Autor Wątek: Skrzynie doktora Corcorana  (Przeczytany 76921 razy)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13369
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #120 dnia: Czerwca 01, 2010, 07:29:43 pm »
Ja słyszałem, że ta hipoteza continuum o której pisał Term to jest twardo udowodniona i na tak - i na nie. Nie to, żebym zaraz rozumiał, ale tak mi się o uszy obiło. Pewnie zależnie od założeń ;) .
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6891
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #121 dnia: Czerwca 01, 2010, 10:34:11 pm »
Hmm....a ja zrozumialam (Goedel i Cohen) ze udowodniono nierozstrzygalnosc tej hipotezy (czyli ani tak ani nie) przy pomocy zalozen teorii mnogosci (nazywaja to uczenie ze nierozstrzyglana w ramach ZFC od nazwisk Zermelo - Fraenkela)...nie wiem czy to to samo co "twarde udowodnienie" ;)...na jedno chyba wychodzi ale zdaje sie ze: jedni matematycy ja akceptuja a inni nie...;)

Liv im wiecej czytam o TM i klapia mi kolejne zapadki tym natretniej cisnie mi sie odpowiedzio - pytanie;) : gdzie ta teoria nie jest wykorzystywana?;) Na pewno wiele dzialow matematyki z niej korzysta...ale o szczegoly do fachowcow;)natknelam sie na wzmianke  przy szachach, organizacji ruchu , bakteriach...hmm;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Terminus

  • Gość
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #122 dnia: Czerwca 02, 2010, 04:53:57 pm »
Hello,
zatem z Hipotezą Continuum (HC) jest nie do końca tak, że jest "udowodniona na tak i na nie". Nic z tych rzeczy. Chodzi o to, że pokazano jej niezależność od reszty teorii mnogości w nastepującym sensie:
- jeśli przyjąć, że HC jest nieprawdziwa, to wszystkie pozostałe twierdzenia teorii mnogości dalej da się obronić.
- jeśli przyjąć, że HC jest prawdziwa, to Goedel pokazał iż nie powstała by żadna sprzeczność w tak zwanej teorii zbiorów Zermelo-Frankela.
Nie oznacza, to, że gdy HC jest prawdziwa, to nie powstaje żadna sprzeczność w klasycznie rozumianej teorii zbiorów (tj. teorii mnogości). Teoria mnogości a'la Zermello-Franka to nieco inny "wariant" teorii mnogości. Ale ogólnie przyjęty consensus jest taki, że HC jest całkowicie niezależna od teorii mnogości (mimo powyższych niuansów).

Natomiast na pytanie olki czy HC jest przykładem prorokowanego przez Goedla twierdzenia nieudowodnialnego - na pewno mówienie o tym w jednym zdaniu nie jest bez sensu, natomiast twierdzenie Goedla jest niekonstruktywne, tj. nie podaje konkretnie jaka formuła (a więc, czy HC czy nie) będzie właśnie TĄ wykraczającą poza system. O ile ja rozumiem, HC jest jednak przykładem takiego twierdzenia i nie ma tu wątpliwości.

Do drugiego pytania olki, tj. co się stanie gdy od zbioru A o mocy odejmniemy/dodamy zbiór B skończony. No, ||A|| (moc A) się nie zmieni. Aby to prosto wytłumaczyć: jeśli ||A||= oznacza to, że wszystkie jego elementy możemy "ponumerować" liczbami naturalnymi (przylepić każdemu numerek) - to właśnie jest przeliczalność. W taki właśnie sposób pokazuje się przeliczalność liczb wymiernych Q - układa się je w tablicę i numeruje każdy element. Niech A={a1,a2,...}. Wtedy, gdy odejmiemy lub dodamy skończoną liczbę elementów do zbioru A, wystarczy nam - na przykład przy odejmowaniu A-B, przenumerowac pozostałe po odejmowaniu elementy zbioru A (powiedzmy, że A to zbiór liczb naturalnych, a B zawierał liczby naturalne od 1 do 1000 - będzie wtedy A-B={a1001, a1002,...} bo pierwsze tysiąc zostało odjętych). Ale to "co zostało" po odejmowaniu, dalej da nieskończony szereg liczb, dalej będzie to zbiór przeliczalny. Zatem + n =.  (Jeśli n to liczba skończona (moc zbioru skończonego).

