Autor Wątek: Nieskończoność i jej różne wymiary  (Przeczytany 12575 razy)

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #165 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:45:30 am »
Część nie jest większa od całości.
Są to zbiory równoliczne czyli z taką samą mocą - i to jest paradoks - jeśli już;))
Miałem na myśli - większa, w tym sensie co pisał maziek:
Natomiast oczywiście jak może być suma elementów podzbioru 2x większa od sumy elementów tego zbioru - to trzeba zaakceptować, że może być dowolnie razy większa.
Ale co w tym dziwnego? To nie suma liczby tych elementów - tylko ich wartości.
Nie dodajemy: 1+1+1+1...+1...tylko odpowiednio: 1+2+3+4... +n i 2+4+6+8...+2n
Cytuj
A gdzie ja przepraszałem?
:D
To dopiero iluzja - tyle razy przepraszałeś, że teraz już nie musisz żeby mi głowa dopisała Twoje "przepraszam";)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 708
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #166 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:59:35 am »
Część nie jest większa od całości.
Są to zbiory równoliczne czyli z taką samą mocą - i to jest paradoks - jeśli już;))
Miałem na myśli - większa, w tym sensie co pisał maziek:
Natomiast oczywiście jak może być suma elementów podzbioru 2x większa od sumy elementów tego zbioru - to trzeba zaakceptować, że może być dowolnie razy większa.
Ale co w tym dziwnego? To nie suma liczby tych elementów - tylko ich wartości.
Nie dodajemy: 1+1+1+1...+1...tylko odpowiednio: 1+2+3+4... +n i 2+4+6+8...+2n
Właśnie miałem na myśli sumę wartości - tak jak w przykładzie z chłopakami i dziewczętami.
Co dziwnego? No jakże, suma wartości elementów podzbioru jest większa od sumy całego zbioru. Czy to nie dziwne, olka?

Cytuj
To dopiero iluzja - tyle razy przepraszałeś, że teraz już nie musisz żeby mi głowa dopisała Twoje "przepraszam"
Skoro to iluzja, może zechcesz przenieść ją do wątku Iluzje-deluzje? :);)

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #167 dnia: Czerwiec 28, 2018, 01:43:09 am »
Właśnie miałem na myśli sumę wartości - tak jak w przykładzie z chłopakami i dziewczętami.
Co dziwnego? No jakże, suma wartości elementów podzbioru jest większa od sumy całego zbioru. Czy to nie dziwne, olka?
W przykładzie z chłopakami i dziewczętami mamy dwa zbiory o równej mocy, ale żaden z nich nie zawiera się w drugim. Całym zbiorem jest 20 osobowa klasa ważąca 1050 kg.
I w nim się zawierają te podzbiory. Żadna 35 kg dziewczynka nie zawiera się w 70 kg chłopczyku. To są zbiory rozłączne, bez części wspólnej.
Ta klasa jest porównywalne ze zbiorem np. dziesięciu 2 i odpowiadającym im (2n) dziesięciu 4.
Ale zbiór 4 nie zawiera się w zbiorze 2 - są tylko równoliczne.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 708
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #168 dnia: Czerwiec 28, 2018, 11:33:13 am »
W przykładzie z chłopakami i dziewczętami mamy dwa zbiory o równej mocy, ale żaden z nich nie zawiera się w drugim. Całym zbiorem jest 20 osobowa klasa ważąca 1050 kg.
No, zgadza się, olka. To tak jak parzyste, nieparzyste i naturalne.
Użyłem podany przez Ciebie przykład z klasą, aby unaocznić różnicę pomiędzy mocą zbioru a sumą wartości poszczególnych elementów.

Dla zbioru skończonego, takiego jak klasa, wszystko zgadza się i nie przeczy zdrowemu rozsądkowi. Możemy oznaczyć np. chłopaków liczbami parzystymi, a dziewczyn - nieparzystymi, iloraz waga klasy/waga chłopaków jest większy od 1 i wynosi 1,5. Wlaśnie tak jak podpowiada zdrowy rozsądek.

