Autor Wątek: Nieskończoność i jej różne wymiary  (Przeczytany 15220 razy)

Hoko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 2458
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #105 dnia: Czerwiec 03, 2018, 02:02:22 pm »
olka

A na jakiej podstawie LA wydaje się, że można?

Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka  :)


xpil

rzeczona arytmetyka nie jest tu chyba do niczego potrzebna.
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 03, 2018, 02:04:29 pm wysłana przez Hokopoko »

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 234
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #106 dnia: Czerwiec 03, 2018, 02:45:13 pm »
rzeczona arytmetyka nie jest tu chyba do niczego potrzebna.

Moim zdaniem moc zbioru liczb naturalnych parzystych jest równa mocy zbioru liczb naturalnych, ich sumy też są sobie równe,o ile tylko pododajemy z obu stron wszystkie elementy do samego końca.

Co więcej, twierdzę, że moc równa się w tym przypadku sumie,ponieważ każdej sumie częściowej potrafię przypisać liczbę naturalną o indeksie równym tejże sumie. Moc ta wynosi alef 0.

Nawiasem mówiąc liczb wymiernych dodatnich jest dokładnie tyle samo, chociaż między zerem a jedynką jest ich nieskończenie wiele.

Liczb rzeczywistych natomiast jest więcej od alef 0.

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4998
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #107 dnia: Czerwiec 03, 2018, 02:49:38 pm »
olka

A na jakiej podstawie LA wydaje się, że można?

Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka  :)

Też uważam, że jest pomieszana - stąd wcześniejsza próba rozplątania.
Co do LA - nie wiem:)
Wydaje mi się, że wychodzi z prostego założenia, że żeby porównać liczbę elementów jednego zbioru, do liczby elementów drugiego trzeba sprawdzić w jakiej proporcji do siebie są (iloraz).
Stosuje to też do granic - ale jaki z tego wniosek: nie rozumiem.
Iloraz działa w skończonych zbiorach.
Np. w klasie jest 20 dziewczyn i 10 chłopaków. Ile razy więcej jest dziewczyn niż chłopaków? 20/10=2. Zbiór jest dwukrotnie większy.

Ale tak nie działają zbiory nieskończone 2n i n. Nieskończoność pomnożona przez dwa to nie jest dwukrotnie większa nieskończoność tylko dalej nieskończoność.
Jak od zbioru skończonego dziewczyn odejmiesz 2, to już będzie inna proporcja; 9/5. Na nieskończoność nie działa odjęcie paru dziewczynek;)

2n nie dotyczy liczby elementów ciągu tylko określa wzór na kolejny wyraz tego ciągu  - jego wartość. Więc faktycznie suma musi być dwukrotnie większa.
Itd...itp...

Ale jak do tego mają się granice?
Chodzi mi o interpretację Szpitalnego.
Szpitalny zdaje się tutaj obliczać granicę trzeciej - innej funkcji. Czy można ją jakoś powiązać ze składowymi?
Bo nawet na tym moim wykresie widać, że koło 2 jest gęsto.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Stanisław Remuszko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 8226
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #108 dnia: Czerwiec 03, 2018, 03:29:56 pm »
https://forum.lem.pl/index.php?topic=1629.msg73161#msg73161

Bez względu na prawdziwość/fałsz hipotezy continuum, czy wiadomo coś o liczbach większych od "c" (2^alefzero)?

R.
Ludzi rozumnych i dobrych pozdrawiam serdecznie i z respektem : - )

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 11140
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #109 dnia: Czerwiec 03, 2018, 03:37:10 pm »
maziek

toć mówiłem już: sumę liczy się dla ciągów skończonych (które mogą być fragmentami ciągów nieskończonych) - jest to właśnie suma n-wyrazów, konkretna liczba wyrazów. nie można tu wsadzić nieskończoności.
Tak, ale w moim wzorku wynikowo nie ma sumy ciągu. W ogóle nie ma na końcu n razy cośtam tylko jest liczba. Arytmetycznie wyrażenie jest przekształcone dobrze i efektem tego przekształcenia jest 1/2. Nie ma tu liczenia sumy ciągu arytmetycznego, tylko jest liczba, całkowicie niezawisła od n. Co ona oznacza? Moje przekonanie odnośnie do matematyki jest takie, że jeśli jest znak równa się i po obu stronach sa wyrażenia bez zarzutu, to faktycznie "równa się" i to co po prawej jest równe temu co po lewej. Skoro po lewej zaczęliśmy od sum ciągów arytmetycznych w liczniku i mianowniku z parametrem n i ten parametr "skrócił się" to znaczy, że sumy ciągów będące po lewej odpowiednio w liczniku i mianowniku ułamka są równe temu co po prawej, czyli 1/2 - niezależnie od rozpatrywanej liczby wyrazów ciągu. Jakie zastrzeżenie (w rodzaju "nie dzielimy przez zero") przeczy temu wnioskowi? Konkretnie?

