Nieskończoność i jej różne wymiary

[Lieber Augustin]

Zbieraj się LA z desek - ja leżę;)
Juz miałam napisać, że nie...gdzieszsz ja się nie boksuję, aż tu pan Spinoza wyprowadził w moim kierunku prawy sierpowy...leżę;)
Wyprowadził go wprost ze swojej "Etyki"

Cóż za niegodziwec z pana Spinozy – wyprowadził cios w olkę...
Ty, olka, poleż trochę, odsapnij – odliczanie poza czasem może trwać dość długo
Ja zaś tymczasem spróbuję walnąć pana Barucha lewym hookiem i prawym crossem. Od dawna on mi się nie podoba...

A więc, zaczynamy. Lewy hook:

Jeśli (...) substancja cielesna jest nieskończona, to pomyślmy sobie, że dzieli się ona na dwie części; każda z tych części będzie albo skończona, albo nieskończona. W pierwszym wypadku coś nieskończonego składa się z dwóch części skończonych, co jest niedorzecznością; w drugim – jest więc coś nieskończonego, co jest dwakroć większe od innego nieskończonego, co jest również niedorzeczne.
(Etyka, cz. I, twierdzenie XV, dowód, przypis)

Rozpatrzymy zbiór liczb naturalnych: 1, 2, 3, ..., n
i zbiór liczb naturalnych parzystych: 2, 4, 6, ..., 2n
Obydwa zbiory są zbiorami przeliczalnymi, nieskończonymi.

Zbiór liczb naturalnych można pozpatrywać jako sumę zbiorów liczb parzystych i nieparzystych: 2n + (2n+1)

Teraz rozpatrzymy stosunek tych zbiorów, czyli granicę nieoznaczoności typu „nieskończoność przez nieskończoność”:
lim_{n–> ∞} ((2n+(2n+1))/2n) = lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n)
Zgodnie z regułą de l’Hospitala,
lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n) = lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n)' = lim_{n–> ∞} (4/2) = 2
(symbol ' oznacza tutaj pochodną)

Otóż to, panie Spinoza, jedna nieskończoność jest dokładnie dwakroć większa od drugiej, i to bynajmniej nie jest niedorzeczne.
IMHO, przynajmniej jedno twierdzenie pana Barucha, oględnie mówjąc, dowiedzone jest nieściśle.
No, i jak po tym ufać pozostałym twierdzeniom i aksjomatom?

Prawy cross:
Jeśli np. w przyrodzie istnieje dwudziestu ludzi (dla większej przejrzystości zakładam, że istnieją oni jednocześnie, i że przed nimi nie istnieli w przyrodzie inni)...
(Etyka, cz. I, twierdzenie VIII, dowód, przypis II)
„Jednocześnie”, ‘przed nimi” – to kategorii czasu. Według samego Spinozy czas niby nie istnieje, z punktu widzenia Boga przeszłość i przyszłość istnieją tak samo aktualnie jak teraźniejszość.

No jak, olka, pomściłem się trochę za zadany Tobie cios?

To wszystko, jak Ty sama rozumiesz, powiedziałem żartem... no, półżartem...
Co do mnie, mam już w nosie pana Barucha z jego eklektyczną filozofią, gęsto zamieszaną na Tałmudzie.
Tak więc, jeśli na serio – proponuję Ci remis

[Stanisław Remuszko]

jedna nieskończoność jest dokładnie dwakroć większa od drugiej

Naprawdę? O rany... To dla mnie rewolucja!

R.

[olkapolka]

Hm...przypomniała się rozmowa sprzed lat o większej i mniejszej nieskończoności i ta miażdżąca książka (co mi maziek - chyba złośliwie;)) - kazał...) Penrose'a "Droga do rzeczywistości" z rozdziałem " Drabina nieskończoności"- wtedy Terminus wyrwał sobie pewnie nieco włosów:
http://forum.lem.pl/index.php?topic=700.msg35653#msg35653
ale jakoś szczymał;)
To może teraz też...bo mnie grzyta:

Jeśli (...) substancja cielesna jest nieskończona, to pomyślmy sobie, że dzieli się ona na dwie części; każda z tych części będzie albo skończona, albo nieskończona. W pierwszym wypadku coś nieskończonego składa się z dwóch części skończonych, co jest niedorzecznością; w drugim – jest więc coś nieskończonego, co jest dwakroć większe od innego nieskończonego, co jest również niedorzeczne.
(Etyka, cz. I, twierdzenie XV, dowód, przypis)

Rozpatrzymy zbiór liczb naturalnych: 1, 2, 3, ..., n
i zbiór liczb naturalnych parzystych: 2, 4, 6, ..., 2n
Obydwa zbiory są zbiorami przeliczalnymi, nieskończonymi.