Dalej, to dotyczy również "klasy" o dowolnej liczbie uczniów n. Wszystko jedno, suma wartości całego zbioru większa niż dowolnego podzbioru.
Co zmienii się, jeżeli n dąży do nieskończoności? Moim zdaniem, nic się nie musi zmienić.

Więc dlaczego dla zbiorów N i Nparz musi być inaczej?
Można rozpatrzeć skończony zbiór [1; n] dla dowolnie dużego (czy wielkiego? :) ) n, obliczyć iloraz N/Nparz i spróbować wyobrazić sobie, co się zmieni przy n dążącym do nieskończoności.
O ile w ogóle potrafimy wyobrazić sobie nieskończoność.

Skoro dla dowolnego n iloraz pozostaje ten sam, czyli 2, można przypuścić, iż nawet przy n dążącym do nieskończoności on (iloraz) nie zamieni się na 1/2.

Można przypuścić też, że ja się mylę ;)  Nigdy nie umierałbym za swoje przekonania, bo mogę się mylić, jak mawiał Twój ulubiony Bertrand Russell :);)

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #169 dnia: Czerwiec 28, 2018, 11:50:43 am »
W przykładzie z chłopakami i dziewczętami mamy dwa zbiory o równej mocy, ale żaden z nich nie zawiera się w drugim. Całym zbiorem jest 20 osobowa klasa ważąca 1050 kg.
No, zgadza się, olka. To tak jak parzyste, nieparzyste i naturalne.
Użyłem podany przez Ciebie przykład z klasą, aby unaocznić różnicę pomiędzy mocą zbioru a sumą wartości poszczególnych elementów.
Nie. Nie tak jak parzyste, nieparzyste i N i to nie był mój przykład:)
Ja użyłam 20 dziewczynek i 10 chłopców, żeby pokazać liczebność/moc zbioru, ale nie sumę wartości jego elementów.
Chodziło mi o to:
Ale tak nie działają zbiory nieskończone 2n i n. Nieskończoność pomnożona przez dwa to nie jest dwukrotnie większa nieskończoność tylko dalej nieskończoność.

Ty dopisałeś wartości do elementów czyli wagę dzieci. Z tym, że zbudowałeś ciągi stałe o r=0.  Gdzie żaden nie jest podzbiorem drugiego. Nawet nie mają części wspólnej.
Liczby N, parzyste N, nieparzyste N są ciągami rosnącymi o r różnym od zera.
Cytuj
Można przypuścić też, że ja się mylę ;)  Nigdy nie umierałbym za swoje przekonania, bo mogę się mylić, jak mawiał Twój ulubiony Bertrand Russell :);)
Można przypuścić, że ja:)
Trudno nie zgodzić się z Russellem - co mi jednak przypomina, że temat Spinozy nie został wyczerpany, bo skręcił w nieskończoność:))
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10923
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #170 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:02:27 pm »
LA - tak, to wygeneruje zbiór liczb naturalnych, ale dla każdego n dostaniesz dwie liczby. Czyli porównując dwa zbiory dla danego n naturalne będą miały 2n elementów, a parzyste n.
Gdzieś tu tkwi nieporozumienie... Powiedziałbym, dla danego n naturalne będą miały n elementów, a parzyste z grubsza n/2.
Dla dowolnego skończonego odcinka [1; n] iloraz sumy N i sumy parzystych dąży do 2. Zgadza się?
W nieskończoności zaś odwrotnie - suma parzystych jest niby większa, iloraz wynosi 1/2.  W jaki moment, zaczynając z jakich wielkości n zachodzi ta "inwersja"?
Nie ma inwersji. Nieporozumienie polega na tym, że jeśli rozpatrujemy ciągi liczb, to n oznacza numer porządkowy kolejnego wyrazu ciągu. Trzeci wyraz ciągu kolejnych liczb naturalnych, jeśli n1=0 to 2, zaś trzeci wyraz ciągu liczb parzystych to 4. 4 nie występuje w podzbiorze liczb naturalnych dla n=1...3. Trzeba rozumować bijekcją (lub sumą rozłączną jak napisał prof) - każdemu elementowi jednego zbioru (ciągu) przyporządkować element drugiego niczego nie pomijając.

