Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 80294 razy)

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6300
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #390 dnia: Listopad 19, 2021, 11:42:09 pm »
Ale jak ta mucha  może w ogóle latać ze stałą prędkością - ona startuje ze środka. Startuje:)
Taa... chyba należałoby uzupełnić treść zadania: czas potrzebny na start i figury akrobacji lotniczej (zawrót Immelmanna i ranwers) jest zaniedbywalnie mały ;)
A co jak taka mucha lubi sobie podczas lotu wykonać - nomen omen - eulera?;))
https://pl.wikipedia.org/wiki/Euler_(%C5%82y%C5%BCwiarstwo_figurowe)

Takie założenie...ale jak takie to i inne - że to np. układ izolowany - bo co z zefirkiem, który ma zaniedbywalny wpływ na pociągi, ale na muchę niebagatelny?;)

Chodziło mi o to, że jak podważymy jedną niemożność muchy, to wychodzą jej inne braki;)

Brrr...miałam na myśli: jeśli zauważymy jedną wadę muchy, to za rogiem czają się kolejne...życie...;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #391 dnia: Listopad 20, 2021, 09:58:41 am »
...miałam na myśli: jeśli zauważymy jedną wadę muchy, to za rogiem czają się kolejne...życie...;)
No tak :)
Choć, z drugiej strony, chyba niezupełnie tak. Wada wadzie nie równa. Zagadka jaka? Matematyczna. A skoro tak, to i mucha też jest "matematyczna", idealna, i prawa fizyki, różne tam przyspieszenia, straty prędkości przy zwrocie, zefirki jej nie dotyczą.
Co innego niewłaściwa prędkość w treści zadania. To już "wada" drugiego rodzaju, właśnie niemożność matematyczna, że tak powiem...

... a szereg Taylora szczególnym przypadkiem szeregu Hillego dla funkcji analitycznej z różnicami skończonymi...
Tak jest:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Generalization

I co?

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #392 dnia: Listopad 20, 2021, 10:48:17 am »
Ogólnie to ta zagadka chyba nie jest wymyślona przez matematyka, a jeśli, to raczej na zasadzie "kawału" a nie anegdoty zawierającej ziarno prawdy.

Moim zdaniem w tego typu zagadkach nie uznaje się żadnych wad rzeczywistości typu zderzenia niesprężyste czy fakt, że mucha musi "zastartować" - wszystko się dzieje klasycznie i natychmiastowo.

Jednakże w tym wypadku Euler miał sumować nieskończony ciąg, który w tym wypadku jest możliwy (matematycznie, ale całkowicie afizycznie) TYLKO, jeśli mucha lata wolniej od pociągu. Fizycznie pociągi się zderzają jadąc na siebie ze stała prędkością i zderzą się w skończonym czasie, więc jakikolwiek nieskończony ciąg opisujący lot muchy pomiędzy ich czołami nie jest możliwy ani nawet w sposób przybliżony nie pasuje do rzeczywistosci - co innego, jakby mucha miała masę niezaniedbywalną wobec masy pociągów i odbijała się pomiędzy nimi sprężyście - zwiększając swoją prędkość kosztem ich prędkości - wówczas faktycznie mielibyśmy nieskończony ciąg, pociągi jechałyby coraz wolniej, mucha latała coraz szybciej i w nieskończoności pociągi by się zatrzymały nieskończenie blisko siebie a mucha latałaby między nimi z nieskończoną prędkością. Droga muchy byłaby wyrażona ciągiem zbieżnym, który dałoby się zapewne zsumować. Takie przemiany Ek na V badał faktycznie Euler o czym w zasadzie mało wiem poza faktem, że z tego powodu na jego cześć nazwano dysk Eulera, gdzie taka przemiana zachodzi.

Tak w ogóle matematyka dość często daje wyniki niefizyczne, jeśli tak można to ująć (albo jeszcze nie nie znamy tej fizyki, której wyniki ona daje ;) ).

Apropos dlaczego w tym zagadkowym ciągu mucha musi latać wolniej od pociągu to proszę mnie nie bić jeśli się mylę na chybcika, ale wychodzi mi, że jeśli oznaczyć prędkości odpowiednio pociągu, muchy oraz ich sumę (dla wygody) Vp, Vm i V a początkową odległość mucha-pociąg S, to pierwszy odcinek jaki musi przebyć mucha wynosi S1=S/V*Vm (rzeczone 7,5 km). Drugi odcinek jaki musi przebyć mucha wynosi S2=2S(Vm)^2/V^2 (i tu wychodzi 3,75... zonk). Trzeci S3 analogicznie 4S(Vm)^3/V^3 - z czego rysuje się ciąg geometryczny z ilorazem 2Vm/V. Aby ten ciąg był zbieżny i miał sumę mucha musi latać co najwyżej równie szybko jak pociąg. Czy się znów rypłem?


