No, faktycznie:
Ponieważ pierwsza wypowiedź Sokratesa zawiera informację z pierwszej wypowiedzi Platona, rozważania możemy zacząć od pierwszej wypowiedzi Sokratesa.
Liczba S wynosi co najmniej 2+3=5, a co najwyżej 98+99=197. Z pierwszej wypowiedzi Sokratesa wynika, że liczby S nie da się przedstawić w postaci sumy składników M i N, będących jedynym rozkładem na czynniki liczby MN spełniającym warunki zadania. Zatem ze zbioru {5, 6, 7, ..., 196, 197} możliwych wartości S odrzucamy liczby, które da się przedstawić w postaci sumy takich składników M i N.
Dla S=197 jest M=98 oraz N=99. Gdybyśmy czynnik N zastąpili mniejszym, to czynnik M musielibyśmy zastąpić większym, co uniemożliwia założenie M<N. Nie możemy też czynnika N zastąpić większym, bo N<100.
Dla S=194 jest M=96 oraz N=98. Zmniejszając czynnik N, zwiększylibyśmy czynnik M, a to przeczyłoby założeniu M<N. Czynnika N nie zwiększymy do 99, bo liczba 11 występująca w rozkładzie 99 nie występuje w rozkładzie 96 ani 98. Zatem zwiększając czynnik N, przekraczamy 99, co przeczy założeniu N<100.
Dla S \in{99, 100, ..., 196}\{194} jeden ze składników M lub N może wynosić 97, które jest liczbą pierwszą. Wtedy albo drugi ze składników jest liczbą pierwszą i mamy od razu jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki, albo jest liczbą złożoną i wtedy w innym rozkładzie na czynniki m i n liczby MN jedna z liczb m lub n wynosi 97q, gdzie 1<q<Q i q jest dzielnikiem Q, które jest tą z liczb M lub N, która jest różna od 97. Wtedy jednak q≥2, więc 97q≥194, co przeczy m<n<100.
Dla S \in{55, ..., 98} może być N=53, a 53 jest liczbą pierwszą. Wtedy albo M jest pierwsze i mamy od razu jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki, albo M jest złożone i wtedy w innym rozkładzie na czynniki m i n liczby MN liczba n wynosi 53q, gdzie q jest dzielnikiem M i 1<q<M. Wtedy jednak q≥2, więc 53q≥106, co przeczy n<100.
Dla S=51 może być może być M=17 i N=34=2·17. Ponieważ 2 i 17 są pierwsze, inny rozkład liczby MN na czynniki może mieć jedynie postać m=2 i n=17·17=289, co przeczy n<100.
Dla S=6 mamy M=2 i N=4. Ponieważ MN=23 oraz ze względu na 1<M<N, to jest jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki.
Dalej następujące liczby S można przedstawić jako sumę liczb pierwszych M i N (wówczas jest jednoznaczny rozkład liczby MN na czynniki): 5=2+3, 7=2+5, 8=3+5, 9=2+7, 10=3+7, 12=5+7, 13=2+11, 14=3+11, 15=2+13, 16=3+13, 18=5+13, 19=2+17, 20=3+17, 21=2+19, 22=3+19, 24=5+19, 25=2+23, 26=3+23, 28=5+23, 30=7+23, 31=2+29, 32=3+29, 33=2+31, 34=3+31, 36=5+31, 38=7+31, 39=2+37, 40=3+37, 42=5+37, 43=2+41, 44=3+41, 45=2+43, 46=3+43, 48=5+43, 49=2+47, 50=3+47, 52=5+47, 54=7+47. Wszystkie wymienione wartosci należy odrzucić ze zbioru {5, 6, ..., 197}. Na tym etapie zbiór możliwych wartości S ma postać {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}. Sokrates w swojej pierwszej wypowiedzi informuje nas, że liczba S należy właśnie do tego zbioru. Słowa Sokratesa "Ja również nie wiem, jakie to liczby." nie wnoszą tu nic nowego. Oznaczają tylko, że S można różnie rozłożyć na sumę M i N, czyli że S\not\in {5, 6, 196, 197}.