A więc nie tak:

0 - 0
1 - -
2 - 2
3 - -
4 - 4
...

tylko tak:

0 - 0
1 - 2
3 - 4
4 - 6
...


Przy czym dla rozumowania nie jest istotne, w jakim porządku przyporządkujesz elementy (np. nie 0-0, 1-2, 3-4..., tylko 0-2, 1-0, 2-6, 3-4...) - ponieważ chodzi tylko o stwierdzenie równoliczności, czyli, że elementów jest tyle samo. Jak każdy chłopak w klasie weźmie dziewczynę za rękę (i nieważne którą!) i nikt nie pozostanie samotny to wiemy, że te zbiory są równoliczne. Nie wiemy natomiast nic o łącznej masie tych podzbiorów, chyba, że się zapytamy, ale to inna sprawa. Co ciekawe nie musimy też nic wiedzieć na temat liczby elementów w tych zbiorach - co niejako jest odbiciem sytuacji, że jak zbiór jest nieskończony to też w pewnym sensie nie wiemy za wiele o jego liczności (nie możemy podać konkretnej liczby). Ale wiemy, że mają tyle samo elementów.

Tak i tu - jedno to to, że zbiory są równoliczne, a drugie, jakie wartości mają ich elementy. Gdybyśmy wzięli nieskończony ciąg jedynek (1, 1, 1...) i nieskończony ciąg miliardów (10^9, 10^9, 10^9...) to sumy obu ciągów są nieskończone a oba zbiory równoliczne. I tu chyba nikt nie zaprotestuje, że suma drugiego jest n*(10^9 - 1) większa.

Błąd rozumowania polega na tym, że dla n wyrazów podzbioru kolejnych liczb naturalnych wyrazy podzbioru kolejnych liczb parzystych począwszy już od ~n/2 nie będą zawierały się w tym podzbiorze naturalnych.

Dla n=100 ostatni wyraz podzbioru naturalnych to 100, tymczasem już 52 wyraz parzystych to 102, jeśli oba podzbiory zacząć od 0.
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 28, 2018, 12:29:22 pm wysłana przez maziek »
Jest wolność, więc każdy ma prawo być idiotą!
© Krzysztof Grabowski, DEZERTER

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #171 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:15:52 pm »
Przy czym dla rozumowania nie jest istotne, w jakim porządku przyporządkujesz elementy (np. nie 0-0, 1-2, 3-4..., tylko 0-2, 1-0, 2-6, 3-4...) - ponieważ chodzi tylko o stwierdzenie równoliczności, czyli, że elementów jest tyle samo.
Ale dla sumy wartości elementów ma znaczenie, który element jest a1.
Dlatego bardziej elegancko jest:
- dla parzystych:
0-0
1-2
2-4
3-6
...
- dla nieparzystych:
0-1
1-3
2-5
3-7
...
Wg wzorów na parzyste i nieparzyste.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10923
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #172 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:23:05 pm »
Ale dla sumy wartości elementów ma znaczenie, który element jest a1.
Dlatego bardziej elegancko jest:
Dla sumy nie ma żadnego znaczenia ze względu na przemienność dodawania. Rozpatrujemy przecież sumę całego zbioru (lub podzbioru). Ty byś chciała, żeby od sposobu liczenia zależało, ile człowiek ma pieniędzy... ;) . Ja też, nie powiem.

Tyle, że technicznie łatwiej policzyć, kiedy chodzi o prosty ciąg arytmetyczny, a trudniej, jeśli definicja ciągu będzie jakaś skomplikowana, zwłaszcza nie dana jednym wzorem.
Jest wolność, więc każdy ma prawo być idiotą!
© Krzysztof Grabowski, DEZERTER

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #173 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:41:56 pm »
Ale dla sumy wartości elementów ma znaczenie, który element jest a1.
Dlatego bardziej elegancko jest:
Dla sumy nie ma żadnego znaczenia ze względu na przemienność dodawania. Rozpatrujemy przecież sumę całego zbioru (lub podzbioru). Ty byś chciała, żeby od sposobu liczenia zależało, ile człowiek ma pieniędzy... ;) . Ja też, nie powiem.