PS po napisaniu powyższego nabyłem pewnych wątpliwości, bo w sumie mimo skończonego czasu pomiędzy zderzeniami mucha latająca szybciej od pociągu też powinna dać nieskończony ciąg hm... Ale teraz już nie mam czasu.


PS2 - ale rozwiązanie Oli genialne tak w ogóle :) .
« Ostatnia zmiana: Listopad 20, 2021, 12:34:06 pm wysłana przez maziek »
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #393 dnia: Listopad 20, 2021, 01:11:30 pm »
...co innego, jakby mucha miała masę niezaniedbywalną wobec masy pociągów i odbijała się pomiędzy nimi sprężyście - zwiększając swoją prędkość kosztem ich prędkości - wówczas faktycznie mielibyśmy nieskończony ciąg, pociągi jechałyby coraz wolniej, mucha latała coraz szybciej i w nieskończoności pociągi by się zatrzymały nieskończenie blisko siebie a mucha latałaby między nimi z nieskończoną prędkością.
Na szybko: z nieskończoną, powiadasz?
Owszem, w warunkach zderzenia sprężystego i braku dyssypacji energii po każdym kolejnym zderzeniu muchy z pociągami jej prędkość sumuje się z prędkością pociągu. Ale prędkość pociągów tymczasem maleje, więc nie fakt, że ten ciąg dąży do nieskończoności...

Oznaczymy początkową prędkość muchy przez Vm1, a końcową, po zatrzymaniu się pociągów, jako Vm2, masę muchy mm, masę pociągu mp. Wtedy energia sumaryczna układu na początku:
E = mm*Vm12/2 + 2*(mp*Vp2/2)
i taka sama na końcu (prawo zachowania):
E = mm*Vm22/2,
skąd
Vm2 = sqrt[2*(mm*Vm12/2 + 2*(mp*Vp2/2)/mm]
Czyli prękość końcowa jest jednak wielkością skończoną?
 :-\

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #394 dnia: Listopad 20, 2021, 02:39:43 pm »
Masz rację, nie powinienem był pisać, że mucha ma niezaniedbywalną masę, myślałem tylko o tym, że na końcu odległość zdąża do zera więc co innego rośnie do nieskończoności. Swoją drogą o ile byłyby to zderzenia sprężyste - to pociągi nie zatrzymałyby się, a zaczęły rozjeżdżać z powrotem :) . Mucha siłaczka jednym słowem.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #395 dnia: Listopad 20, 2021, 09:20:48 pm »
Cytuj
...ale wychodzi mi, że jeśli oznaczyć prędkości odpowiednio pociągu, muchy oraz ich sumę (dla wygody) Vp, Vm i V a początkową odległość mucha-pociąg S, to pierwszy odcinek jaki musi przebyć mucha wynosi S1=S/V*Vm (rzeczone 7,5 km). Drugi odcinek jaki musi przebyć mucha wynosi S2=2S(Vm)^2/V^2 (i tu wychodzi 3,75... zonk). Trzeci S3 analogicznie 4S(Vm)^3/V^3 - z czego rysuje się ciąg geometryczny z ilorazem 2Vm/V.
Szczerze powiedziawszy, nie bardzo rozumiem, w jaki sposób wyszedł Ci ten ciąg ???
Przybliż proszę, jeśli nie kłopot.

Cytuj
Aby ten ciąg był zbieżny i miał sumę mucha musi latać co najwyżej równie szybko jak pociąg. Czy się znów rypłem?
Cóż, sprawdźmy to ;)

Z tego co napisałeś wychodzi, że ciąg (a raczej szereg) ma postać:
S1+S2+S3+... = S*(Vm/V)+2S*(Vm/V)2+4S*(Vm/V)3 +... =
= S* n=1,∞ 2n-1*(Vm/V)n

Czy ten szereg jest zbieżny?
Skorzystamy z kryterium zbieżności d’Alemberta:
D = limn–>∞ (an+1/an) = limn–>∞ (2n*(Vm/V)n+1/2n-1*(Vm/V)n) = limn–>∞ 2*(Vm/V) = 2*(Vm/V)

Co widzimy?
D<1, tzn. szereg zbiega, gdy stosunek Vm/V = Vm/(Vm+Vp) jest mniejszy od 1/2.
Innymi słowy, szereg jest zbieżny, kiedy Vm<Vp

Masz zupełną rację, maźku, mucha musi latać co najwyżej równie szybko jak pociąg, QED :)
« Ostatnia zmiana: Listopad 20, 2021, 09:28:57 pm wysłana przez Lieber Augustin »

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #396 dnia: Listopad 21, 2021, 11:05:02 am »
Szczerze powiedziawszy, nie bardzo rozumiem, w jaki sposób wyszedł Ci ten ciąg ???

