Pokaż wiadomości
1
DyLEMaty / jak to jest z tymi cząstkami?
« dnia: Stycznia 05, 2009, 07:49:19 am »
Wyobraźcie sobie symetryczną kostkę do gry (1-6). Mamy nieskończoną (alef 0) liczbę rzutów. Zgodnie z prawem wielkich liczb Bernoulliego częstotliwość każdego trafu na kostce powinna w nieskończoności być równa - co oznacza, że w końcu trafimy na każdą z liczb. To przy założeniu, że rządzi faktycznie ślepy los z rozkładem równomiernym (a nie jakieś ukryte mechanizmy, które np. specjalnie unikają szóstek).
Teraz wyobraźmy sobie, że zamiast rzucania kostką losujemy liczbę naturalną 0-oo. Za to liczba rzutów wzrasta z alef 0 do R. Czy coś to zmienia jakościowo w naszym obrazie? Nie powinno. Weźcie bowiem ów przedział R, w którym zawiera się nieskończona ilość punktów-rzutów, i podzielcie go na przedziały:
[0,1) dla n e {0..5}
[1,2) dla n e {6..11}
[2,3) dla n e {12..17}
itd. W każdym z przedziałów rzucamy więc znowu sześciościenną kostką i rzucamy nieskończoną liczbę razy. Od razu mówię, że możemy tak podzielić jw., bo ta szersza nieskończoność R jest taka pojemna. Nie ma zresztą znaczenia, czy przydzielimy [0,1), [1,2) itd., czy w innym układzie, czy zupełnie jakoś chaotycznie - pokazuję tylko, że jest miejsce na wszystko.
A zatem w procesie stochastycznym, gdzie występuje przeliczalna liczba stanów i nieprzeliczalna ilość losowań, przy rozkładzie stale równomiernym, o ile gdzieś tutaj nie popełniłem błędu, każdy stan powinien wystąpić.
A co jeśli każdej liczbie przydzielimy prawdopodobieństwo, przy czym lim n->oo P(n) = 0 i sigma n=0..oo P(n) = 1? Śmiem twierdzić, że co do zasady wszystko pozostanie po staremu. Bo i z niesymetryczną teraz kostką do gry prawo wielkich liczb powinno być zachowane i tak czy inaczej każda cyfra powinna doczekać się swojej kolejki, tak samo i tutaj. Można sobie zresztą to wyobrazić inaczej - mianowicie: że dalej losujemy w rozkładzie równomiernym, lecz później rzutujemy go na zasadzie suriekcji (tak samo można rzutować, w sytuacji skończonej, 1-5 na A i 6 na B - tak się przekształca dyskretny rozkład równomierny na dyskretny nierównomierny; mówiąc inaczej: wrzucamy do worka pięć kartek A i jedną B).
Oczywiście, to przy założeniu, że prawdopodobieństwa dadzą się ładnie wymiernie przedstawić, tzn. w każdym razie, że ich stosunek da się zapisać liczbami naturalnymi (jako dodatkowy wymiar... bo, jak wiadomo, alef 0 może obejmować i N^2 (na ukos), i N^3 (metoda "cebulki" lub, jak kto woli, matrioszki); tutaj prawdopodobieństwo wchodzi niejako w postaci dodatkowego wymiaru). Tak, zrobiłem to założenie, ale jak się zaraz okaże wolno mi było, bo zdarzenia elementarne, o jakich mowa powyżej, sobie dobieram.
...bo nie podałem jeszcze, o co chodzi. Rozważmy podprzestrzeń x,y,z przestrzeni fazowej jakiejś cząstki, niech to będzie elektron w orbitalu atomowym s. Dzielimy ją na sześciany. Jak wiadomo orbital ciągnie się w nieskończoność (choć 99% prawdopodobieństwa jest w b. małej chmurze elektronowej), więc każdy sześcian ma swoje niezerowe prawdopodobieństwo (całka z |psi|^2 po jego dV). A zatem mamy już alef 0 stanów z prawdopodobieństwami. Przyjąłem tutaj kostki o identycznej objętości, ale w razie, gdyby prawdopodobieństwa tego wymagały (jak w poprzednim akapicie), można to zastąpić czymkolwiek bądź, byle w przeliczalnej ilości. Natomiast nieskończona nieprzeliczalna ilość losowań to nic innego, jak czas. No chyba że ktoś wierzy w czas dyskretny (skwantowany), z "chrononami", ponoć część fizyków w to wierzy.
