Matematyka królowa nauk ;)

[xetras]

Jak ja zobaczyłam to rozwiązanie wcześniej (nie że sama rozwiązałam...),  to wytłumaczyłam sobie to tak, że:
[...]punktowi C zostaje tylko 1/4 okręgu u góry lub na dole.[...]

Ale to catgutem szyte;)

Elegancko i na chłopski rozum całkiem prawdziwe
Wyciąłem z cytatu (dla mnie niepojęte i nieprawdopodobne) odejmowanie prawdopodobieństw.

[olkapolka]

Ale ja nie odejmowałam prawdopodobieństwa... jeszcze gorzej... odejmowałam części okręgu z całości czyli 1 żeby pozostałe 2 punkty mogły się spotkać 

[maziek]

@xetras - w moim rozumowaniu na początku wykluczyłem trójkąty prostokątne i wszelkie inne "na granicy" jako prawdopodobne w stopniu 1/nieskończoność. Prawdopodobieństwo wylosowania danego punktu na okręgu jest równe prawdopodobieństwu wylosowania danej liczby ze zbioru R ograniczonego np. do <0, 1>.


Rozumowanie LA, prostsze niż moje, można jeszcze uprościć, wiedząc, że 3 dowolnie wylosowane punkty to to samo, co 3 po kolei wylosowane punkty, o ile każde losowanie jest niezależne od wyników poprzedniego. Pierwszy wylosowany punkt dzieli okrąg na dwie połowy, drugi wylosowany punkt wskazuje jedną z połówek, pozostaje trzecie losowanie z prawdopodobieństwem 1/2, że nie wypadnie na wskazanej połowie. Nie widzę w tym dziury.


PS a nie, widzę. Można w ten sposób wylosować 3 punkty blisko siebie. Powiedzmy pierwszy pkt. na 6-tej, drugi na 5-tej a trzeci na 7-mej. To teraz wracam do siebie, gdzie jest błąd u mnie. Tzn. przy następnej przerwie na kawę .

[Lieber Augustin]

Jak ja zobaczyłam to rozwiązanie wcześniej (nie że sama rozwiązałam...),  to wytłumaczyłam sobie to tak, że w przypadku:
1) trójkąta rozwartokątnego
- zaznaczamy ten punkt A - punkt B może trafić w 1/4 okręgu na górze albo na dole, punktowi C pozostaje też 1/4 okręgu górnego lub dolnego czyli 1- 1/4-1/4= 1/2

2) trójkąta ostrokątnego
- zaznaczamy też punkt A - punkt B może trafić w 1/2 okręgu u góry lub na dole, a punktowi C zostaje tylko 1/4 okręgu u góry lub na dole. Czyli 1-1/2-1/4= 1/4

Ale to catgutem szyte;)

Raczej nicią rozpuszczalną
Jeśli dobrze Cię zrozumiałem, prawdopodobieństwo trójkąta rozwartokątnego wynosi 1/2, a ostrokątnego 1/4?
Znaczy prawdopodobieństwo, że trójkąt będzie albo rozwarto, albo ostro, wynosi 1/2 + 1/4 = 3/4 ?
Za przeproszeniem, a gdzie się podziała jeszcze jedna, brakująca do jedynki jedna czwarta?

[olkapolka]

Jak ja zobaczyłam to rozwiązanie wcześniej (nie że sama rozwiązałam...),  to wytłumaczyłam sobie to tak, że w przypadku:
1) trójkąta rozwartokątnego
- zaznaczamy ten punkt A - punkt B może trafić w 1/4 okręgu na górze albo na dole, punktowi C pozostaje też 1/4 okręgu górnego lub dolnego czyli 1- 1/4-1/4= 1/2

2) trójkąta ostrokątnego
- zaznaczamy też punkt A - punkt B może trafić w 1/2 okręgu u góry lub na dole, a punktowi C zostaje tylko 1/4 okręgu u góry lub na dole. Czyli 1-1/2-1/4= 1/4

Ale to catgutem szyte;)

Raczej nicią rozpuszczalną
Jeśli dobrze Cię zrozumiałem, prawdopodobieństwo trójkąta rozwartokątnego wynosi 1/2, a ostrokątnego 1/4?
Znaczy prawdopodobieństwo, że trójkąt będzie albo rozwarto, albo ostro, wynosi 1/2 + 1/4 = 3/4 ?
Za przeproszeniem, a gdzie się podziała jeszcze jedna, brakująca do jedynki jedna czwarta?