Zbiór liczb naturalnych można pozpatrywać jako sumę zbiorów liczb parzystych i nieparzystych: 2n + (2n+1)

Teraz rozpatrzymy stosunek tych zbiorów, czyli granicę nieoznaczoności typu „nieskończoność przez nieskończoność”:
lim_{n–> ∞} ((2n+(2n+1))/2n) = lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n)
Zgodnie z regułą de l’Hospitala,
lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n) = lim_{n–> ∞} ((4n+1)/2n)' = lim_{n–> ∞} (4/2) = 2
(symbol ' oznacza tutaj pochodną)

Ale żeby skorzystać z reguły de Zeszpitala funkcje muszą być określone w tym samym przedziale - u Ciebie musiałoby być [0, +oo)  - żeby ując wszystkie nieparzyste N - jeśli weźmiesz przedział [1, +oo) to w nieparzystych brakuje naturalnej 1. A od 0 nie można, bo dzielenie na 2n.
Tja...to tak spoza czasu - jakby co. Bo może to nie chodzi o ten przedział:))
Generalnie miałam na myśli to:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_de_l%E2%80%99Hospitala
Wersja dla granic w nieskończoności...

Tak na marginesie - Spinoza (1632 - 1677), Cantor (1845-1918) - jednak - nie tylko przy nieskończonościach - trzeba wziąć poprawkę na lata, w których Baruch zabrał się do swojej "Etyki" i jaki był wtedy stan wiedzy.
Zupełnie inaczej czyta się niektóre punkty podstawiając za boga - materię/naturę czyli to, o czym wspominałam wyżej - wtedy lepiej można zrozumieć, że wielu materialistów znajdowało w jego systemie "dno pucharu"
Ale:

To wszystko, jak Ty sama rozumiesz, powiedziałem żartem... no, półżartem...
Co do mnie, mam już w nosie pana Barucha z jego eklektyczną filozofią, gęsto zamieszaną na Tałmudzie.
Tak więc, jeśli na serio – proponuję Ci remis

Jasne! Przyjmuję remis - półżartem;)
Pomimo tego sierpowego - nie pozbywałabym się go tak łatwo i w całości;)

[maziek]

Zastrzeżenie co do 0 mnie nie martwi bo wystarczy zwyczajowo dać dziedzinę n różne od 0, a nie wpływa to na badanie granicy ciągu (bo badamy "prawie wszystkie wyrazy ciągu" etc.). Natomiast od wczoraj myślę, czy można napisać, że jedna nieskończoność (w tym wypadku) jest większa od drugiej i wydaje mi się, że nie. Bo moce obu zbiorów są takie same, ponieważ z samej definicji wyrażenia każdemu elementowi jednego zbioru przyporządkowuje się jedną i tylko jedną liczbę zbioru drugiego i "nic nie zostaje" po tym zabiegu. A ta nieskończoność jest większa, która ma większą moc. Tak mi się zdaje.

Co oczywiście nie podważa istoty rzeczy, że Spinozie to zagadnienie nie było znane bo owszem istnieją "bardziej niekończone" nieskończoności np. nieskończoność liczb rzeczywistych. Może i dobrze, bo paru co o tym nazbyt intensywnie myślało popadło w obłęd .

PS. - Penrose to oczywiście, że była prymitywna złośliwość .

[Hoko]

- wtedy Terminus wyrwał sobie pewnie nieco włosów:

To teraz po tym Hospitalu pewnie wyłysieje 

[Stanisław Remuszko]

Jeśli dobrze pamiętam, to swoją pracę dyplomową w niedzielnej szkółce nauczycielskiej pisałem pół wieku temu z mocy zbiorów, i, jeśli przez ten czas nic się nie zmieniło, wówczas nadal obowiązuje hipoteza continuum, która mówi, że pierwszą liczba kardynalną większą od alef zero jest moc zbioru liczb rzeczywistych. Natomiast wszystkie naturalne, całkowite, ujemne, parzyste, a nawet wymierne są równoliczne, więc wprawdzie nieskończone TAK SAMO, ale rzeczywiste są bardziejsze.
To się odnosi do liczb, bo pod względem NIESKOŃCZONOŚCI DUCHA taki maziek ma moc pewnie ze dwa, albo i trzy razy większą/mniejszą (niepotrzebne skreślić).

