Nieskończoność i jej różne wymiary

[Stanisław Remuszko]

@ maziek
Czy to jest Twój respons na mój postulat?

R.

[maziek]

Respons to Ci Twoja babcia może dać. Jak z respektem poprosisz.

[xpil]

Będą fajne dyskusje, takie o nieskończoności i Wogle, a potem przyjdą trolle i to wszystko s.#.olą :/

[olkapolka]

Będą fajne dyskusje, takie o nieskończoności i Wogle, a potem przyjdą trolle i to wszystko s.#.olą :/

Pozwoliłam sobie zmienić dwie literki na dwie kropki - w ostatnim słowie. Czego by nie robiły...nie przeklinają.

A do meritum:

Jeśli powiedzmy limes wynosiłby 1, znaczy "wielkość" zbiorów N i Nparz byłaby jednakowa w sensie matematycznym.

Ja chyba za tym nie nadążam...skoro wynosi 2 to znaczy, że któryś jest większy? Jaka to "wielkość" w sensie matematycznym?

Póki co sądzę jak Hoko - mamy dwa ciągi rozbieżne - a tworząc iloraz dostajemy trzeci ciąg - zbieżny. I czy to świadczy o wielkości poszczególnych ciągów? I jak?

[xpil]

Pozwoliłam sobie zmienić dwie literki na dwie kropki - w ostatnim słowie. Czego by nie robiły...nie przeklinają.

Znaczy się, jak zwykł był mawiać jeden mój dawny znajomy kiedy już lekko przetrzeźwiał, "kultura, ku#wa, kultura"

(Prywatnie wolę amalgamat "kulturwa". Ale mniejsza teraz o słowniki)

A do meritum:

Jeśli powiedzmy limes wynosiłby 1, znaczy "wielkość" zbiorów N i Nparz byłaby jednakowa w sensie matematycznym.

Ja chyba za tym nie nadążam...skoro wynosi 2 to znaczy, że któryś jest większy? Jaka to "wielkość" w sensie matematycznym?

Póki co sądzę jak Hoko - mamy dwa ciągi rozbieżne - a tworząc iloraz dostajemy trzeci ciąg - zbieżny. I czy to świadczy o wielkości poszczególnych ciągów? I jak?

Według mnie to tu się skala alefów kłania i aksjomat wyboru. Czyli za wysokie progi na moje nogi, też nie nadanrzam za tą matematyką ostatnio.

Nota bene jestem w stanie udowodnić, że punktów na obwodzie kwadratu jednostkowego jest cztery razy więcej, niż w jego wnętrzu. Przeprowadźmy prosty eksperyment myślowy:

1. Bierzemy kwadrat jednostkowy (czyli o wymiarach 1x1)
2. Wybieramy dowolny punkt wewnątrz tego kwadratu
3. Bierzemy współrzędne X i Y tego punktu i łączymy je jedna za drugą tj. najpierw cyfry odciętej a zaraz potem rzędnej, ale - uwaga - z igreka zabieramy początkowe zero z przecinkiem. Na przykład x=0.123, y=0.1357 da nam 0.1231357. Wynik oznaczamy jako Z.
4. Tak zapisana liczba Z jest unikalna dla każdego punktu wewnątrz kwadratu
5. Na każdym z boków kwadratu znajdujemy punkt odległy od wierzchołka o Z. Są cztery takie punkty i są one unikalne dla każdego początkowo wybranego punktu. A więc na obwodzie jest czterokrotnie więcej punktów, niż we wnętrzu!

Z drugiej strony, dla każdego punktu na obwodzie możemy wskazać unikalny zbiór nieskończenie wielu punktów we wnętrzu (na odcinku prostopadłym do boku, biegnącym przez wybrany punkt na obwodzie), a więc jednak we wnętrzu punktów jest nieskończenie więcej, niż na obwodzie.

Jak żyć?

[olkapolka]

Jak żyć?

Ciężko jest lekko żyć - podsłuchane lata temu w jednej bluesowej knajpce.

Oj...ten kwadrat to rozbiorę jutrodziś...jakaś podejrzana sztuczka;)
A dzisiaj jeszcze...mały obrazek:

Zaznaczyłam na nim punkty, które są kolejnymi wyrazami ciągów: n, 2n, 2n+1, 4n+1/2n

Wydaje mi się, że tutaj widać z grubsza o co chodzi z granicą.
Ciągi n, 2n, 2n+1 dążą do nieskończoności.
Natomiast ciąg parzyste+nieparzyste/parzyste dąży do 2.

I pytam co to ma wspólnego z równolicznością tych zbiorów i ich jakkolwiek rozumianą wielkością. Mocą?

[Hoko]

@Hoko

Tak jest, Hoko, to po prostu nowy ciąg, który, w odróżnieniu od ciągów N i Nparz ma granicę.