Yyy... Trójkąt prostokątny? 

Psss...w sensie, że zaznaczając punkty losowo możemy dostać każdy z trzech rodzajów trójkąta - nie tylko taka alternatywa: albo rozwarto albo ostro.

[Lieber Augustin]

Yyy... Trójkąt prostokątny? 

Psss...w sensie, że zaznaczając punkty losowo możemy dostać każdy z trzech rodzajów trójkąta - nie tylko taka alternatywa: albo rozwarto albo ostro.

Aha... znaczy prostokątny to trzecia alternatywa?
Chyba istnieje także czwarta: żadnego trójkąta. Gdy B lub C przypadkiem trafi akurat w A

PS a nie, widzę. Można w ten sposób wylosować 3 punkty blisko siebie. Powiedzmy pierwszy pkt. na 6-tej, drugi na 5-tej a trzeci na 7-mej. To teraz wracam do siebie, gdzie jest błąd u mnie. Tzn. przy następnej przerwie na kawę .

A prawda.
Wygląda na to, że prawdopodobieństwo ostrokątnego jest w istocie mniejsze od rozwarto-, a moja teza "gdy punkty B i C leżą na jednym i tym samym półokręgu - obojętnie, górnym czy dolnym - trójkąt ABC jest rozwartokątny. W przeciwnym razie jest ostrokątny" jest niewarta funta kłaków.
Tak na czuja - trójkąt jest ostrokątny, gdy środek okręgu leży wewnątrz trójkąta...

Ciekawym, czy da się uzyskać tamtą wartość 1/4 "na palcach", nie uciekając do zawrotnych "pi do kwadratu" i "pi do sześcianu"?

[olkapolka]

Yyy... Trójkąt prostokątny? 

Psss...w sensie, że zaznaczając punkty losowo możemy dostać każdy z trzech rodzajów trójkąta - nie tylko taka alternatywa: albo rozwarto albo ostro.

Aha... znaczy prostokątny to trzecia alternatywa?
Chyba istnieje także czwarta: żadnego trójkąta. Gdy B lub C przypadkiem trafi akurat w A

A żebyś wiedział - że trzecia: MOŻLIWOŚĆ. Na całym okręgu możemy dostać trzy rodzaje trójkątów (ze względu na kąty) i o to szło w zadaniu: trzy punkty tworzące trójkąt, a nie rozłażące się dowolnie.

Nawiasem - tych rozłażących się dowolnie jest ile? Nieskończenie wiele?

[maziek]

Trójkąt prostokątny a także jakikolwiek inny konkretny (w sensie położenia wierzchołków) jest równie prawdopodobny w drodze losowania, jak smok .

Natomiast wiem, gdzie się rypnąłem z moimi ćwiartkami (ten sam błąd co napisałem wyżej z losowaniem godzin 6-5-7), ale widzę takie rozwiązanie pod dyskusję: pierwszy punkt dzieli średnicą okrąg na połowy, drugi punkt ma więc szansę 1/2 znaleźć się na którejś połówce. Drugi punkt również dzieli okrąg średnicą na "nowe" połowy i trzeci punkt ma znów szansę 1/2 znaleźć się na którejś "nowej" połówce. Ponieważ przy takim podejściu wynik jest złożeniem dwóch prawdopodobieństw - jest to 1/2 x 1/2 czyli 1/4 (z punktu widzenia pierwszego punktu jest 1/2 szansy, że trzeci punkt znajdzie się na danej połówce i tak samo jest z punktu widzenia drugiego punktu). Można też to wytłumaczyć w ten sposób, że wzmiankowane średnice dzielą okrąg na 4 odcinki i trzeci losowany punkt ma w związku z tym 1/4 szansy znaleźć się na właściwym odcinku (bo ten właściwy jest przy dwóch ustalonych już punktach jeden tylko). Z tym, że tutaj, o ile intuicyjnie to jest zrozumiałe, że przy nieskończonej liczbie powtórzeń tych losowań wszystko się uśredni do tej 1/4, o tyle w konkretnym losowaniu średnice nie dzielą okręgu na ćwiartki (bo jest to w zasadzie niemożliwe - patrz wyżej), więc w poszczególnym losowaniu, kiedy znane są już 2 punkty, trzeci nie ma równego prawdopodobieństwa znaleźć się na danym odcinku okręgu, bo mają one różną długość. Tak więc, aby to wywieść matematycznie, trzeba by obliczyć granicę prawdopodobieństwa dla nieskończonej liczby losowań. Czy takie (z limesem) były rozwiązania, o których piszecie?