Oznaczmy, że odległość od miejsca startu (0) do czoła któregoś pociągu w chwili startu wynosi S, oraz że prędkości muchy, pociągu i ich suma to odp. Vm, Vp i V.

Czas do chwili pierwszego spotkania muchy z pociągiem to t1=S/V (równy wynikającemu ze złożenia prędkości Vm i Vp do V i przejechaniu z nią S)

Wobec czego S1, czyli pierwszy odcinek, jaki przeleci mucha do spotkania z I pociągiem to Vm*t1 czyli S1=VmS/V

W tej chwili także II pociąg zbliżył się do (0) na S1. Zatem droga S2, jaką ma pokonać mucha do II pociągu to 2S1 i znów można rozpatrywać złożenie prędkości V.

Czyli mamy, że t2=S2/V, czyli =2S1/V, czyli 2*(VmS/V)V = 2VmS/V2, z czego można wyliczyć punkt spotkania muchy z pociągiem S2 mnożąc przez t2 przez Vm, z czego mamy 2Vm2/V2

Rozumując analogicznie mamy S3 (punkt trzeciego spotkania) S3=4Vm3S/V3 itd. z czego wynika ciąg geometryczny z ilorazem q=2Vm/V. Który byłby zbieżny, gdyby Vm<Vp (q>0 ^q<1).

Na początku należało jednak założyć, że Vm>Vp, bo inaczej zadanie nie ma sensu fizycznego. Czyniąc takie zastrzeżenie, należałoby też napisać, że suma t1, t2, t3... = 2S/V (równa czasowi, po jakim pociągi się zderzą). Wówczas droga muchy będzie co prawda opisana ciągiem geometrycznym rozbieżnym - ale skończonym, a więc mającym sumę mniejszą od nieskończoności (PS II i tu genialnie powinno się sprawdzić rozwiązanie Oli - mucha przeleci do tego momentu (S/2Vp)*Vm ).


PS mam nadzieję, że nic mi "nie zeżarło" przy wstawianiu indeksów.
« Ostatnia zmiana: Listopad 21, 2021, 02:24:53 pm wysłana przez maziek »
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #397 dnia: Listopad 21, 2021, 06:41:03 pm »
Dzięki za wyjaśnienie, maźku :)

Cytuj
Wówczas droga muchy będzie co prawda opisana ciągiem geometrycznym rozbieżnym - ale skończonym, a więc mającym sumę mniejszą od nieskończoności (PS II i tu genialnie powinno się sprawdzić rozwiązanie Oli - mucha przeleci do tego momentu (S/2Vp)*Vm ).
Niestety wygląda na to, że się nie sprawdza :-\
Jeżeli ja nigdzie się nie rypnąłem i Twój ciąg ma postać n=1,∞ S*2n-1*(Vm/V)n,
S=30 km, Vm=20 km/h, Vp=60 km/h, V=80 km/h,
to byle online-kalkulator daje sumę ciągu:



https://obliczone.pl/kalkulatory/szeregi-liczbowe

Prawdopodobnie 15 km to 7,5 km drogi przebytej do spotkania z pociągiem, plus do tego 7,5 km darmowej przejażdżki na czele wagonu.
Hm…

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #398 dnia: Listopad 21, 2021, 08:53:53 pm »
Rozwiązanie Oli się nie sprawdza w tym wypadku, bo jest niefizyczne przy tych parametrach Vm i Vp. Tak mi się przynajmniej zdaje, chyba, że mój wzór jest jednak lipny. Dlatego w pierwszym poście napisałem "zonk", bo S1 wynosi 7,5 a S2 3,75 - już w sumie więcej niż 10. A te dwie wartości można łatwo policzyć na piechotę. Trzeba by przeanalizować, czy 15 ma jakikolwiek fizyczny związek z wartością S1=7,5, strzelałbym, że nie.