R.

[olkapolka]

- wtedy Terminus wyrwał sobie pewnie nieco włosów:

To teraz po tym Hospitalu pewnie wyłysieje 

Chyba, że wyrwanie "nieco włosów" to już była łysina;)
Ale w sumie to co z tym Szpitalem? Dobrze jest policzony (albo czegoś nie widzę) - granice, pochodne...szpitalna granica...
Wiadomo, że LA sobie żartował i ponaciągał, ale wyszło ciekawie;))
Mnie tylko ten przedział - bo D funkcji nieparzystych N chyba powinna być z zerem, ale po namyśle - to chodzi o granicę ilorazu tych funkcji - a wtedy trzeba wykluczyć 0 żeby w mianowniku nie zerować i D to [1, +oo). Ok.

Natomiast od wczoraj myślę, czy można napisać, że jedna nieskończoność (w tym wypadku) jest większa od drugiej i wydaje mi się, że nie. Bo moce obu zbiorów są takie same, ponieważ z samej definicji wyrażenia każdemu elementowi jednego zbioru przyporządkowuje się jedną i tylko jedną liczbę zbioru drugiego i "nic nie zostaje" po tym zabiegu.

Tak, to też miałam napisać, że te zbiory są wzajemnie jednoznaczne  i mają tę samą moc.
I o tym Spinoza mógł słyszeć, bo to sprawa z 1638 roku - tzw paradoks Galileusza:
Znaczy, że zbiór nieskończony może mieć tę samą moc co jego podzbiór właściwy (..) możemy posłużyć się przykładem Galileusza i przekonać się, że zbiór liczb kwadratowych {0, 1, 4, 9, 16, 25,..} musi również mieć tę samą moc co N, niezależnie od faktu, iż w dobrze określonym sensie liczby kwadratowe stanowią znikomo małą część całego zbioru liczb naturalnych.
[taaakkk...to cytat z Penrose'a ze str. 348 - gniotłam to w sobie przez  9 lat;)))]

[Lieber Augustin]

Ale żeby skorzystać z reguły de Zeszpitala funkcje muszą być określone w tym samym przedziale - u Ciebie musiałoby być [0, +oo)  - żeby ując wszystkie nieparzyste N - jeśli weźmiesz przedział [1, +oo) to w nieparzystych brakuje naturalnej 1. A od 0 nie można, bo dzielenie na 2n.

Całkiem słusznie piszesz, olka, w nieparzystych brakuje 1. Mój błąd, choć myślę, nie fatalny.

Co do przedziału określenia, niby istnieją rozbieżności co do tego, czy zero jest liczbą naturalną czy też nie:
To, czy zero jest liczbą naturalną, jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne

Więc spróbuję sprecyzować definicję zbioru liczb naturalnych, nieparzystych: 2n–1 , n Є [1, +∞)

lim_{n–> ∞} ((2n+(2n–1))/2n) = lim_{n–> ∞} ((4n–1)/2n) = ... = 2

Zupełnie inaczej czyta się niektóre punkty podstawiając za boga - materię/naturę czyli to, o czym wspominałam wyżej - wtedy lepiej można zrozumieć, że wielu materialistów znajdowało w jego systemie "dno pucharu"

i

Konkretnie mam na myśli definicję VII:
Wolną nazywa się rzecz, która istnieje jedynie z konieczności swojej natury i sama siebie tylko determinuje do działania; konieczną zaś lub raczej przymuszoną taka, którą
inna determinuje do istnienia i oddziaływania w sposób ściśle określony.