Wydaje mi się, tak ad vocem reszty, że nie rozmawiamy o sumie zbiorów w rozumieniu działania na zbiorach. Każdy ciąg jest równocześnie zbiorem, z tym, że uporządkowanym wg jakiejś reguły. Mówimy o sumowaniu liczb, które są elementami zbioru a tym wypadku ciągu. Przy czym sumujemy w istocie podzbiór do/z n-tym elementem włącznie. Nie ma to nic wspólnego z sumowaniem czy innymi działaniami na zbiorach.

Ponadto wydaje mi się, że nie ma znaczenia droga (sposób rowiązania) o ile jest poprawny i można i z delOpitala, choć może to wytaczanie działa przeciw musze. Ale można, chyba, że ktoś wykryje błąd. Moja matematyca docinała "ty Kowalski rozwiązałeś to zadanie jakbyś musiał 10 razy szkołę dookoła obejść zanim w drzwi trafiłeś" :) .

Jest wolność, więc każdy ma prawo być idiotą!
© Krzysztof Grabowski, DEZERTER

Hoko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 2458
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #110 dnia: Czerwiec 03, 2018, 03:53:47 pm »
maziek

toć mówiłem już: sumę liczy się dla ciągów skończonych (które mogą być fragmentami ciągów nieskończonych) - jest to właśnie suma n-wyrazów, konkretna liczba wyrazów. nie można tu wsadzić nieskończoności.
Tak, ale w moim wzorku wynikowo nie ma sumy ciągu. W ogóle nie ma na końcu n razy cośtam tylko jest liczba. Arytmetycznie wyrażenie jest przekształcone dobrze i efektem tego przekształcenia jest 1/2. Nie ma tu liczenia sumy ciągu arytmetycznego, tylko jest liczba, całkowicie niezawisła od n. Co ona oznacza?

A chodzi o matematykę, czy już weszliśmy na teren mistyki? Bo jeśli o pierwsze, to najpewniej nic to nie znaczy (inaczej: co do obliczeniowego worka wsadzisz, to i potem z niego wyciągniesz; wychodzi taka liczba, bo takie były warunki wstępne - wyrazy jednego ciągu dwa razy większe od drugiego. możesz to samo zrobić dla innych wielokrotności, za każdym razem wyjdzie jakaś liczba). A gdyby coś było na rzeczy, to już dawno ktoś by to odkrył i w Wikipedii by pisało  :)


olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4998
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #111 dnia: Czerwiec 03, 2018, 08:33:54 pm »
Tak, ale w moim wzorku wynikowo nie ma sumy ciągu. W ogóle nie ma na końcu n razy cośtam tylko jest liczba. Arytmetycznie wyrażenie jest przekształcone dobrze i efektem tego przekształcenia jest 1/2. Nie ma tu liczenia sumy ciągu arytmetycznego, tylko jest liczba, całkowicie niezawisła od n. Co ona oznacza? Moje przekonanie odnośnie do matematyki jest takie, że jeśli jest znak równa się i po obu stronach sa wyrażenia bez zarzutu, to faktycznie "równa się" i to co po prawej jest równe temu co po lewej. Skoro po lewej zaczęliśmy od sum ciągów arytmetycznych w liczniku i mianowniku z parametrem n i ten parametr "skrócił się" to znaczy, że sumy ciągów będące po lewej odpowiednio w liczniku i mianowniku ułamka są równe temu co po prawej, czyli 1/2 - niezależnie od rozpatrywanej liczby wyrazów ciągu. Jakie zastrzeżenie (w rodzaju "nie dzielimy przez zero") przeczy temu wnioskowi? Konkretnie?
Jeśli weźmiesz ciąg N i parzystych N ale co drugich czyli: 4, 8, 12, 16...to stosunek tych sum wynosi 1/4 i też będzie stały, bo jest to ciąg 4n.