Nie znajdziemy zatem tym sposobem zbioru o mocy mniejszej niż . Ale nie ma problemu znaleźć zbioru o mocy większej, jak wiadomo "najmniejsza" większa moc to c (continuum). Płaszczyzna ma taką samą moc jak linia prosta, to samo z przestrzenią i skończonymi (wymiar < ) hiperprzestrzeniami. Co nie znaczy że nie ma liczb kardynalnych większych niż c.
Ale to już zupełnie inna historia:)

Pozdrawiam.

PS. @liv na pytanie czy teoria mnogości to "bastion metafizyki" w matematyce mogę odpowiedzieć jedynie: bastion czego ?! :)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13369
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #123 dnia: Czerwca 02, 2010, 06:23:08 pm »
No to trochę rozjaśniłeś - a do jakiej "mocy" matematycy doszli? Czy te moce rosną jak liczby naturalne w nieskończoność, czy mają jakiś kres. No i najbardziej mnie interesuje jakie działania na tym można robić, bo samemu trudno coś zwojować ze względu na egzotyczny (z punktu widzenia normalnego człowieka) zapis.

Tego z linią i płaszczyzną to zupełnie nie rozumiem. Linia ma nieskończoną liczbę punktów (czy moc ich zbioru będzie równa mocy ?). Dla każdego punktu prostej należącej do rozpatrywanej płaszczyzny można przeprowadzić prostą prostopadłą również należącą do tej płaszczyzny. Prostych tych będzie tyle ile punktów pierwszej prostej - czyli nieskończenie wiele. Każda z nich zawierać będzie zaś nieskończenie wiele punktów. Na czucie to powinno oznaczać, że zbiór pkt. płaszczyzny ma większą moc niż zbiór pkt. prostej, bo to jest ^2. To rozumowanie można dalej kontynuować prowadząc proste prostopadłe w każdym punkcie prostych prostopadłych I rzędu itd. Uzyskując przestrzenie o coraz większej liczbie wymiarów. Gdzie więc tkwi haczyk?
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

trx

  • Juror
  • Full Member
  • *****
  • Wiadomości: 246
  • wytwór ponowoczesny
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #124 dnia: Czerwca 03, 2010, 12:25:36 am »
Może trochę inny temat: czy kiedykolwiek wydawało się Wam, że mimowolnie postępujecie w ten sam sposób, co jakiś x - x może być dobrze znajomy bądź nie? Oczywiście nie bardzo chcąc w ten sam sposób, co x postępować, mając pewną świadomość, do czego działania x doprowadziły?*  :)

* do niczego dobrego  ;D
« Ostatnia zmiana: Czerwca 03, 2010, 12:29:21 am wysłana przez trx »

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6891
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #125 dnia: Czerwca 03, 2010, 01:38:42 am »
No proszsz...do samego procesu odejmowania nie mam zastrzezen (wyglada porazajaco prosto;)) ...ale ten wynik mnie niepokoi;)Zapytalam dzisiaj 2 osoby niemajace nic wspolnego z matematyka jaki wynik by otrzymaly odejmujac cos od nieskonczonosci: odpowiedzialy bez wahania ze nieskonczonosc;)Czyli ja tu mam tylko jakis problem z uszczuplona nieskonczonoscia;)
Hmm...Penrose to nazywa zagadkami w podstawach matematyki...zartownis...ale a propos jeszcze tej HC:  (nie wiem czy dobrze ale tak mniej wiecej mi sie to poukladalo) z aksjomatu ZF o zbiorze potegowym (chyba stad ten wniosek?) moc zbioru nieskonczonego n- elementowego to 2^n.Cantor ta swoja metoda przekatniowa udowodnil ze moc R to C czyli 2 ^alef_0 (marne te klawiatury jesli chodzi o zapis dzialan matematycznych...) tzn tyle ile jest podzbiorow liczb N.Wczesniej cytowalam Penrosa ktory pisal o zbiorach nieskonczonych i ich podzbiorach oraz ich rownej mocy.Stad przyklad z prostymi i plaszczyzna: ta rowna moc wynika z faktu iz prosta jest niejako podzbiorem plaszczyzny?I dodatkowo  z takiego zalozenia (czy jak to tam nazwac?wlasnosci liczb kardynalnych?) ze   nieskonczona liczba kardynalna np M < 2^M ?
Taki jakis misz mam masz;)

Cytuj
Co nie znaczy że nie ma liczb kardynalnych większych niż c.