Tyle, że technicznie łatwiej policzyć, kiedy chodzi o prosty ciąg arytmetyczny, a trudniej, jeśli definicja ciągu będzie jakaś skomplikowana, zwłaszcza nie dana jednym wzorem.
To właściwie jest ciekawe.
Myśląc o nieskończoności obu zbiorów; N i parzystych - nie ma, bo muszą się trafić wszystkie pary - a to dodawanie przemienne.
Ale myśląc o sumie ciągów - ma znaczenie ich uporządkowanie - tzn. kolejne elementy, bo ważne to jest do ustalenia a1 i różnicy. To jest suma n pierwszych wyrazów ciagu - nie rozsypanych....
Mam tutaj jakiś zgrzyt:)
Tzn gdybyśmy sumowali chaotycznie i w pewnym momencie przerwali sumowanie, żeby sprawdzić ów iloraz - nie otrzymamy go.
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 28, 2018, 12:43:53 pm wysłana przez olkapolka »
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10923
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #174 dnia: Czerwiec 28, 2018, 12:57:09 pm »
Ale myśląc o sumie ciągów - ma znaczenie ich uporządkowanie - tzn. kolejne elementy, bo ważne to jest do ustalenia a1 i różnicy. To jest suma n pierwszych wyrazów ciagu - nie rozsypanych....
Mam tutaj jakiś zgrzyt:)
Tzn gdybyśmy sumowali chaotycznie i w pewnym momencie przerwali sumowanie, żeby sprawdzić ów iloraz - nie otrzymamy go.

Tzn. tak. Generalnie to jest różnica ciąg-zbiór albo wariacja-kombinacja. Dla sumy danego zbioru kolejność nie ma znaczenia ale jak chcemy rozumowanie rozciągnąć na jego podzbiory to będzie miała, bo suma (1, 2, 3, 4) jest równa (3, 1, 2, 4), ale suma (1,2) nie jest równa (3, 4) ani (2, 4 itd.). Tylko wówczas by się zgadzało, gdyby formuła ciągu innego niż prosty arytmetyczny o różnicy odpowiednio 1 i 2 dawała dla każdego n takie same podzbiory - a tak na czuja, jakby stworzyć taką formułę, to nieuchronnie da się ją uprościć do n(n+1)=nn+r. Ciekawe, czy jest na to twierdzenie?

Tu zaczęło się od zbioru kolejnych liczb naturalnych i parzystych, przy czym chyba milcząco wszyscyśmy to traktowali jako zbiory uporządkowane (czyli ciągi) i uporządkowane rosnąco (czyli, jeśli tak można to ująć, naturalnie, 1, 2, 3 itd.). Czyli pojęcie zbioru jest tu bardziej ogólne i jego użycie "zaciera" część informacji (konkretnie o kolejności).
Jest wolność, więc każdy ma prawo być idiotą!
© Krzysztof Grabowski, DEZERTER

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 708
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #175 dnia: Czerwiec 28, 2018, 08:56:40 pm »
W przykładzie z chłopakami i dziewczętami mamy dwa zbiory o równej mocy, ale żaden z nich nie zawiera się w drugim. Całym zbiorem jest 20 osobowa klasa ważąca 1050 kg.
No, zgadza się, olka. To tak jak parzyste, nieparzyste i naturalne.
Użyłem podany przez Ciebie przykład z klasą, aby unaocznić różnicę pomiędzy mocą zbioru a sumą wartości poszczególnych elementów.
Nie. Nie tak jak parzyste, nieparzyste i N i to nie był mój przykład:)
Ja użyłam 20 dziewczynek i 10 chłopców, żeby pokazać liczebność/moc zbioru, ale nie sumę wartości jego elementów.
Chodziło mi o to:
Ale tak nie działają zbiory nieskończone 2n i n. Nieskończoność pomnożona przez dwa to nie jest dwukrotnie większa nieskończoność tylko dalej nieskończoność.

