Matematyka krolowa nauk ;)

[Lieber Augustin]

Pany, 'nieskończoność' nie jest liczbą, a silnia to chyba dotyczy, z definicji, konkretnej liczby naturalnej 

Słusznie, nieskończoność nie jest liczbą, lecz iloraz dwóch nieskończoności jak najbardziej może być liczbą. To się nazywa symbol nieoznaczony typu "nieskończoność przez nieskończoność".

Co do silni i liczb naturalnych, to funkcja gamma Eulera rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych, a nawet zespolonych.
To trochę tak jak funkcja wykładnicza jest rozszerzeniem pojęcia potęgowania. Bo z definicji potęgowanie to nic innego jak wielokrotne mnożenie podstawy przez siebie, tyle razy, ile wynosi wykładnik:

Zdawałoby się, na zdrowy rozsądek wykładnik może być tylko i wyłącznie liczbą naturalną? Ależ gdzie tam! Matma najspokojniej w świecie operuje wykładnikami ujemnymi, rzeczywistymi, zespolonymi, hiperzespolonymi, i dobrze, że przynajmniej nie kardynalnymi. A i to nie jestem pewien



Dowód powyższej zagadki, taki mniej lub więcej ścisły:



Wytykanie błędów jest mile widziane 

[Hoko]

LA,

uwierzę, co do wniosków, jeśli potwierdzi to jakiś zawodowy matematyk z odpowiednim dorobkiem

ten, którego pytałem, twierdzi, ze nie ma takiego numeru 
(chociaż wg niego ∞! = ∞)

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9E%21+%2F+%E2%88%9E%5E%E2%88%9E

ps
∞ = lim_(x->∞) x
ok.
ale jak z tego dojść do pierwszego wyrazenia w Twoim wzorze? jakim prawem wyciągnałeś lim przed iloraz?

[Lieber Augustin]

Hoko,

rzuć okiem:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji#W%C5%82asno%C5%9Bci:~:text=Je%C5%9Bli%20funkcje,granic%20w%20niesko%C5%84czono%C5%9Bci.

[akond]

LA,

uwierzę, co do wniosków, jeśli potwierdzi to jakiś zawodowy matematyk z odpowiednim dorobkiem

ten, którego pytałem, twierdzi, ze nie ma takiego numeru 
(chociaż wg niego ∞! = ∞)

https://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9E%21+%2F+%E2%88%9E%5E%E2%88%9E

ps
∞ = lim_(x->∞) x
ok.
ale jak z tego dojść do pierwszego wyrazenia w Twoim wzorze? jakim prawem wyciągnałeś lim przed iloraz?

Hmmm, chyba wszystko rozbija się (albo nie rozbija) o to właśnie przejście. Bo jeśli Wolframowi zadać wyrażenie w postaci granicy, to już zeznaje, że zero:



https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%21+%2F+x%5Ex%2C+x-%3E+%E2%88%9E%29

[Lieber Augustin]

Przejście jak przejście. Symbol nieskończoności z wykrzyknikiem to tylko skrócony zapis wyrażenia: "granica funkcji f(x)=x!, gdy x dąży do nieskończoności".
Analogicznie z nieskończonością do potęgi nieskończoność: ∞^∞=lim_x->∞ g(x), g(x)=x^x
Nie?

[Hoko]

LA,
rzuciłem i dalej nic nie wiem - pokaż tam konkretną definicję, która by umożliwiała wyciągnięcie lim przed kreskę ułamkową 

akond,
z X to widac, bo mianownik rośnie szybciej niż licznik, więc granica przy nieograniczonym X będzie szła do zera.

przy czym może być, że z drugiego w jakiś sposób wynikać będzie pierwsze, tyle że nie widzę drogi, by tak to przekształcić, jak  napisał LA

no i gryzie mnie, że w liczniku ostatecznie operujemy na liczbach, a w mianowniku - nie

[Lieber Augustin]

Hoko, proszę, krok po kroku:



https://obliczone.pl/wzory-i-własności/granice-funkcji#:~:text=Granica%20ilorazu%20funkcji%20jest%20równa%20ilorazowi%20granic%3A

[Hoko]

Nie wiem, nie znam się. Ale skoro Wolfram podaje 'undefined', to mam wątpliwości 

[maziek]

Ja mam zryty beret przez robotę, natomiast z ciekawości wrzuciłem wyrażenie (inf^inf)/inf! do owego Wolframa i rzeczywiście pokazuje on, że to nieoznaczoność. Natomiast samo inf^inf daje wynik w postaci czegoś co zwą "complex infinity" (symbol inf z kreską poziomą ponad). Cokolwiek miałoby to być (https://mathworld.wolfram.com/ComplexInfinity.html). Wpisanie (compexinf/inf) również daje komunikat, że to nieoznaczoność. Nie wiem, czy już ktoś napisał, ale "w toku myślenia" przypomniałem sobie, że w ogóle inf/inf jest wyrażeniem nieoznaczonym. Czyli jako takie nie ma wartości. W związku z tym, MOŻLIWE, że o ile można obliczyć często granicę czegoś, co na pierwszy rzut oka wygląda jak inf/inf (np. dla n=inf wyrażenie ((n^2)+1)n^3)=inf/inf; ale: lim w nieskończoności ((n^2)+1)n^3)=0), o tyle nie można podać wartości tego wyrażenia po wstawieniu za n inf (wartości, nie granicy w nieskończoności). Taka proto-teza.

Czyli byłoby:

(1) (inf^inf)/inf! - nieoznaczone

(2) limes w inf (x^x)/x! = 0

ale: (1) nietożsame z (2)

[akond]

(2) limes w inf (x^x)/x! = 0

Z dokładnością do odwrotności .

[maziek]

Nosz cholera jak się człowieka coś czepi to się nie pozbędzie ....