Wyczytalam o "boskiej" omedze Cantora: zbiory skladamy w klasy...najwieksza liczba kardynalna bylaby "liczba klasy wszystkich klas".Tutaj pojawil sie paradoks Russella ktory ominelam bo...tak;)....natomiast wniosek byl taki ze sie nie da takiej podac...ale mozna podac "klase wszystkich zbiorow" i Cantor nazwal wlasnie ja omega.Miala to byc max nieskonczona liczba kardynalna.Z tym ze jest to zalozenie ze omega < 2^omega i stad ona nie jest jednak najwieksza...czyli juz sama nie wiem czy jest czy nie :-\
Wyczytalam ze laczy sie to z probleme "obliczalnosci" i maszynami Turinga.Cos mi sie kolacze ale tak niewiele ze sobie pomyslalam ze moze Terminusa rece bola od trzymania klamki i wolalalby je rozruszac na klawiaturze opowiadajac nam inne historie;)

P.S. Trx alezeco? ze nie uczymy sie na cudzych bledach jeno na swoich?;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

liv

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6612
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #126 dnia: Czerwca 12, 2010, 07:12:11 pm »
Cytuj
@liv na pytanie czy teoria mnogości to "bastion metafizyki" w matematyce mogę odpowiedzieć jedynie: bastion czego ?! Smiley
Ta pytająca odpowiedź całkowicie mnie zadowala.
Na razie :)
Obecnie demokracja ma się dobrze – mniej więcej tak, jak republika rzymska w czasach Oktawiana

Terminus

  • Gość
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #127 dnia: Czerwca 15, 2010, 02:53:03 pm »
O ile rozumiem można konstruować zbiory o dowolnie wysokiej mocy. Bo, na przykład zbiór wszystkich funkcji R->R ma moc większą niż zbiór R (liczb rzeczywistych). Ale dość o tym :) Natomiast to co Penrose nazywa "podstawami" matematyki, to nie podstawy w potocznym sensie zbioru praw najprosztszych, z których wywodzi się nadbudowę. W matematyce "podstawy matematyki" to Podstawy Matematyki, osobna dziedzina, zajmująca się jak najściślejszym opracowaniem aksjomatyki i możliwie najbardziej rygorystycznym jej zredukowaniem. Przeciwnie do nazwy, jest to jedna z trudniejszych dziedzin:)
pozdrawiam

liv

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6612
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #128 dnia: Czerwca 18, 2010, 01:53:23 am »
Cytuj
@liv na pytanie czy teoria mnogości to "bastion metafizyki" w matematyce mogę odpowiedzieć jedynie: bastion czego ?! Smiley
Ta pytająca odpowiedź całkowicie mnie zadowala.
Na razie Smiley
Na razie minęło.
       Cantor nieskończoność utożsamił z Bogiem. I, jak piszą, zwariował :)
Metafizyka zaś w/g Arystotelesa , nauka pierwsza ,teologia. Czyli, upraszczając, dociekania o własnościach Boga, czy innych hipotetycznych Bytów, będących poza zasięgiem doświadczenia. Takich, które można logicznie wykoncypować z doświadczalnego obrazu rzeczywistości, ale nie istnieją w realnym świecie. Nie mają też przybliżenia. Jak nie przymierzając - nieskończoność.
Dlatego mi się tak skojarzyło.
Cytuj
O ile rozumiem można konstruować zbiory o dowolnie wysokiej mocy.
Czy dobrze rozumiem, że nieskończony zbiór liczb, może na dodatek mieć nieskończoną moc? I czy dla uproszczenia można użyć bardziej obrazowego zwrotu "gęstość zbioru" zamiast moc?
Tak, tak,  jestem w stanie spróbować pojąć, jedynie tą "naiwną teorię mnogości".
P.



« Ostatnia zmiana: Czerwca 18, 2010, 02:11:25 am wysłana przez liv »
Obecnie demokracja ma się dobrze – mniej więcej tak, jak republika rzymska w czasach Oktawiana

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6891
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #129 dnia: Czerwca 18, 2010, 03:12:20 pm »
Cytuj
Czy dobrze rozumiem, że nieskończony zbiór liczb, może na dodatek mieć nieskończoną moc?