Różne rozkłady liczy S na składniki M i N generują różne ich iloczyny P. Mamy:
S=11, P\in{18, 24, 28, 30}
S=17, P\in{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72}
S=23, P\in{42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132}
S=27, P\in{50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182}
S=29, P\in{54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210}
S=35, P\in{66, 96, 124, 150, 174, 196, 216, 234, 250, 264, 276, 286, 294, 300, 304, 306}
S=37, P\in{70, 102, 132, 160, 186, 210, 232, 252, 270, 286, 300, 312, 322, 330, 336, 340, 342}
S=41, P\in{78, 114, 148, 180, 210, 238, 264, 288, 310, 330, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418, 420}
S=47, P\in{90, 132, 172, 210, 246, 280, 312, 342, 370, 396, 420, 442, 462, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 546, 550, 552}
S=53, P\in{102, 150, 196, 240, 282, 322, 360, 396, 430, 462, 492, 520, 546, 570, 592, 612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.
Platon, usłyszawszy wypowiedź Sokratesa, stwierdza, że teraz już zna liczby M i N. Jest to równoważne temu, że zna liczbę S. Oczywiście znając M i N, można obliczyć S i P, ale jest również na odwrót - znając S i P, można obliczyć M i N, na przykład rozwiązując równanie kwadratowe x2-Sx+P=0, gdyż
(x-M)(x-N) = x2-Nx-Mx+MN = x2-(N+M)x+MN = x2-Sx+P. Zatem z podanej wyżej listy wartości S i P można usunąć te wartości P, które się powtarzają przy różnych wartościach S, bo Platon nie mógł ich mieć, gdyż w przeciwnym razie nie wiedziałby, którą wartość S ma Sokrates.
Kiedy pozostawimy tylko wartości P występujące jednokrotnie, powyższa lista przyjmuje postać:
S=11, P\in{18, 24, 28}
S=17, P\in{52}
S=23, P\in{76, 112, 130}
S=27, P\in{50, 92, 110, 140, 152, 162, 170, 176, 182}
S=29, P\in{54, 100, 138, 154, 168, 190, 198, 204, 208}
S=35, P\in{96, 124, 174, 216, 234, 250, 276, 294, 304, 306}
S=37, P\in{160, 186, 232, 252, 270, 336, 340}
S=41, P\in{114, 148, 238, 288, 310, 348, 364, 378, 390, 400, 408, 414, 418}
S=47, P\in{172, 246, 280, 370, 442, 480, 496, 510, 522, 532, 540, 550, 552}
S=53, P\in{240, 282, 360, 430, 492, 520, 570, 592,
612, 630, 646, 660, 672, 682, 690, 696, 700, 702}.
Platon w swojej drugiej wypowiedzi informuje nas, że liczba P jest właśnie jedną z wypisanych powyżej. A Sokrates, usłyszawszy wypowiedź Platona, mówi, że także już zna liczby M i N, a to jest równoważne temu, że zna już ich iloczyn P. Zatem z powyższej listy usuwamy te wartości S (wraz z odpowiadającymi im wartościami P), którym jest przyporządkowana więcej niż jedna wartość P, bo gdyby Sokrates miał jedną z tych wartości, nie wiedziałby, którą wartość P ma Platon. Po zaktualizowaniu listy zostaje w niej tylko jedna para S=17 i P=52. Jest to więc jedyna para (S, P) spełniająca warunki zadania, czyli jedyna, jaką mogli mieć Sokrates i Platon. Stąd otrzymujemy jedyne rozwiązanie M=4 i N=13.
R.
pjes: To mały pikuś. Wilesowi znalezienie dowodu na słuszność Fermata zajęło kilka (kilkanaście?) lat, a sam dowód liczy bodaj 100 stron formatu A-4. Prószyński wydał o tym piękną książkę :-)