Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 44528 razy)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1116
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #180 dnia: Listopad 22, 2020, 10:58:05 pm »
Odpowiedź brzmi: w końcu doczołga się.
W ciągu pierwszej minuty robak pokona odległość, równą 1/100 "bieżącej" długości liny, w ciągu drugiej - 1/200, trzeciej - 1/300 itd. Tak więc w  ciągu n minut nasz robak przepełzie 1/100 * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) część drogi.
Suma w nawiasach jest niczym innym, jak tylko szeregiem harmonicznym:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_harmoniczny
Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności, jego suma częściowa może być dowolnie duża. Z czego wynika, że wcześniej czy później robak zdoła przebyć całą odległość i doczołgać się do końca sznura.

Inna rzecz, ile czasu upłynie, zanim to się stanie. Przecież szereg harmoniczny rozbiega się bardzo, ale to bardzo powoli.
Jeżeli "wyjściowa" długość liny c=1 m, prędkość jej rozszerzania się v=1 m/min, prędkość robaka względem liny a=1 cm/min, to ów czas wynosi
T = c/v(ev/a – 1) = 60(e100 – 1) ≈ 1,613*1045 s
Czyli znacznie więcej, niż obecny wiek Wszechświata, który wynosi, według ocen, ca 4*1017 s
https://en.wikipedia.org/wiki/Ant_on_a_rubber_rope