Wg mnie to mówi o relacji sum w ciągach skończonych - skończony ciąg liczb N parzystych ma dwa razy większą sumę od tak samo licznego ciągu N, bo dodajesz do siebie odpowiednio większe wyrazy (2 razy większe). Z 4n masz 4 razy większą tę sumę.
Przypominam zdanko z Penrose'a:
możemy posłużyć się przykładem Galileusza i przekonać się, że zbiór liczb kwadratowych {0, 1, 4, 9, 16, 25,..} musi również mieć tę samą moc co N, niezależnie od faktu, iż w dobrze określonym sensie liczby kwadratowe stanowią znikomo małą część całego zbioru liczb naturalnych.
Stosunek tych sum nie wynosi 1/2, ale oczywiście suma kwadratów jest większa od sumy odpowiadających im N - w skończonym ciągu.
Znikomą część - bo w ciągu skończonym?

Natomiast w nieskończoności? Załamka;)
Moce są równe (chociaż intuicja mówi, że nie są), więc - co z sumami? Jak napisał xpil - też są równe? Bo nie ma większej i mniejszej nieskończoności w zbiorze liczb N?

Co do:
Cytuj
Moje przekonanie odnośnie do matematyki jest takie, że jeśli jest znak równa się i po obu stronach sa wyrażenia bez zarzutu, to faktycznie "równa się" i to co po prawej jest równe temu co po lewej.
...i Szpitalnego...znalazłam taki niuansik:
http://matematykadlastudenta.pl/strona/973.html
;)
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 03, 2018, 08:36:06 pm wysłana przez olkapolka »
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 818
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #112 dnia: Czerwiec 03, 2018, 09:43:26 pm »
olka

A na jakiej podstawie LA wydaje się, że można?

Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka  :)

Też uważam, że jest pomieszana - stąd wcześniejsza próba rozplątania.
Co do LA - nie wiem:)
Wydaje mi się, że wychodzi z prostego założenia, że żeby porównać liczbę elementów jednego zbioru, do liczby elementów drugiego trzeba sprawdzić w jakiej proporcji do siebie są (iloraz).
Stosuje to też do granic - ale jaki z tego wniosek: nie rozumiem.
Iloraz działa w skończonych zbiorach.
Np. w klasie jest 20 dziewczyn i 10 chłopaków. Ile razy więcej jest dziewczyn niż chłopaków? 20/10=2. Zbiór jest dwukrotnie większy.

Ale tak nie działają zbiory nieskończone 2n i n. Nieskończoność pomnożona przez dwa to nie jest dwukrotnie większa nieskończoność tylko dalej nieskończoność.
i
Cytuj
No to inaczej: czym jest iloraz zbiorów?
Wydaje się, nie potrafiłem wyrazić swoją myśl w formie zrozumiałej. Spróbuję na nowo.

Olka, nie chodzi mi o to, żeby porównywać liczby elementów zbiorów, tylko sumy samych elementów, od n1 do nieskończoności:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ n +...
2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2n +...
Dla porównania takich nieskończonych sum, obliczania granicy ich ilorazu istnieje aparat matematyczny:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony

Nawiasem: artykuł po polsku jest, moim zdaniem nie bardzo „informatywny”. W języku angielskim trochę lepiej, a najlepiej – po rosyjsku.
Jak widzisz, iloraz działa i w nieskończonych zbiorach, i bynajmniej nie ja wymyśliłem ten sposób na obliczenie nieoznaczoności.

Mały niuans: jeśli po prostu, formalnie wzięć proporcję n/2n, wyjdzie nam1/2. Moim zdaniem, to jest niezgodnie ze zdrowym rozsądkiem i logiką, gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy. Dlatego to właśnie różne tam 2n+(2n-1).

Na marginesie: można rozwiązać nieoznaczoność i bez Szpitalnego:
lim_{1, +oo} (4n-1)/2n = lim (4-1/n)2 = 2 
gdyż 1/n –> 0 przy zwiększeniu n

Cytuj
Moce są równe (chociaż intuicja mówi, że nie są), więc - co z sumami? Jak napisał xpil - też są równe? Bo nie ma większej i mniejszej nieskończoności w zbiorze liczb N?
Na przykładzie stosunków dwóch zbiorów o różnej mocy, np. R/N widzimy że nieskończoności mogą być różnymi, większymi lub mniejszymi. Dlatego nie widzę przeciwwskazań, żeby zbiory o równej mocy różniłyby od siebie wielkością. Wydaje się, myśl xpila jest na poziomie intuicji, czuja: "nieskończoność to zawsze nieskończoność". Ale na takim poziomie intuicja może łatwo zawieść.