[olkapolka]

Trójkąt prostokątny a także jakikolwiek inny konkretny (w sensie położenia wierzchołków) jest równie prawdopodobny w drodze losowania, jak smok .

Może i smok nieprawdopodobieństwa.

Podkreślam: to nie moje rozwiązanie, bo jak czytam "prawdopodobieństwo" to nie ruszam zadania - nie lubię -  tylko próbowałam zrozumieć co matematycy wykombinowali.
O trójkącie prostokątnym też wspominają;)

Miazo wrzucił bardzo fajną linkę - gdzieś od 5:55.

Edit - muszę coś dopisać, bo teraz doczytałam tę moją "losowość", która przez maźka została źle zrozumiana - tak jest sformułowana treść zadania: punkty wybrano losowo...żeby dostać trójkąt i to ogranicza tę losowość.
Pierwszy pkt wybieramy całkowicie losowo na okręgu - pracują pozostałe dwa (to pokazuje filmik w lince miazo - chyba;)) - one mogą się pojawić tylko w określonych połówkach okręgu lub ćwiartkach - więc ich losowość jest ograniczona zadanym trójkątem.

I tak, jak napisałam tutaj:
https://forum.lem.pl/index.php?topic=176.msg89805#msg89805
tak zrozumiałam ich ograniczoną losowość występowania na okręgu żeby dostać trójkąt.

O...to:)

Można też to wytłumaczyć w ten sposób, że wzmiankowane średnice dzielą okrąg na 4 odcinki i trzeci losowany punkt ma w związku z tym 1/4 szansy znaleźć się na właściwym odcinku (bo ten właściwy jest przy dwóch ustalonych już punktach jeden tylko)

[Lieber Augustin]

O ile dobrze zrozumiałem ideę spod linki miazo (od 3:50) i pomysł maźka:

...pierwszy punkt dzieli średnicą okrąg na połowy, drugi punkt ma więc szansę 1/2 znaleźć się na którejś połówce. Drugi punkt również dzieli okrąg średnicą na "nowe" połowy i trzeci punkt ma znów szansę 1/2 znaleźć się na którejś "nowej" połówce...

Drugi punkt B również dzieli okrąg średnicą, przy czym trójkąt będzie ostrokątny dopiero wtedy, gdy punkt C trafi w odcinek okręgu A’B’.



Prawdopodobieństwo takiego trafienia zależy od kąta między średnicami AOB: jest bliskie zera, gdy B leży tuż obok A, i dąży do 1/2, w miarę jak kąt AOB dąży do pi. A ponieważ wielkość tego kąta jest losowa, owo prawdopodobieństwo jest średnią arytmetyczną zera i 1/2, czyli wynosi 1/4...

edit

...tak jest sformułowana treść zadania: punkty wybrano losowo...żeby dostać trójkąt i to ogranicza tę losowość.
Pierwszy pkt wybieramy całkowicie losowo na okręgu - pracują pozostałe dwa (to pokazuje filmik w lince miazo - chyba;)) - one mogą się pojawić tylko w określonych połówkach okręgu lub ćwiartkach - więc ich losowość jest ograniczona zadanym trójkątem.

Wg mnie, wszystkie trzy punkty na okręgu wybrano absolutnie losowo. Trzy punkty zawsze są wierzchółkami trójkąta, o ile nie leżą na jednej prostej. Teoretycznie rzecz biorąc, owszem, punkt B może trafić w A, albo też C w A lub B. Ale prawdopodobieństwo takiego trafienia 2 lub 3/∞ = 0

[olkapolka]

Wg mnie, wszystkie trzy punkty na okręgu wybrano absolutnie losowo. Trzy punkty zawsze są wierzchółkami trójkąta, o ile nie leżą na jednej prostej. Teoretycznie rzecz biorąc, owszem, punkt B może trafić w A, albo też C w A lub B. Ale prawdopodobieństwo takiego trafienia 2 lub 3/∞ = 0

Nie wiem. Sam przed kilkoma postami napisałeś o czwartej "alternatywie":

Chyba istnieje także czwarta: żadnego trójkąta. Gdy B lub C przypadkiem trafi akurat w A

Ponadto Ty zadanie podałeś w takiej formie:

Na okręgu wybrano losowo trzy punkty A, B i C. Proszę znaleźć prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC - ostrokątny.

Tutaj jest chyba podane w bardziej ograniczonej formie:
Na okręgu wybrano losowo trzy punkty, które wyznaczyły trójkąt. Jaka jest szansa, że tak powstały trójkąt jest ostrokątny?