Ty dopisałeś wartości do elementów czyli wagę dzieci. Z tym, że zbudowałeś ciągi stałe o r=0.  Gdzie żaden nie jest podzbiorem drugiego. Nawet nie mają części wspólnej.
Liczby N, parzyste N, nieparzyste N są ciągami rosnącymi o r różnym od zera.
Chyba nieprecyzyjnie się wyraziłem. Jasne, to nie Twój przykład. Wziąłem tylko za osnowę wymyślony przez Ciebie entourage z klasą i uczniami :)
Cytuj
zbudowałeś ciągi stałe o r=0.  Gdzie żaden nie jest podzbiorem drugiego. Nawet nie mają części wspólnej.
Dlaczego nie jest? Zbiór np. chłopaków to podzbiór uczniów. Ale mniejsza z tym.

Po co właśnie dopisałem wartości?
Zbiory o różnych liczbach kardynalnych, naprzykład N i R - są różne z zasady. Chciało mi się jednak udowodnić, że zbiory o jednakowej mocy też mogą być odmienne. Skoro mają tę samą moc, czyli liczbę elementów, mogą różnić się tylko sumą wartości elementów.

Chyba zgadzamy się, że zbiory N i Nparz różnią się dwukrotnie. Ot tylko który jest większy?

Ośmielam się myśleć, iż rozumiem Twoją i maźka myśl: zbiory są o równej mocy, istnieje bijekcja zbiorów, suma wartości elenentów Nparz jest dwukrotnie większa niż N, ergo zbiór parzystych dwukrotnie większy od N, mimo że jest jego podzbiorem. Tak czy nie?
Muszę przyznać, że z punktu widzenia matematyki wszystko doskonale zgadza się. n/2n=1/2.

Ale czy Ty nie widzisz krzyczącej sprzeczności? No, nie może część być większa od całości. Jeśli tak, diabła warta cała nasza wiedza razem ze zdrowym rozsądkiem. Wtedy wszystko jest możliwe. Może chłopak z Jerałaszu miał rację, i 28/7=13? A właśnie dlaczego nie, skoro elementarna logika i zdrowy rozsądek nie dzałają?

Właśnie dlatego usiłuję znaleźć wyjście ze sprzeczności. Znaleźć inny, alternatywny, hm, algorytm rozumowań. No, naprzykład ten który już podawałem. Trochę sprecyzuję go.

Zamiast rozpatrywać bijekcję
0 - 0
1 - 2
2 - 4
3 - 6 itd.,
spróbujemy wziąc ograniczony odcinek na osi liczb naturalnych [0; n] i obliczyć sumę wszystkich liczb N w tym odcinku:
1+2+3+...+n
a następnie sumę Nparz (założmy, że n - liczba parzysta):
2+4+6+...+n
Stosunek, iloraz tych sum dąży do 2 ze zwiększeniem n.
Teraz "skierujemy" n do nieskończoności:
lim{n->oo} (1+2+3+...+n)/(2+4+6+...+n)

Wydaje się, ten limit wynosi 2, i myślę, to da się dowieść.
Czyli sprzeczności nie ma, całość większa od części, tak jak ma być.
Idea polega na tym, żeby rozpatrzeć iloraz sum w pewnym ograniczonym zbiorze N, a następnie rozszerzyć jego granicę na nieskończoność. Mówjąc obrazowo, zrównać "prędkości uciekania" ciągów do nieskończoności.

Nie wiem, czy udało mi się przedstawić sedno pomysłu w sposób zwięzły i zrozumiały.
Nie upieram się że taki pomysł jest poprawny i w ogóle zasługuje na uwagę. Ale mimo to chciałoby się usłyszeć Twoją, olka, i Twoją, maźku, opinię na ten temat.
Dziękuję z góry :)

Cytuj
Trudno nie zgodzić się z Russellem - co mi jednak przypomina, że temat Spinozy nie został wyczerpany, bo skręcił w nieskończoność:))
A co może stać na zawadzie, olka, żebyśmy powrócili do tego tematu? :)
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 28, 2018, 11:12:26 pm wysłana przez Lieber Augustin »

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #176 dnia: Czerwiec 29, 2018, 02:46:16 am »
Tzn. tak. Generalnie to jest różnica ciąg-zbiór
No właśnie.
Można użyć wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytm do nieuporządkowanego zbioru?
Więc tak  - pewnie milcząco tutaj myślimy o takim porządku jak wspomniałam we wcześniejszym poście. Ładnie sparowane n w 2n.
Cytuj
Tylko wówczas by się zgadzało, gdyby formuła ciągu innego niż prosty arytmetyczny o różnicy odpowiednio 1 i 2 dawała dla każdego n takie same podzbiory - a tak na czuja, jakby stworzyć taką formułę, to nieuchronnie da się ją uprościć do n(n+1)=nn+r. Ciekawe, czy jest na to twierdzenie?
Nie bardzo rozumiem.
Na co twierdzenie? Na właściwie...definicję ciągu arytmetycznego?;)
Ciąg arytmetyczny - to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r
Że wyraz następny (n+1) jest sumą poprzedniego (n) i różnicy?
Cytuj
zbudowałeś ciągi stałe o r=0.  Gdzie żaden nie jest podzbiorem drugiego. Nawet nie mają części wspólnej.
Dlaczego nie jest? Zbiór np. chłopaków to podzbiór uczniów. Ale mniejsza z tym.
Ok - zbiór uczniów to N, dziewczynki i chłopcy to jego podzbiory: parzyste i nieparzyste.
Ale liczby parzyste i nieparzyste mają swoje rosnące ciągi arytmetyczne o r=2, a Twoja dziecięca waga to ciągi stałe o r=0.
Cytuj
zbiory są o równej mocy, istnieje bijekcja zbiorów, suma wartości elenentów Nparz jest dwukrotnie większa niż N, ergo zbiór parzystych dwukrotnie większy od N, mimo że jest jego podzbiorem. Tak czy nie?
Wg mnie: nie.
Mieszają się tutaj różne miary. Liczba elementów zbioru i suma ich wartości. A wniosek ma być ogólny co do wielkości obu zbiorów - ale jakiej wielkości? Jaka to miara?:)
Cytuj
Ale czy Ty nie widzisz krzyczącej sprzeczności? No, nie może część być większa od całości.
A może być jej równa?:)
Z definicji:
Zbiór nieskończony to:zbiór, który jest równoliczny z pewnym swoim właściwym podzbiorem. Liczbę kardynalną nazywamy nieskończoną, gdy jest mocą pewnego zbioru nieskończonego.
Właściwym podzbiorem zbioru N jest zbiór liczb parzystych. A tę równoliczność wyraża funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) czyli odwzorowanie n w 2n.

Plus to co odpisał prof. Stewart  - maźkowi: The resolution is that 2 times aleph-0 equals aleph-0 in Cantor’s set-up.

Cytuj
Nie wiem, czy udało mi się przedstawić sedno pomysłu w sposób zwięzły i zrozumiały.
A ja nie wiem czy Twój pomysł jest zasadny i jakie wnioski można na jego podstawie wysnuć.
Ale sumując liczby N i parzyste w konkretnym przedziale domkniętym obustronnie - jak zapisałeś - [0, n] - nie ma mowy o nieskończoności.
To inaczej zdefiniowane zbiory. By zachować sens trzeba by porównać równoliczne podzbiory N i parzystych - w odpowiadającej im relacji n na 2n. Jakoś tak to widzę.
Cytuj
Trudno nie zgodzić się z Russellem - co mi jednak przypomina, że temat Spinozy nie został wyczerpany, bo skręcił w nieskończoność:))
A co może stać na zawadzie, olka, żebyśmy powrócili do tego tematu? :)
Moje wakacje...mogą stać na przeszkodzie:)
Ale po nich - why not?;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10923
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #177 dnia: Czerwiec 29, 2018, 10:02:38 am »
Nie bardzo rozumiem.
Na co twierdzenie? Na właściwie...definicję ciągu arytmetycznego?;)
Chodzi mi po głowie, że jest takie twierdzenie (albo tylko mi się przyśniło ;) ), że jak masz dwie funkcje f(x) i g(x), mają one tożsame dziedziny oraz dla każdego x f(x)=g(x), to f(x) i g(x) to muszą być dane tym samym wzorem. Tzn. jakimi wzorami nie byłyby dane, to wzory te dadzą się przekształcić do tej samej postaci. Jeśli to prawda, to nie ma innego wzoru na liczby naturalne niż a(n+1)=an+1.

PS nie tyle na liczby, co na ich ciąg rosnący od 1.
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 29, 2018, 11:02:49 am wysłana przez maziek »
Jest wolność, więc każdy ma prawo być idiotą!
© Krzysztof Grabowski, DEZERTER

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 708
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #178 dnia: Czerwiec 29, 2018, 08:19:55 pm »
Cytuj
zbiory są o równej mocy, istnieje bijekcja zbiorów, suma wartości elenentów Nparz jest dwukrotnie większa niż N, ergo zbiór parzystych dwukrotnie większy od N, mimo że jest jego podzbiorem. Tak czy nie?
Wg mnie: nie.
Mieszają się tutaj różne miary. Liczba elementów zbioru i suma ich wartości. A wniosek ma być ogólny co do wielkości obu zbiorów - ale jakiej wielkości? Jaka to miara?:)
Dlaczego sądzisz, olka, że mieszają się tutaj różne miary? Skoro zbiory są równoliczne, liczba elementów, czyli moc w ogóle nie wchodzi w grę. Za miarę wielkości zbioru uważamy sumę wartości elementów. Czy zgadzasz się ze mną?:)

Cytuj
Ok - zbiór uczniów to N, dziewczynki i chłopcy to jego podzbiory: parzyste i nieparzyste.
Ale liczby parzyste i nieparzyste mają swoje rosnące ciągi arytmetyczne o r=2, a Twoja dziecięca waga to ciągi stałe o r=0.
Zgadza się, ale, olka, te dzieciaki to tylko przykład, bardzo uproszczony model tego o czym mówimy :)
No dobrze, skoro uważasz go za niewłaściwy, rezygnuję z tego modelu :)

Cytuj
A może być jej równa?
Z definicji:
Zbiór nieskończony to:zbiór, który jest równoliczny z pewnym swoim właściwym podzbiorem. Liczbę kardynalną nazywamy nieskończoną, gdy jest mocą pewnego zbioru nieskończonego.
Właściwym podzbiorem zbioru N jest zbiór liczb parzystych. A tę równoliczność wyraża funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) czyli odwzorowanie n w 2n.

Plus to co odpisał prof. Stewart  - maźkowi: The resolution is that 2 times aleph-0 equals aleph-0 in Cantor’s set-up.
Och... albo ja w ogóle nic nie rozumiem, albo tu tkwi jakiś "zgrzyt". Ot, proszę przeczytać od nowa. Pytanie maźka, o ile rozumiem, dotyczy sum wartości elementów:

First set is an arithmetic progression with common difference equal to 1, and second equal to 2.
when a1=0 we can divide n-term sum of first progression by second using expression for sum of n-term, this will be:

[n(n-1)1/2] / [n(n-1)2/2]

what is independent of n and equal to 1/2. So: n-term sum of first progression divided by n-term sum of second is always 1/2.
And the question: is this correct to say, that when n is infinite it is still true, that infinite sum of even numbers set is 2 times bigger than adequate sum of N numbers set? Despite the fact, that cardinality is equal?


Odpowiedź profesora Stewarta
It is a rather nice paradox that the sum of the even numebrs
is ‘obviously’ twice that of all numbers, despite being
a subset. The resolution is that 2 times aleph-0 equals aleph-0
in Cantor’s set-up. So you’re right — but it’s not contradictory.


dotyczy mocy zbioru, liczby kardynalnej alef-zero. Powiedziałbym, tutaj mieszają się różne miary:). Zatem, wydaje się, contradiction pozostaje. Jak Ty sądzisz, olka?
I dlaczego ‘obviously’ w cudzysłowie? Więc oczywiście dwukrotnie większy czy nie? Raczej tak, skoro "you’re right"...
...oj, zuchwały jestem... :)

Cytuj
Ale sumując liczby N i parzyste w konkretnym przedziale domkniętym obustronnie - jak zapisałeś - [0, n] - nie ma mowy o nieskończoności.
Tak jest, od początku rozpatruję przedział domknięty. Ale to o czym pisałem jest słuszne dla dowolnego n, dla setki, miliarda, nawet dla googla 10^100. Czyli jest słuszne dla n dążącego do nieskończoności.

Cytuj
By zachować sens trzeba by porównać równoliczne podzbiory N i parzystych - w odpowiadającej im relacji n na 2n. Jakoś tak to widzę.
Gotów jestem zgodzić się z Tobą - pod warunkiem, że podasz rozwjązanie paradoksu części i całego, nie uciekając się do pojęcia mocy zbiorów. Czyli nie mieszając różne miary ;)

Cytuj
Moje wakacje...mogą stać na przeszkodzie:)
Ale po nich - why not?
Udanych i miłych wakacji, olka :);)


@maziek

Na temat Twojego listu do profesora Stewarta - jesteś zuch, maźku. Respekt i szacun!!!
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 29, 2018, 08:29:57 pm wysłana przez Lieber Augustin »

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4839
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #179 dnia: Czerwiec 29, 2018, 10:38:27 pm »
Nie bardzo rozumiem.
Na co twierdzenie? Na właściwie...definicję ciągu arytmetycznego?;)
Chodzi mi po głowie, że jest takie twierdzenie (albo tylko mi się przyśniło ;) ), że jak masz dwie funkcje f(x) i g(x), mają one tożsame dziedziny oraz dla każdego x f(x)=g(x), to f(x) i g(x) to muszą być dane tym samym wzorem. Tzn. jakimi wzorami nie byłyby dane, to wzory te dadzą się przekształcić do tej samej postaci. Jeśli to prawda, to nie ma innego wzoru na liczby naturalne niż a(n+1)=an+1.

PS nie tyle na liczby, co na ich ciąg rosnący od 1.
Nie wiem - mnie to jakoś się zapętla. To jest definicja ciągu arytmetycznego, a jest on określony na liczbach N (bo n to kolejne liczby N), więc musi to być kolejny element ciągu N.
Który prościej się podaje za pomocą samego n.
Wg mnie tak: funkcje są równe jeśli mają takie same dziedziny i przeciwdziedziny (dla tego samego argumentu przyjmują taką samą wartość) - a ich wzory dadzą się przekształcić do tej samej postaci - są po prostu równe.
Ale jak to się ma mieć do sumowania N i parzystych?
Za miarę wielkości zbioru uważamy sumę wartości elementów. Czy zgadzasz się ze mną?:)
Szczerze powiedziawszy nic już nie wiem - ale wg mnie jeśli mówimy o wielkości zbiorów to mówimy o ich mocy.
Suma wartości jego elementów to jest już coś wewnątrz zbioru - relacja pomiędzy jego elementami.
Cytuj
dotyczy mocy zbioru, liczby kardynalnej alef-zero. Powiedziałbym, tutaj mieszają się różne miary:). Zatem, wydaje się, contradiction pozostaje. Jak Ty sądzisz, olka?
Wg mnie nie pozostaje. Z tymi sumami chodzi o to, że dostajemy zbiór nieskończony - dwa razy większy od drugiego, który również jest nieskończony.
Nie ma dwóch różnych nieskończoności w N czyli de facto moc/wielkość parzystych jest taka sama jak N - chociaż wygląda na podwojonego alefa0.
Cytuj
I dlaczego ‘obviously’ w cudzysłowie?
Bo oczywiście nie jest większy ;D
Cytuj
By zachować sens trzeba by porównać równoliczne podzbiory N i parzystych - w odpowiadającej im relacji n na 2n. Jakoś tak to widzę.
Gotów jestem zgodzić się z Tobą - pod warunkiem, że podasz rozwjązanie paradoksu części i całego, nie uciekając się do pojęcia mocy zbiorów. Czyli nie mieszając różne miary ;)
Musimy pozostać w niezgodzie 8);)
Dziękuję za życzenia:)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)