Wydaje się, o to nam właśnie chodzi - czy istnieje granica ilorazu (f+g)/f, czyli N/Nparz, i jeśli tak, ile ten limes wynosi.
W jaki jeszcze sposób można porównać dwa ciągi, jeżeli nie przez ich iloraz?

Jeśli powiedzmy limes wynosiłby 1, znaczy "wielkość" zbiorów N i Nparz byłaby jednakowa w sensie matematycznym.

Jezusie Nazareński... 

ile wynosi granica (2n+(2n-1))/2n - można policzyć w pamięci, nie trzeba żadnych dodatkowych twierdzeń.

olka

Póki co sądzę jak Hoko - mamy dwa ciągi rozbieżne - a tworząc iloraz dostajemy trzeci ciąg - zbieżny. I czy to świadczy o wielkości poszczególnych ciągów? I jak?

o niczym to nie świadczy, dostajemy nowy ciąg i tyle.

[xpil]

ile wynosi granica (2n+(2n-1))/2n - można policzyć w pamięci, nie trzeba żadnych dodatkowych twierdzeń.

SIEDEM

(co wygrałem?)

[Hoko]

xpil

podreguluj prąd katodowy 

[Lieber Augustin]

Póki co sądzę jak Hoko - mamy dwa ciągi rozbieżne - a tworząc iloraz dostajemy trzeci ciąg - zbieżny. I czy to świadczy o wielkości poszczególnych ciągów? I jak?

i

I pytam co to ma wspólnego z równolicznością tych zbiorów i ich jakkolwiek rozumianą wielkością. Mocą?

Czy ja wiem, olka... Po pierwsze, "wielkością" zbioru nazywam sumę jego elementów, czyli liczb, wyrazów. Choć jest ona w naszym wypadku nieskończona.
Moc, równoliczność dotyczy ilości wyrazów zbioru. Teraz, jak Ty mnie dowiodłaś, mamy do czynienia ze zbiorami o jednakowej mocy. Zatem,moim zdaniem, moc/równoliszność nie ma (w naszym wypadku; ze zbiorami o różnej mocy, np. W i N, zupełnie inaczej) nic wspólnego z "wielkością" zbioru.

Dalej, czy można porównywać dwa zbiory o nieskończonej sumie wyrazów? Czyli dwa szeregi? Wydaje się, że można. Jak?
Można rozpatrzyć ich iloraz albo różnicę.

Iloraz i jego granicę już rozpatrywaliśmy. Istnieje aparat matematyczny dla rozgryzania takiego rodzaju nieoznaczoności, w tym reguła Spitalnego. Niby wynosi 2, jeśli nie popełniłem błędu w obliczeniach.

Różnica:
N-Nparz=2n+2n-1-2n=2n-1
2n prawie dorówna 2n-1 przy n->oo, zatem znów różnica niby dwukrotna.

To wszystko zrozumiało jest intuicyjnie, "na czuja", jak mówi maziek. Spróbowałem tylko dowieść to w symbolach matematycznych. Z powodzeniem czy nie - nie mogę sądzić.
Feci quod potui, faciant meliora potentes.

[olkapolka]

No to inaczej: czym jest iloraz zbiorów?

[Hoko]

a jest?

[olkapolka]

Dlatego pytam.
Bo LA napisał:
Dalej, czy można porównywać dwa zbiory o nieskończonej sumie wyrazów? Czyli dwa szeregi? Wydaje się, że można. Jak?
Można rozpatrzyć ich iloraz albo różnicę.
Byłam ciekawa tego ilorazu zbiorów.
Zresztą różnica zbiorów, a różnica w ciągu arytm to też inna inkszość.
Po prostu nie wiem czy to wszystko można sensownie połączyć - czy należy rozpatrywać oddzielnie.


A wokół liczby 2 faktycznie krążymy jak ćmy...)

[xpil]

Kornie zwierzchność kwestyonuię zali warto tak się miotać, skoro najwyraźniej ani jeden uczestnik tego wątku (ze mną na czele, żeby nie było!) nie ma pojęcia o arytmetyce alefów. Mój wredny przykład z kwadratem pokazuje co dzieje się, jeżeli zastosować "szkolną" logikę do analizy zagadnień wykraczających poza ramy szkoły średniej (niechby i nawet mat-fiz).

Liczb parzystych dodatnich jest tyle samo, co naturalnych. Nie dwa razy mniej. Tyle samo. Liczb rzeczywistych między zerem a jedynką jest więcej, niż wszystkich liczb naturalnych. I tak dalej...

[Hoko]

olka

A na jakiej podstawie LA wydaje się, że można?

Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka 


xpil

rzeczona arytmetyka nie jest tu chyba do niczego potrzebna.