Jest takie wytłumaczenie "całkowaniem" tej trąbki. Jeśli leżącą ze swoją długą osią poziomo trąbkę poszatkować poziomymi płaszczyznami na plasterki - to tylko jeden plasterek - ten dokładnie w osi trąbki - będzie miał nieskończoną powierzchnię. Natomiast wszystkie inne będą miały skończoną.
No tak, wszystkie inne plasterki to skończone fragmenty ni to hiperboli, ni to paraboli. A może czegoś pośredniego*. Podczas gdy ten w osi jest faktycznie dwiema gałęziami hiperboli, asymptotycznie zbliżającymi się do osi.
Skądinąd niezupełnie jasne, dlaczego ten plasterek w centrum miałby mieć nieskończoną powierzchnię? Długość, czy tam, jak kto woli, "obwód" - tak, i owszem, ale powierzchnię? Wszak pole tego plasterka to chyba iloczyn długości obu nieskończonych fragmentów hiperboli i jego - dążącej do zera - grubości. To jeszcze należałoby udowodnić.
(Nie mylić pola plasterka z polem przekroju poprzecznego rogu płaszczyzną przechodzącą przez oś. Zresztą to pole jest akurat skończone, bo odpowiada raczej objętości bryły).
Zresztą tak czy siak, nawet jak wykażemy, iż powierzchnia owego plasterka rzeczywiście jest nieskończona, będzie to jedynie swoistym dowodem, potwierdzeniem tezy, że róg ma nieskończone pole. Bardzo dobrze, ale w jaki sposób wyjaśnia to paradoks?
*Swoją drogą ciekawe, czego tak naprawdę
ps.
Właśnie przyszło mi do głowy, że paradoks malarzy w samej rzeczy jest pozorny. I słowem kluczowym jest tu "farba".
Teza "żeby pokryć farbą nieskończoną powierzchnię, potrzebna nieskończona ilość farby" oparta jest na założeniu, być może podświadomym, że grubość powłoki jest niezerowa. Jakże inaczej, wszak farba to farba, olejna, ftalowa czy akrylowa?
Tak wcale nie jest. Skoro już trzymamy się matematyki, a nie fizyki, to odpowiedź na pytanie "czy da się powlec powierzchnię, której pole dąży do nieskończoności, skończoną ilością farby?" powinna brzmieć: "tak, owszem, ale grubość warstwy ma dążyć do zera".
Ilość farby (objętość powłoki) to pole razy grubość, czyli mamy wówczas symbol nieoznaczony typu
∞*
0, który w zasadzie może przybierać dowolną wartość, w tym skończoną.
I co Ty na to?