Wolny i determinujący jest u Spinozy jeno bóg (co wynika z innych definicji, aksjomatów i twierdzeń z tego rozdziału) - wszystkie inne rzeczy są powołane do istnienia, określone i zdeterminowane.
Uzupełniają to twierdzenia:
TWIERDZENIE XXV. Bóg jest przyczyną sprawczą nie tylko istnienia rzeczy, lecz także [ich] istoty.
TWIERDZENIE XXVI. Rzecz zdeterminowana do jakiegoś działania została do tego z koniecznością zdeterminowana przez Boga; natomiast rzecz nie zdeterminowana przez
Boga sama siebie nie może zdeterminować do działania.
TWIERDZENIE XXVII. Rzecz zdeterminowana do jakiegoś działania przez Boga nie może sama siebie uczynić niezdeterminowaną.
/.../
Utwierdziłam się jednak w swoim przekonaniu, że ludzie mówiący "Bóg Spinozy" mają na myśli naturę - także z jej "błądzeniem błędu" - u Spinozy nie ma miejsca na przypadek:
TWIERDZENIE XXIX. W przyrodzie nie ma nic przypadkowego, ale wszystko z konieczności boskiej natury jest zdeterminowane do tego, aby istniało i działało w określony sposób.

Szczerze mówjąc, niezupełnie uchwyciłem Twoją myśl, olka, dlaczego właśnie ludzie mówiący "Bóg Spinozy" mają na myśli naturę? „Z błądzeniem błędu” – znaczy natura nie ulega determinizmu?
O ile zrozumiałem z przeczytanego:
1. Natura, wg Spinozy, jest zdeterminowana - nie ma miejsca na przypadek;
2. Natura, wg tegoż Spinozy, jest Bogiem, a Bóg – naturą;
3. Współczesna wiedza, nauka mówją – nie, nie jest zdeterminowana, istnieje zasada nieoznaczoności itd;
4. Ergo materialiści i w ogóle wszyscy kto mówie „Bóg Spinozy = materia/natura” mylą się, ponieważ nie zgadza się to z ideą S. o boskim determinizmie.
Czy ja mylę się, i Bóg w myśl S. – to bynajmniej nie natura/materia, a coś innego?
Czy też masz na myśli, że mylił się sam Spinoza ze względu na stan ówczesnej wiedzy naukowej, fizycznej? Podobnie jak nie mógł on wiedzieć o przyszłej matematycznej teorii zbiorów?

Natomiast od wczoraj myślę, czy można napisać, że jedna nieskończoność (w tym wypadku) jest większa od drugiej i wydaje mi się, że nie. Bo moce obu zbiorów są takie same, ponieważ z samej definicji wyrażenia każdemu elementowi jednego zbioru przyporządkowuje się jedną i tylko jedną liczbę zbioru drugiego i "nic nie zostaje" po tym zabiegu. A ta nieskończoność jest większa, która ma większą moc. Tak mi się zdaje.

@olka

Tak, to też miałam napisać, że te zbiory są wzajemnie jednoznaczne  i mają tę samą moc.
I o tym Spinoza mógł słyszeć, bo to sprawa z 1638 roku - tzw paradoks Galileusza:
Znaczy, że zbiór nieskończony może mieć tę samą moc co jego podzbiór właściwy (..) możemy posłużyć się przykładem Galileusza i przekonać się, że zbiór liczb kwadratowych {0, 1, 4, 9, 16, 25,..} musi również mieć tę samą moc co N, niezależnie od faktu, iż w dobrze określonym sensie liczby kwadratowe stanowią znikomo małą część całego zbioru liczb naturalnych.

A dlaczego sądzisz, maźku, i Ty, olka, że każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych przyporządkowuje się liczbę zbioru liczb naturalnych parzystych?
Któremu elementowi z parzystych przyporządkowuje się liczba trzy?
Wydaje się, owe zbiory nie są o równej mocy.
Zbiory mają tę samą moc, gdy są równoliczne... Obrazowo mówiąc, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B i odwrotnie.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru

Zresztą może mylę się...

[olkapolka]

@olka

Tak, to też miałam napisać, że te zbiory są wzajemnie jednoznaczne  i mają tę samą moc.
I o tym Spinoza mógł słyszeć, bo to sprawa z 1638 roku - tzw paradoks Galileusza:
Znaczy, że zbiór nieskończony może mieć tę samą moc co jego podzbiór właściwy (..) możemy posłużyć się przykładem Galileusza i przekonać się, że zbiór liczb kwadratowych {0, 1, 4, 9, 16, 25,..} musi również mieć tę samą moc co N, niezależnie od faktu, iż w dobrze określonym sensie liczby kwadratowe stanowią znikomo małą część całego zbioru liczb naturalnych.

