Matematyka krolowa nauk ;)

[olkapolka]

Wydaje mi się, że w założeniu powinno być n mniejsze lub równe 365, bo jeśli weźmie się grupę większą od 365  to na pewno dwie osoby mają urodziny tego samego dnia.
Pytanie było nie o osoby urodzone innego dnia, a właśnie o 2 osoby urodzone jednego dnia.

Edytka: W sensie, że dla n większego od 365 pytanie traci sens.

Traci sens w tym sensie , że odpowiedź na pytanie staje się trywialna.

...najpierw odwrócimy nieco pytanie. Łatwiejsze jest bowiem równanie i zrozumienie odwrotnej sytuacji.
Powyższy problem ma bowiem dwie strony i można rozwiązać go dwojako. Możemy znaleźć:
- Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby mają urodziny tego samego dnia
- Prawdopodobieństwo, że żadna z osób w grupie nie ma urodzin tego samego dnia
Oba te warunki się dopełniają. To znaczy, że jeżeli prawdopodobieństwo braku urodzin tego samego dnia wyniesie 70 proc., to drugie prawdopodobieństwo – że co najmniej dwie osoby mają urodziny tego samego dnia — wyniesie 30 proc. Innej sytuacji nie ma – albo każdy ma urodziny w inne dni, albo ktoś ma urodziny tego samego dnia co inna osoba.

Przytoczony wzór dotyczy właśnie tego "odwrotnego" prawdopodobieństwa. Gdy n osiąga wartość 366, czynnik 1-(n-1)/365 staje się równy zeru, a razem z nim i cały iloczyn.

Jasne - wzór dotyczy odwrotnej sytuacji, ale koniec końców chodzi o odpowiedź na pytanie o dwie osoby urodzone tego samego dnia.
A co jeśli podstawimy 367? Możemy?
Czy otrzymując wzór należy poczynić jednak zastrzeżenia?

Wydaje mi się, że w założeniu powinno być n mniejsze lub równe 365, bo jeśli weźmie się grupę większą od 365  to na pewno dwie osoby mają urodziny tego samego dnia.
Pytanie było nie o osoby urodzone innego dnia, a właśnie o 2 osoby urodzone jednego dnia.
Edytka: W sensie, że dla n większego od 365 pytanie traci sens.

Ale skąd wiemy, że na pewno? Dopiero podstawienie do prawidłowo skonstruowanego wzoru daje pewność. I wtedy też widać, że dla n>365 pytanie nie traci sensu.

Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)

[Ptr]

Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)

Jak to na nic? Podstaw n > 365, wyjdzie zawsze 0, tak jak powinno. Czyli 1 dla przypadku odwrotnego.
Wzór dla roku przestępnego jest analogiczny, wystarczy zmienić mianownik na 366, i ogólniej, na x dla jednostki czasu zawierającej x dni. W końcu rok to tylko umowna jednostka - może być tydzień, miesiąc, dekada. Natomiast bliźniaki, trojaczki itp. nie są żadnych utrudnieniem, to taki przypadek jak każdy inny. Interesuje nas data urodzenia, a pokrewieństwo, rozmiar buta czy wiek nie mają znaczenia, bo mamy równomierny rozkład prawdopodobieństwa.

[olkapolka]

Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)

Jak to na nic? Podstaw n > 365, wyjdzie zawsze 0, tak jak powinno. Czyli 1 dla przypadku odwrotnego.

Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.

Wzór dla roku przestępnego jest analogiczny, wystarczy zmienić mianownik na 366, i ogólniej, na x dla jednostki czasu zawierającej x dni. W końcu rok to tylko umowna jednostka - może być tydzień, miesiąc, dekada.

Mam wątpliwości - wtedy należałoby w pytaniu dodać, że chodzi o rok przestępny. Pytanie jest ogólne - dla "zwykłego" roku.
Właśnie - umownego - roku.

Natomiast bliźniaki, trojaczki itp. nie są żadnych utrudnieniem, to taki przypadek jak każdy inny. Interesuje nas data urodzenia, a pokrewieństwo, rozmiar buta czy wiek nie mają znaczenia, bo mamy równomierny rozkład prawdopodobieństwa.