W sensie, że nas nie obchodzi prawdopodobieństwo dostania jakiegokolwiek trójkąta, ale konkretnego: ostrokątnego.
I wierzchołki takiego trójkąta nie mogą zostać wybrane w tych samych ćwiartkach co np. rozwartokątnego.
Mówiłam, że nie lubię tego P;)

[Lieber Augustin]

Nie wiem. Sam przed kilkoma postami napisałeś o czwartej "alternatywie":

Chyba istnieje także czwarta: żadnego trójkąta. Gdy B lub C przypadkiem trafi akurat w A

A emotykonka "szeroki uśmiech" od czego? Żartowałem...

Mówiłam, że nie lubię tego P;)

))))
Ja też nie lubię. Ale nie ma rady. Jeżeli nie będziemy interesować się prawdopodobieństwem, prawdopodobieństwo niebawem zainteresuje się nami

Jak w starym filmiku Vabank II:
Kramer:
- Politik interessiert mich nicht.
Celnik niemiecki:
- Die Politik interessiert sich aber für Sie!
https://youtu.be/EMzOfgGPLLs?t=100

[olkapolka]

Mówiłam, że nie lubię tego P;)

))))
Ja też nie lubię. Ale nie ma rady. Jeżeli nie będziemy interesować się prawdopodobieństwem, prawdopodobieństwo niebawem zainteresuje się nami

No to mną się właśnie zainteresowało;)

Ale ja naprawdę od tego odpadam...tutaj jest rozwiązanie podtrzymujące 1/4 ostro, ale podające 3/4 dla rozwarto...odrzucające zaś prostokątne (tak, jak chciał maziek - może faktycznie to przyzerowe prawdopodobieństwo losowo dobrać tak punkty czyli ten smok albo inny wiedźmin:).
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=152500

-----------------------
Przypomniało mi się coś z dzieciństwa - zamęczałam otoczenie:))
Czyli coś dla złapania oddechu i skoro o smokach i wiedźminach;)

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadnę dowolną liczbę, którą pomyślicie? 1!:)))
Tylko musicie wykonać kilka działań i podać mi niepełny wynik.

Proszę bardzo:
1) Pomyśl dowolną liczbę.
2) Sumę jej cyfr pomnóż przez 80
3) Wynik mnożenia dodaj do pomyślanej liczby.
4) Usuń dowolną cyfrę - nie większą niż 8 - podaj mi pozostałe cyfry, a ja podam tę usuniętą;))

Czyli należy podać np. 334?56 a ja podam całą liczbę;)

[Lieber Augustin]

-----------------------
Przypomniało mi się coś z dzieciństwa - zamęczałam otoczenie:))
Czyli coś dla złapania oddechu i skoro o smokach i wiedźminach;)

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadnę dowolną liczbę, którą pomyślicie? 1!:)))
Tylko musicie wykonać kilka działań i podać mi niepełny wynik.

Proszę bardzo:
1) Pomyśl dowolną liczbę.
2) Sumę jej cyfr pomnóż przez 80
3) Wynik mnożenia dodaj do pomyślanej liczby.
4) Usuń dowolną cyfrę - nie większą niż 8 - podaj mi pozostałe cyfry, a ja podam tę usuniętą;))

Czyli należy podać np. 334?56 a ja podam całą liczbę;)

Ta usunięta cyfra 6

[maziek]

W swoim czasie nawet jeden magik w tv to prezentował .


PS, czuję, że w wolnej chwili podejdę do tego trójkąta na okręgu bardziej naukowo, skoro na rympał się nie daje a w każdym razie nie jest to pewne. Póki co nic nie czytam z tych rzeczy linkowanych, bo się zabawa skończy. Jedno pytanie do przytomnych. Zdaje mi się, że w istocie losowanie trzech punktów na okręgu można zamienić na losowanie dwóch punktów odległych (o kąty lub długości łuku) od jakiegoś arbitralnie wybranego punktu (np. na godzinie 12). Wrażenie swoje motywuję tym, że okręgi o tym samym promieniu są tożsame, można więc zawsze taki okrąg po wylosowaniu punktów obrócić tak, aby jeden z punktów był np. na 12-tej, więc de facto losowanie jednego z punktów jest tak naprawdę losowaniem tylko punktu odniesienia, który z ww. względów można arbitralnie założyć, zmniejszając liczbę losowań (a więc i niewiadomych) do 2.