@Hoko

Cytuj
Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka  :)
Dodaj do tego worka jeszcze szeregi:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_(matematyka)

« Ostatnia zmiana: Czerwiec 03, 2018, 10:06:24 pm wysłana przez Lieber Augustin »

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 234
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #113 dnia: Czerwiec 03, 2018, 09:58:48 pm »
... gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy.

No i nie jest. Ale mniejszy też nie jest.

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 818
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #114 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:04:02 pm »
... gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy.

No i nie jest. Ale mniejszy też nie jest.
Tak sądzisz? A spróbuj dowieść ich jednakowość.

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 234
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #115 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:10:13 pm »
... gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy.

No i nie jest. Ale mniejszy też nie jest.
Tak sądzisz? A spróbuj dowieść ich jednakowość.

A to w jakim celu? Przecież nigdzie nie napisałem, że te zbiory są jednakowe (bo nie są). Napisałem, że mają tyle samo elementów, i tego mogę dowieść bez zająknięcia.

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 234
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #116 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:11:11 pm »
A jeszcze bardziej można się zdziwić, kiedy sobie człowiek uświadomi, że między dwiema dowolnie blisko wybranymi liczbami wymiernymi znajduje się nieskończenie wiele liczb niewymiernych i vice versa.

Aczkolwiek symetria jest tylko pozorna, bowiem końcem końców liczb wymiernych jest mniej od niewymiernych, bo wymierne da się ponumerować naturalnymi (i to bez "dziur"), a niewymiernych się nie da.

Magia, panie.

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4998
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #117 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:11:21 pm »

Olka, nie chodzi mi o to, żeby porównywać liczby elementów zbiorów, tylko sumy samych elementów, od n1 do nieskończoności:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ n +...
2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2n +...
i
Cytuj
Mały niuans: jeśli po prostu, formalnie wzięć proporcję n/2n, wyjdzie nam1/2. Moim zdaniem, to jest niezgodnie ze zdrowym rozsądkiem i logiką, gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy.
Suma wartości wyrazów ciągu jest większa dwa razy, bo każdy wyraz parzystych N to 2n. W ciągu skończonym.
Cytuj
Na przykładzie stosunków dwóch zbiorów o różnej mocy, np. R/N widzimy że nieskończoności mogą być różnymi, większymi czy mniejszymi. Dlatego nie widzę przeciwwskazań, żeby zbiory o równej mocy różniłyby od siebie większością.
W zbiorze N nie ma różnych nieskończoności - jest jedna - ta N czyli alef 0.

Ja nie bardzo rozumiem łączenia granicy ciągu z jego sumą, wielkością. A co za tym - ilorazu granic liczonego w tym przypadku.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 818
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #118 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:46:14 pm »
@olka

Cytuj
Suma wartości wyrazów ciągu jest większa dwa razy, bo każdy wyraz parzystych N to 2n. W ciągu skończonym.
Niby masz rację, olka. Ciąg parzystych to 2n, zatem jest dwa razy większy od N.
Ale zgódź się ze mną, ja też mam rację - ciąg parzystych to podzbiór N. Do niego trzeba jeszcze dodać nieparzyste, żeby otrzymać N.
Jednym słowem, xpil ma rację - magia... ;)

Cytuj
Ja nie bardzo rozumiem łączenia granicy ciągu z jego sumą, wielkością. A co za tym - ilorazu granic liczonego w tym przypadku.
Ja też nie bardzo rozumiem - a co, iloraz granic i granica ilorazu to synonimy? Może coś niepoprawnie uchwyciłem?

Pewnie źle wyraziłem swoją myśl. Jasne, granica ciągu nie ma nic wspólnego z jego sumą. Nie chodzi mi o granicy ciągu N, tym bardziej, że go nie istnieje.

Może lepiej nazwać to granicą ilorazu dwóch szeregów?
https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_(matematyka)

Definuję szeregi
Σ{n=1, +oo}  1+2+3+...+n+...
i
Σ{n=2, +oo}  2+4+6+...+2n+...
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 03, 2018, 11:44:12 pm wysłana przez Lieber Augustin »

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 234
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #119 dnia: Czerwiec 03, 2018, 10:55:19 pm »
Suma dowolnego nieskończonego podzbioru N wynosi alef 0. Nie ma znaczenia czy sumujesz parzyste, czy kwadraty, czy pierwsze. Suma będzie zawsze taka sama. Koniec, kropka.