Mówiłam, że nie znoszę prawdopodobieństwa? Mówiłam:)
Ale! Jeśli dopuścisz bliźniaka to wiesz, że w grupie masz dwójkę urodzoną jednego dnia. Bo interesuje nas data:)

[Ptr]

Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.

Przy takim sformułowaniu, jakie cytujesz, nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5. Dla rozwiązania tego zadania trzeba rozwiązać nierówność:



Wśród 367 osób prawdopodobieństwo spotkania dwóch osób urodzonych tego samego dnia wynosi:



Czyli 367 jest rozwiązaniem nierówności 

Jeżeli chcemy najmniejszą grupę, to wtedy równanie:



Z racji tego, co autor raczył był napisać, przyjrzeliśmy się wzorowi w kontekście bardziej ogólnym, stąd pytanie, co wyjdzie dla n>365.

[Lieber Augustin]

A co jeśli podstawimy 367? Możemy?

Możemy, jak najbardziej

Ile wychodzi z n=367?

Zero. Albo "komplementarna" do zera jedynka, tak jak napisał Ptr.
Spójrzmy jeszcze raz na wzór:

Wówczas w zero zmienia się poprzedni mnożnik 1-(n-2)/365, a nie 1-(n-1)365. Tyle tylko różnicy między n=367  i n=366.

[olkapolka]

Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.

Przy takim sformułowaniu, jakie cytujesz, nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.

Pewnie - można się sprzeczać czy "jak dużą grupę osób należy zebrać" to "ile osób musi być w grupie". Tylko wtedy po co coś liczyć? Jeśli nie chodzi o najmniejszą grupę? Można powiedzieć, że 367, 5000 - co komu w duszy...
Wystarczy po prostu podać dowolną liczbę większą od liczby dni w roku.

Wówczas w zero zmienia się poprzedni mnożnik 1-(n-2)/365, a nie 1-(n-1)365. Tyle tylko różnicy między n=367  i n=366.

Ok - ale co to ma do zadania? Po co podstawiać liczby większe od 365 skoro wiadomo, że wtedy na pewno jest 1?
Uważasz, że nie należy robić żadnych założeń? Że n jest dowolne w tym konkretnym zadaniu o którym mówimy?

Nawiasem:  nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.
Jakie jest rozwiązanie dla Twojego pytania?

[Lieber Augustin]

Skasowałem swój post, bo stracił aktualność:)

[olkapolka]

Nawiasem:  nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.
Jakie jest rozwiązanie dla Twojego pytania?

Szczerze mówiąc, jakoś straciłem wątek...
Przypomnij mi bitte, jak brzmi moje pytanie?

Nawias był do Piotra:)
Tylko też straciłam... Ptr chyba edytował swojego posta, bo jego prawdopodobieństwo wynosi 0,5 (jak widać w cytacie z niego w moim poście) zmieniło się w: dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5

Tak przeedytowany post nie budzi mojego nawiasowego pytania o prawdopodobieństwo 0.5:)

[Lieber Augustin]

No to sorki:)

[Ptr]

Tylko też straciłam... Ptr chyba edytował swojego posta, bo jego prawdopodobieństwo wynosi 0,5 (jak widać w cytacie z niego w moim poście) zmieniło się w: dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5

Tak przeedytowany post nie budzi mojego nawiasowego pytania o prawdopodobieństwo 0.5:)

Tak, edytowałem posta, i to kilka razy, bo po każdej lekturze okazywało się, że jednak coś w nim było nie tak. Przepraszam za zamieszanie.
Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.
Oczywiście graniczny przypadek, od którego prawdopodobieństwo wynosi 1 (lub 0 dla zdarzenia komplementarnego) można po prostu, jak to zrobiła olkapolka, wydedukować beż żadnych wzorów.

[Lieber Augustin]

Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.

