Hello,
zatem z Hipotezą Continuum (HC) jest nie do końca tak, że jest "udowodniona na tak i na nie". Nic z tych rzeczy. Chodzi o to, że pokazano jej niezależność od reszty teorii mnogości w nastepującym sensie:
- jeśli przyjąć, że HC jest nieprawdziwa, to wszystkie pozostałe twierdzenia teorii mnogości dalej da się obronić.
- jeśli przyjąć, że HC jest prawdziwa, to Goedel pokazał iż nie powstała by żadna sprzeczność w tak zwanej teorii zbiorów Zermelo-Frankela.
Nie oznacza, to, że gdy HC jest prawdziwa, to nie powstaje żadna sprzeczność w klasycznie rozumianej teorii zbiorów (tj. teorii mnogości). Teoria mnogości a'la Zermello-Franka to nieco inny "wariant" teorii mnogości. Ale ogólnie przyjęty consensus jest taki, że HC jest całkowicie niezależna od teorii mnogości (mimo powyższych niuansów).
Natomiast na pytanie
olki czy HC jest przykładem prorokowanego przez Goedla twierdzenia nieudowodnialnego - na pewno mówienie o tym w jednym zdaniu nie jest bez sensu, natomiast twierdzenie Goedla jest niekonstruktywne, tj. nie podaje konkretnie jaka formuła (a więc, czy HC czy nie) będzie właśnie TĄ wykraczającą poza system. O ile ja rozumiem, HC jest jednak przykładem takiego twierdzenia i nie ma tu wątpliwości.
Do drugiego pytania olki, tj. co się stanie gdy od zbioru
A o mocy
odejmniemy/dodamy zbiór
B skończony. No, ||A|| (moc A) się nie zmieni. Aby to prosto wytłumaczyć: jeśli ||A||=
oznacza to, że wszystkie jego elementy możemy "ponumerować" liczbami naturalnymi (przylepić każdemu numerek) - to właśnie jest przeliczalność. W taki właśnie sposób pokazuje się przeliczalność liczb wymiernych Q - układa się je w tablicę i numeruje każdy element. Niech A={a
1,a
2,...}. Wtedy, gdy odejmiemy lub dodamy skończoną liczbę elementów do zbioru A, wystarczy nam - na przykład przy odejmowaniu A-B, przenumerowac pozostałe po odejmowaniu elementy zbioru A (powiedzmy, że A to zbiór liczb naturalnych, a B zawierał liczby naturalne od 1 do 1000 - będzie wtedy A-B={a
1001, a
1002,...} bo pierwsze tysiąc zostało odjętych). Ale to "co zostało" po odejmowaniu, dalej da nieskończony szereg liczb, dalej będzie to zbiór przeliczalny. Zatem
+ n =
. (Jeśli n to liczba skończona (moc zbioru skończonego).
Nie znajdziemy zatem tym sposobem zbioru o mocy mniejszej niż
. Ale nie ma problemu znaleźć zbioru o mocy większej, jak wiadomo "najmniejsza" większa moc to c (continuum). Płaszczyzna ma taką samą moc jak linia prosta, to samo z przestrzenią i skończonymi (wymiar <
) hiperprzestrzeniami. Co nie znaczy że nie ma liczb kardynalnych większych niż c.
Ale to już zupełnie inna historia:)
Pozdrawiam.
PS. @
liv na pytanie czy teoria mnogości to "bastion metafizyki" w matematyce mogę odpowiedzieć jedynie: bastion czego ?!