A dlaczego sądzisz, maźku, i Ty, olka, że każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych przyporządkowuje się liczbę zbioru liczb naturalnych parzystych?
Któremu elementowi z parzystych przyporządkowuje się liczba trzy?
Wydaje się, owe zbiory nie są o równej mocy.
Zbiory mają tę samą moc, gdy są równoliczne... Obrazowo mówiąc, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B i odwrotnie.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru

Zresztą może mylę się...

Jak weźmiesz zbiór liczb N parzystych {2, 4, 6, 8....} to każdemu elementowi możesz przyporządkować element ze zbioru N {1, 2, 3...}. Połączyć w pary. W nieskończoność.
Podobnie z nieparzystymi i N.
Może ja się mylę;))

[Lieber Augustin]

Jak weźmiesz zbiór liczb N parzystych {2, 4, 6, 8....} to każdemu elementowi możesz przyporządkować element ze zbioru N {1, 2, 3...}. Połączyć w pary. W nieskończoność.
Podobnie z nieparzystymi i N.
Może ja się mylę;))

Jasne. Ale jak będzie - odwrotnie?
Jak weźmiesz zbiór liczb N {1, 2, 3, ...} to czy każdemu elementowi możesz przyporządkować element ze zbioru N parzystych{2, 4, 6...}?

[olkapolka]

A co za różnica czy ustalisz pary (2, 1), (4, 2) itd. - parzyste do N.
Czy (1, 2), (2, 4) itd. - N do parzystych.
Wszystkie elementy jednego zbioru mają parę w drugim zbiorze.

[Lieber Augustin]

Hmm... niby masz rację, olka.
Ale jak z ilorazem N/N parz. i regułą de l'Hospitala?
Gdzie, Twoim zdaniem, tkwi błąd?

[olkapolka]

Nie wiem:)
W skończoności - nieskończoności?
Jeśli weźmiemy skończony podzbiór N - np. N do 20 i parzyste N do 20 - to N mamy ich 2 razy więcej.
Natomiast ta bijekcja - łączenie - dla sprawdzenie zbiorów nieskończonych? Bo takimi jest zbiór N i N parzystych

Szpitalny nie przelicza elementów zbioru.

Czekam:)

[Lieber Augustin]

Ale reguła Szpitalnego niby jak raz dotyczy rozwiązania nieoznaczoności, w tym "zero przez zero", "zero w potendzie nieskończoność" i innych, a także "nieskończoność przez nieskończoność"?

[Hoko]

sorki za pusty post wcześniej, nacisnąłem wyślij za prędko

Ale w sumie to co z tym Szpitalem? Dobrze jest policzony (albo czegoś nie widzę) - granice, pochodne...szpitalna granica...

Nie wiem, może jest jakaś wyższa matematyka, o której nie wiem i w której można odstawiać takie, nomen omen, hocki klocki - po mojemu rozumowanie zaczyna być nonsensowne jeszcze przed szpitalem. Czyli nawet nie trzeba dochodzić do tego, o czym wspomnieli maziek i Mębryta.

2n + (2n+1) - co to jest? 
Wg LA jest to zbiór licz naturalnych (bo parzyste plus nieparzyste). To ja się pytam: co trzeba podstawić za n, ażeby wyszedł z tego tenże zbiór? Czy nieparzyste utworzymy przez + czy przez minus, nie ma znaczenia, pytanie pozostaje w mocy.

Dalej, co ma do tego wszystkiego liczenie granicy? Przeciez tutaj  liczymy granicę ciągu - jako całego wyrażenia, a nie iloraz dwóch granic. bo ten wzór
 ((2n+(2n+1))/2n)

to jest wzór na jakiś tam ciąg, nic to nie ma wspólnego ze zbiorem liczb naturalnych. Liczymy granicę dla n dążącego do nieskończoności - i wychodzi rzeczywiście 2. Tyle że do obliczenia tego nie trzeba żadnych Hospitali, bo wystarczy wyciągnąć w liczniku 2n przed nawias i po skróceniu od razu widać, w którą stronę to idzie.