:

[Lieber Augustin]

Wychodzi mi tak, ale nie do x tylko do x+Pi/4

Imho, to absolutnie nie szkodzi:
sin(pi/4+x)=(sqrt(2)/2)–1≈0,2929
pi/4+x=arcsin(–0,2929)= –0,2973
x= –1,0827
sin(x)= –0,8832
cos(x)=0,4689

Bombowe rozwiązanie. Super. Jestem pod wrażeniem. Chapeau bas.


Co do mnie, to poszedłem trochę innym tropem, bardziej "algebraicznym" niż "trygonometrycznym":



No, y₂ to pierwiastek niejako "urojony", bo iloczyn sin(x)*cos(x) z definicji jest mniejszy od jedynki (a tak na czuja: mniejszy od 1/2, tzn. znajduje się w przedziale [–1/2, 1/2]).
Zatem:



Hm. Zarówno sinus, jak i cosinus są dodatnie. Podczas gdy iloczyn sin(x)*cos(x) ma wartość ujemną, bo 1–sqrt(2). Prawdopodobnie to skutek podniesienia do kwadratu wielkości ujemnej po prawej stronie równania. I właśnie tu tkwi "nieelegancja", o której wspominałem...
Sinus i cosinus mają być parą liczb o przeciwnych znakach, z czego wynika, że argument x znajduje się w drugiej, względnie w czwartej ćwiartce układu współrzędnych kartezjańskich, t.j. w przedziale [pi/2; pi] i/lub [3/2 pi; 2pi]. Innymi słowy, obliczyliśmy wartości z dokładnością do znaku.
A więc niejako "w trybie ręcznym" przeniesiemy x odpowiednio do drugiej i czwartej ćwiartki:



Wynik:
x = pi – 0,4879 = 2,6537 (oczywiście plus n razy 2pi, n=1, 2, 3, ...),
sinx = 0,4688
cosx = –0,8833
Albo też:
x = 2pi – 1,0829 = 5,2003
sinx = –0,8833
cosx = 0,4688

Ufff... zdaje się, szafa gra

[maziek]

Haha, dla każdego bardziej bombowe jest to, czego akurat sam nie wymyślił. Tak więc odkłaniam się zamaszyście. Twoje natychmiastowe przejście do równania kwadratowego było super . Swoją drogą pamięć ludzka jest niesamowita. Z cala pewnością nie rozwiązywałem tego typu równań po liceum, bo nawet na studiach kurs ukierunkowany na inżynierkę zajmował się czymś innym niż rzeźbą w sinusach i cosinusach. Zresztą czegoś akurat sinusów i cosinusów nie cierpiałem, prawdopodobnie przez własne bałaganiarstwo. Jest tam za dużo ogonków, które można "zjeść" niechcący przepisując równania i potem żmudnie szukać, co się "zjadło". I jakimś cudem przypomniałem sobie ten myk z przejściem przez 1/sqrt2 z sinxcosx na sin(x+Pi/4). Po tym oczywista, jak się na dwa dni zaciąłem w tym punkcie.

Natomiast miałem nadzieję, że wynik [sqrt2/2 - 1] jest jakimś "znacznym" i odnotowanym w tablicach wynikiem typu sgrt3 czy 2sqrt3/3 dla typowych kątów.

Apropos Twojej "nieelegancji". Przecież w ostatniej linijce, gdzie pierwiastkujesz z do sinx masz tak naprawdę 4 wyniki (bo sqrt to + i -) więc zdaje mi się, że jedna para nie daje rozwiązań w R (ale pewnie daje w Z, też tak myślę). Ja też musiałem odrzucić rozwiązanie sinx=sqrt2/2+1, bo >1 więc takiego sinusa nie ma.

[Lieber Augustin]

Twoje natychmiastowe przejście do równania kwadratowego było super .

A dzięki.
Swoją drogą, Twój pomysł mnożenia i dzielenia przez sqrt(2) i przejścia tym samym do argumentu pi/4 jest co najmniej godny podziwu.
Zamiatam posadzkę uchylonym kapeluszem z piórkiem

Apropos Twojej "nieelegancji". Przecież w ostatniej linijce, gdzie pierwiastkujesz z do sinx masz tak naprawdę 4 wyniki (bo sqrt to + i -) więc zdaje mi się, że jedna para nie daje rozwiązań w R (ale pewnie daje w Z, też tak myślę).

To prawda. Na ogół, obustronne podniesienie równań do kwadratu skutkuje ukazaniem się urojonych pierwiastków. Które trza następnie "ręcznie" usuwać.
Przy okazji, rozważałem alternatywne rożwiązanie równanka sin(x)*cos(x)=const. Bez pomocy Pitagorasa. Prostsze i bardziej eleganckie. A mianowicie:



Jak widać, rozwiązanie jest fałszywe, przynajmniej w tym co się tyczy znaków. Pod tym względem "nieeleganckie" sprawdza się lepiej. Hm

Nawiasem mówiąc, w Twoim rozwiązaniu podobno brakuje drugiej pary pierwiastków, mianowicie sin(x)=0,4689, cos(x)= –0,8832. Czy może ja się mylę?

[maziek]

Możliwe, że to moje odrzucone sinx=sqrt2/2+1 i Twoje wyniki "przeciwznakowe" dają to samo w Z. W tym ostatnim co wrzuciłeś też masz pierwiastki więc też możesz (musisz) rozważyć pierwiastek + i -. Aktualnie symuluję ciężką pracę przed małżonką, więc nie policzę...

[Lieber Augustin]

Możliwe, że to moje odrzucone sinx=sqrt2/2+1 i Twoje wyniki "przeciwznakowe" dają to samo w Z. W tym ostatnim co wrzuciłeś też masz pierwiastki więc też możesz (musisz) rozważyć pierwiastek + i -.

A bo ja wiem?..
Zresztą nie sądzę. Równanie ma dwa rozwiązania, i obydwa są rzeczywiste. Tymczasem jak sinx=sqrt2/2+1, to rozwiązanie znajdzie się w zbiorze zespolonych. Pod warunkiem że takowe w ogóle istnieje.
Podejrzewam, że pies pogrzebany niedaleko funkcji arcus sinus. To przecież funkcja okresowa, aczkolwiek trochę inaczej niż sinus:



Wygląda na to, że rozwiązanie, by tak rzec, "numeryczne", tzn. od sinusa, poprzez arcus sinus do cosinusa, tak czy owak wymaga ręcznego doboru wartości spełniających równanie. A to nie dodaje elegancji rozwiązaniu...

Właśnie przyszło mi do głowy: a gdyby tak uznać sin(x) i cos(x) za niezależne zmienne a, b? Czy w sensie algebraicznym tytułowe rownanie nie jest przypadkiem tożsame z układem równań
a+b=ab
a²+b²=1