Iluzje-deluzje czyli jak mózg nas oszukuje:)

[maziek]

Chociaż, hm, z drugiej strony, biorąc pod uwagę niektóre właściwości fraktali...

Jednakże weź pod uwagę, że "krzywa schodkowa" nie ma podstawowej własności fraktala, czyli samopodobieństwa. Fraktal w dowolnym powiększeniu wygląda z grubsza tak samo - w dowolnym powiększeniu ma elementy o skali, w stosunku do "kadru", w którym go oglądasz, zbliżone do 1 (czyli wielkości kadru) i elementy mniejsze aż do nieskończenie małych - i tak dalej po każdym kolejnym powiększeniu. Stąd ta doprawdy wykręcająca rozum i zadziwiająca własność, że fraktal płaski nie jest dwuwymiarowy, tylko trochę mniej (a wymiar jego nie jest w dodatku liczbą całkowitą). W schodach wszystkie elementy mają identyczny rozmiar (długość) i masz określone powiększenie, równe n, przy którym w stosunku do wielkości "kadru" będzie on rzędu 1. Swoją drogą łatwo można by wykombinować takie "schody Sierpińskiego" .

[xetras]

Mi akurat nie przyszłoby do głowy żeby krzywą łamaną wygładzić do przekątnej.

I tak byłaby schodkowa lub zębata. Dla mnie taka iluzja jest tylko wyobrażona.

Tylko gdzie tkwi błąd w ocenie całkowitej długości ?

[Lieber Augustin]

Jednakże weź pod uwagę, że "krzywa schodkowa" nie ma podstawowej własności fraktala, czyli samopodobieństwa.

Ani mi się śni nazywać ów "zębaty" odcinek fraktałem. Po prostu chciałem zauważyć, że skoro umowna "linia brzegowa", krzywa zamknięta, obwód skończonej powierzchni, może teoretycznie mieć nieskończoną (sic!) długość, to chyba nie powinien szczególnie dziwić fakt, iż pewien quasi-odcinek jest marne sqrt2 razy dłuższy od innego, na pozór takiego samego.

Nawiasem mówiąc:
Wymiary samopodobieństwa fraktali zawierają się np. w przedziale (1, 2), czyli wymiary tej grupy fraktali (mowa tu na przykład o trójkącie Sierpińskiego czy płatku Kocha) są mniejsze niż figury płaskiej, a większe niż prostej. Tak więc fraktale, których wymiary samopodobieństwa zawierają się w tym przedziale, już nie są prostymi, a jeszcze nie są figurami płaskimi.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wymiar_podobieństwa
 

[maziek]

Tzn. ja rozumiem Twoje zdumienie, czy też zadumanie. Podobne towarzyszy mi (można powiedzieć w drugą stronę ) np. przy pseudosferze, która ma nieskończoną długość - a jednak powierzchnie identyczną ze sferą o tym samym promieniu. W sumie to co piszesz jest odwrotne od "paradoksu wybrzeża", jeśli można tak to ująć.

[Lieber Augustin]

Aby trochę odpocząć od fraktali i pseudosfer i złapać oddech, proponuję pooglądać sobie zwykłą, konwencjonalną, miłą sercu hiperkostkę: