Chyba nikt z zajętych tą dyskusją nie ma problemów z angielskim (chyba, że się mylę) - ale leciało to tak, pomijając choreografię:
Czy zechciałby profesor wskazać, gdzie leży prawda?
Problem podobny do galileuszowego o kwadratach i liczbach naturalnych.
Jeśli weźmiemy dwa nieskończone zbiory: liczb naturalnych i liczb parzystych to oba są mocy alef zero, mają więc tą samą moc.
Pierwszy zbiór jest ciągiem arytmetycznym z różnicą 1, a drugi z różnicą 2.
Przyjmując n1=0 możemy podzielić sumę n-wyrazów pierwszego ciągu przez sumę drugiego, korzystając ze wzoru na sumę n-wyrazów ciągu, co daje:
[n(n-1)1/2] / [n(n-1)2/2]
co jest niezależne od n i równe 1/2. Tak więc suma n-wyrazów pierwszego ciągu podzielona przez sumę n-wyrazów drugiego daje zawsze 1/2.
Pytanie: czy można powiedzieć, że dla n nieskończonego również jest prawdą, że suma nieskończenie wielu liczb parzystych jest 2x większa od odpowiedniej sumy liczb naturalnych? Mimo tego, że moc zbiorów jest równa?
Odpowiedź:
Trzeba być bardzo uważnym rozważając nieskończoność powstałą poprzez dodawanie liczb. Jedną z możliwości jest tworzenie (pod)zbiorów 1, 2, 3 itd. -elementowych (zbiorów N i parzystych - przyp. mój) i ich sum rozłącznych. To pokaże, że oba zbiory są mocy alef zero.
To dość sympatyczny paradoks, że zbiór parzystych jest "oczywiście" większy od zbioru naturalnych, choć jest jego podzbiorem. Rozwiązaniem (paradoksu) jest, że 2*alef-zero równa się alef-zero wg założenia Cantora. Tak więc masz rację - i nie ma w tym sprzeczności.