Taa, chyba wszystko jasne...
A co jeśli trochę pofantazować?
Połóżmy n=0. Jakie jest owo prawdopodobieństwo a_n dla grupy najmniejszej ze wszystkich możliwych, składającej się z zera osób?
Czysto formalnie można zapisać następujący wzór:



Uups! Cóż to, wychodzi na to, że autor zlinkowanego przez Q artu jednak miał rację, gdy pisał o prawdopodobieństwie przekraczającym jedynkę?

[olkapolka]

Muszę powiedzieć, że co zaglądam w ten wątek to nowe odkrycia.
A to coś się zmienia, a to znika z braku aktualności - dobrze, że was cytuję;))

Tak, edytowałem posta, i to kilka razy, bo po każdej lekturze okazywało się, że jednak coś w nim było nie tak. Przepraszam za zamieszanie.

Nie ma za co - ja też edytowałam swojego żeby zadać to marginesowe pytanie:)
Tylko nie zaglądałam już w Twojego macierzystego posta - a zadałam je na podstawie cytatu z Ciebie...który to zmieniał postać rzeczy, bo 0.5 w punkt? Nie ma takiego rozwiązania;)

Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.

Rajt  - tylko należy poczynić zastrzeżenia dla konkretnego pytania.

Uups! Cóż to, wychodzi na to, że autor zlinkowanego przez Q artu jednak miał rację, gdy pisał o prawdopodobieństwie przekraczającym jedynkę?

Niechybnie chodzi o trojaczki z 29 lutego;)

[maziek]

O Boziu, jak słodko po tygodniu rypaniny jak obłamanym kilofem na przodku zajrzeć tu i stwierdzić, że nic się nie zmienia (na wsz. wyp. dodam, że w pozytywnym sensie ). Jak ja Was za to lubię .


Moim zdaniem udowodniono właśnie ściśle i matematycznie istnienie Boga - prawdopodobieństwo większe niż 1 to bez wątpienia wola boska!

[Ptr]

A co jeśli trochę pofantazować?
Połóżmy n=0. Jakie jest owo prawdopodobieństwo a_n dla grupy najmniejszej ze wszystkich możliwych, składającej się z zera osób?

Trudno liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, skoro nie ma zdarzenia To jest rozwiązanie "niefizyczne", przykład pouczający o tym, że nie wolno bezkrytycznie ufać, że każdej matematycznej konstrukcji coś odpowiada w przyrodzie (nota bene jest to temat stale przewijający się w twórczości S. Lema). Tutaj akurat sprawa jest ewidentna, ale w przypadku np. mechaniki kwantowej, gdzie nie do końca wiadomo, co z matematyki jest fizyczne, a co nie, problem staje się nietrywialny.

[Lieber Augustin]

Niechybnie chodzi o trojaczki z 29 lutego;)

Raczej z 32 maja, w specjalnym kalendarzu barona Munchausena

O Boziu, jak słodko po tygodniu rypaniny jak obłamanym kilofem na przodku zajrzeć tu i stwierdzić, że nic się nie zmienia (na wsz. wyp. dodam, że w pozytywnym sensie ). Jak ja Was za to lubię .

My też Cię lubimy, maźku

Trudno liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, skoro nie ma zdarzenia To jest rozwiązanie "niefizyczne", przykład pouczający o tym, że nie wolno bezkrytycznie ufać, że każdej matematycznej konstrukcji coś odpowiada w przyrodzie (nota bene jest to temat stale przewijający się w twórczości S. Lema). Tutaj akurat sprawa jest ewidentna, ale w przypadku np. mechaniki kwantowej, gdzie nie do końca wiadomo, co z matematyki jest fizyczne, a co nie, problem staje się nietrywialny.

Jasne.
Ja tylko żartowałem
Chociaż zaznaczę, że obliczenie prawdopodobieństwa wspólnych urodzin tam, gdzie nikogo nie ma, z punktu widzenia zdrowego rozsądku jest imho tylko niewiele gorsze od, dajmy na to, podnoszenia liczby do potęgi zerowej. Które podnoszenie jest, zgodnie z definicją, niczym innym jak mnożeniem liczby przez siebie samą zero (sic!) razy...