Hmm...wg mnie to wyglada tak:
liczba kardynalna=moc zbioru=liczba elementow.
W zbiorach skonczonych np {0,1,2,3,4,5} jest to skonczona liczba kardynalna czyli liczba naturalna i w przykladzie wynosi 6 bo jest 6 elementow.
W zbiorach nieskonczonych (jak np zbior liczb naturalnych) moca zbioru/liczba elementow jest nieskonczona liczba kardynalana.
Najmniejsza nieskonczona liczba kardynalna jest alef_0 i jest to wlasnie moc zbioru liczb naturalnych.
Poniewaz nieskonczonosci sa mniejsze i wieksze - nieskonczonosc zbioru liczb rzeczywistych jest wieksza od naturalnych wiec i moc tego zbioru/nieskonczona liczba kardynalna jest wieksza i wynosi (Cantor chcial zeby byla to kolejna nieskonczona liczba kardynalana czyli  alef_1) continuum.
Stad wg mnie tak: moca nieskonczonego zbioru liczb jest nieskonczona liczba kardynalna.Chyba ze ten tok myslenia to kardynalny blad;)
Cytuj
I czy dla uproszczenia można użyć bardziej obrazowego zwrotu "gęstość zbioru" zamiast moc?
Wg mnie: nie.mam na to metne wyjasnienie;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

liv

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6612
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #130 dnia: Czerwca 18, 2010, 05:25:52 pm »
Dzięki za wyjaśnienie.
Teraz przez ruski miesiąc będę próbował to zrozumieć :)
Obecnie demokracja ma się dobrze – mniej więcej tak, jak republika rzymska w czasach Oktawiana

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6891
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #131 dnia: Czerwca 18, 2010, 07:12:43 pm »
A propos tej gestosci i mocy to stracilam ta swoja metna bo intuicyjna pewnosc;) jak mysle o tym przedziale [0,1] ;) Zdaje sie ze w gestosci chodzi o rozklad liczb.Ciekawe jak to jest.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13369
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #132 dnia: Czerwca 18, 2010, 07:28:57 pm »
Stad wg mnie tak: moca nieskonczonego zbioru liczb jest nieskonczona liczba kardynalna
Ale naturalne też są nieskończone. To o co chodzi?
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6891
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #133 dnia: Czerwca 18, 2010, 07:58:11 pm »
Stad wg mnie tak: moca nieskonczonego zbioru liczb jest nieskonczona liczba kardynalna
Ale naturalne też są nieskończone. To o co chodzi?
Nie wiem maziek:)).Moze o pieniadze?;)Musialby Term zweryfikowac ale ja to wytlumaczylam sobie tak: ze moca czyli liczebnoscia zbiorow skonczonych (np od jeden do 1000mln) sa liczby naturalne (tzn podajemy ile jest elementow za pomoca liczb N...chyba profanacja:skonczonych i one tez nazywaja sie kardynalnymi;)).
Natomiast moca/liczebnoscia zbiorow nieskonczonych czyli np zbioru liczb N sa liczby kardynalne nieskonczone (bo tych elementow jest nieskonczenie wiele) czyli nie 5mln czy 100mln tylko te nieszczesne alefy (w zbiorze n to ten alef_0);)
Inaczej ze liczby N wykorzystujemy do podawania mocy zbiorow skonczonych a jesli mowimy o mocy zbiorow nieskonczonych to wkraczaja nieskonczone liczby k. czyli alefy.
Cos czuje ze wjechalam na rondo i zamkneli mi wszystki drogi wyjazdowe;)

Edit: moze ma tu znaczenie tez rozroznienie nieskonczonosci na potencjalna i aktualna...czyli taka do ktorej sie dazy i taka "ktora jest" czyli np alef_0 i na ktorej mozna wykonywac dzialania (o co pytalam wyzej).W tym temacie moze wystarczy wikipedia:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Niesko%C5%84czono%C5%9B%C4%87
« Ostatnia zmiana: Czerwca 18, 2010, 08:38:30 pm wysłana przez olkapolka »
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

liv

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6612
    • Zobacz profil
Re: Skrzynie doktora Corcorana
« Odpowiedź #134 dnia: Czerwca 18, 2010, 09:19:43 pm »
Mam mętne przeczucie, że Term ma niezły ubaw jak to czyta :)
Chyba, że akurat jest w bojowym nastroju i szykuje granat na profanów, co mu grzebią w jego grządce. ;)
Obecnie demokracja ma się dobrze – mniej więcej tak, jak republika rzymska w czasach Oktawiana