Sumę tego ciągu można obliczyć z ogólnego wzoru na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego, zbieżnego ciągu geometrycznego (|q|<1): suma=a1/(1-q) - w naszym wypadku faktycznie jest to 15.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #399 dnia: Listopad 22, 2021, 10:34:42 am »
Cytuj
Rozumując analogicznie mamy S3 (punkt trzeciego spotkania) S3=4Vm3S/V3 itd. z czego wynika ciąg geometryczny z ilorazem q=2Vm/V. Który byłby zbieżny, gdyby Vm<Vp (q>0 ^q<1).
Cytuj
Sumę tego ciągu można obliczyć z ogólnego wzoru na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego, zbieżnego ciągu geometrycznego (|q|<1): suma=a1/(1-q) - w naszym wypadku faktycznie jest to 15.
Hm. Za przeproszeniem, maźku - czy rzeczywiście iloraz q ciągu
S*2n-1*(Vm/V)n
wynosi 2Vm/V ?
Przecież wykładniki potęgi przy dwójce i przy Vm/V są różne?

Faktycznie ciąg z ilorazem q=2Vm/V ma wygląd S*(2Vm/V)n = 30*(1/2)n,
a jego suma równa się 30.

Powiedziałbym, że w Twoim wzorze mamy do czynienia z iloczynem dwóch ciągów geometrycznych: rozbieżnego 2n-1 i zbieżnego (Vm/V)n=(1/4)n. I dość trudno, moim zdaniem, tak "na oko" oszacować wzór i powiedzieć, jaka tendencja weźmie górę. Właśnie dlatego uciekłem się do kryterium d'Alemberta.

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #400 dnia: Listopad 22, 2021, 11:09:32 am »
Sorry, mam poniedziałkowy korkociąg (w sensie, że wpadłem w korkociąg płaski na maszynie, której teoretycznie nie daje się z takowego wyprowadzić i instrukcja przewiduje w tej sytuacji katapultirowanie sia ;) ) i tak chyba będzie do soboty, więc mam ograniczone możliwości a wieczorem myślenie mi raczej będzie źle wychodziło ;) . Tak więc z góry przepraszam, jeśli nie będę w stanie dotrzymać Ci kroku :( .

Jeśli czegoś nie namieszałem w rachunkach/poście, w którym opisywałem skąd wywiodłem ciąg (tzn. jeśli on w ogóle jest poprawny i czegoś nie pochrzaniłem), to pierwszy wyraz ciągu to a1 = VmS/V (a1=7,5) a iloraz 2Vm/V (q=0,5).
Czyli ciąg jest an=7,5*0,5(n-1) .

Z wyrażenia na sumę mamy ∑=a1/(1-q) = 7,5/0,5 = 15.

Np. suma kolejnych pięciu wyrazów począwszy od a1 wynosi ~14,5.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #401 dnia: Listopad 23, 2021, 10:11:01 am »
Cytuj
Jeśli czegoś nie namieszałem w rachunkach/poście, w którym opisywałem skąd wywiodłem ciąg (tzn. jeśli on w ogóle jest poprawny i czegoś nie pochrzaniłem), to pierwszy wyraz ciągu to a1 = VmS/V (a1=7,5) a iloraz 2Vm/V (q=0,5).
Czyli ciąg jest an=7,5*0,5(n-1) .
Nareszcie do mnie dotarło.
Z Twego postu, w którym opisywałeś, istotnie, rysuje się ciąg
Sn=S*2n-1*(Vm/V)n
Ale nie od razu zauważyłem, przez słabość mózgową, że wzór da się uprościć. Przecież 2n-1=2n/2.
Wówczas wszystko się zgadza, Sn=(S/2)*(2Vm/V)n

Na tym chyba szlus. Byłoby bezczelnością odwracać uwagę pilota w tak krytycznym momencie :)
A więc pomyślnego korkociągowania! ;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12371
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #402 dnia: Listopad 23, 2021, 06:55:28 pm »
Ulżyło mi :) .
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Terminus

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 769
  • AST-Pm-105/044 Uniwersalny Naprawczy
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #403 dnia: Listopad 24, 2021, 12:00:42 am »
Oznaczymy początkową prędkość muchy przez Vm1, a końcową, po zatrzymaniu się pociągów, jako Vm2, masę muchy mm, masę pociągu mp. Wtedy energia sumaryczna układu na początku:
E = Mm*Vm12/2 + Mp*Vp2
i taka sama na końcu (prawo zachowania):
E = mm*Vm22/2
dlaczego z końcowego bilansu energii zniknęła energia kinetyczna obu pociągów (a nie zniknęła energia muchy)?

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1732
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #404 dnia: Listopad 24, 2021, 09:20:48 am »
dlaczego z końcowego bilansu energii zniknęła energia kinetyczna obu pociągów (a nie zniknęła energia muchy)?
W rozpatrywanej sytuacji po każdym kolejnym zderzeniu prędkość umownej "muchy" o niezaniedbywalnej masie rośnie, a prędkość pociągów maleje. Aż w końcu pociągi się zatrzymują, a cała energia kinetyczna układu znajduje się w musze.