Bo jeżeli ktoś utrzymuje pogląd filozoficzny, że wszechświat na dnie nie jest deterministyczny (a nie tylko, że z naszego punktu widzenia nie jest obliczalny: bo to zgoła co innego), to znaczy to ni mniej, ni więcej (bo cóż innego miałoby znaczyć?), jak "w każdej chwili czasu cząstka znajduje się w wylosowanym położeniu, zgodnie z prawdopodobieństwami", co można też wyrazić tak: "w każdej z nieprzeliczalnie wielu chwil czasowych, jakie składają się na jedną sekundę, przyroda losuje położenie elektronu, jakkolwiek trzyma się prawdopodobieństw". Właśnie to - że życie jest ciągiem losowań - wynika koniecznie z indeterminizmu. A to, jak w całym tym tekście pokazałem, jest równoznaczne z tym, że ów elektron powinien trafić do każdej komórki... każda możliwość powinna wypaść, już choćby właśnie stąd, że losujemy na ślepo (pomyślcie choćby o rozkładzie równomiernym). Jednak to, że można znaleźć taką chwilę, iż elektron jest dowolnie daleko od jądra, choćby 600.000 km dalej, znaczyłoby m.in., że może on przenosić się szybciej od światła. Błąd: nie może, a MUSI! W każdej sekundzie musi spędzać nieskończoną liczbę chwil w zupełnie innych galaktykach.
Teraz wyobraźmy sobie, że zamiast rzucania kostką losujemy liczbę naturalną 0-oo. Za to liczba rzutów wzrasta z alef 0 do R. Czy coś to zmienia jakościowo w naszym obrazie? Nie powinno. Weźcie bowiem ów przedział R, w którym zawiera się nieskończona ilość punktów-rzutów, i podzielcie go na przedziały:
[0,1) dla n e {0..5}
[1,2) dla n e {6..11}
[2,3) dla n e {12..17}
itd. W każdym z przedziałów rzucamy więc znowu sześciościenną kostką i rzucamy nieskończoną liczbę razy. Od razu mówię, że możemy tak podzielić jw., bo ta szersza nieskończoność R jest taka pojemna. Nie ma zresztą znaczenia, czy przydzielimy [0,1), [1,2) itd., czy w innym układzie, czy zupełnie jakoś chaotycznie - pokazuję tylko, że jest miejsce na wszystko.
A zatem w procesie stochastycznym, gdzie występuje przeliczalna liczba stanów i nieprzeliczalna ilość losowań, przy rozkładzie stale równomiernym, o ile gdzieś tutaj nie popełniłem błędu, każdy stan powinien wystąpić.
A co jeśli każdej liczbie przydzielimy prawdopodobieństwo, przy czym lim n->oo P(n) = 0 i sigma n=0..oo P(n) = 1? Śmiem twierdzić, że co do zasady wszystko pozostanie po staremu. Bo i z niesymetryczną teraz kostką do gry prawo wielkich liczb powinno być zachowane i tak czy inaczej każda cyfra powinna doczekać się swojej kolejki, tak samo i tutaj. Można sobie zresztą to wyobrazić inaczej - mianowicie: że dalej losujemy w rozkładzie równomiernym, lecz później rzutujemy go na zasadzie suriekcji (tak samo można rzutować, w sytuacji skończonej, 1-5 na A i 6 na B - tak się przekształca dyskretny rozkład równomierny na dyskretny nierównomierny; mówiąc inaczej: wrzucamy do worka pięć kartek A i jedną B).
Oczywiście, to przy założeniu, że prawdopodobieństwa dadzą się ładnie wymiernie przedstawić, tzn. w każdym razie, że ich stosunek da się zapisać liczbami naturalnymi (jako dodatkowy wymiar... bo, jak wiadomo, alef 0 może obejmować i N^2 (na ukos), i N^3 (metoda "cebulki" lub, jak kto woli, matrioszki); tutaj prawdopodobieństwo wchodzi niejako w postaci dodatkowego wymiaru). Tak, zrobiłem to założenie, ale jak się zaraz okaże wolno mi było, bo zdarzenia elementarne, o jakich mowa powyżej, sobie dobieram.
...bo nie podałem jeszcze, o co chodzi. Rozważmy podprzestrzeń x,y,z przestrzeni fazowej jakiejś cząstki, niech to będzie elektron w orbitalu atomowym s. Dzielimy ją na sześciany. Jak wiadomo orbital ciągnie się w nieskończoność (choć 99% prawdopodobieństwa jest w b. małej chmurze elektronowej), więc każdy sześcian ma swoje niezerowe prawdopodobieństwo (całka z |psi|^2 po jego dV). A zatem mamy już alef 0 stanów z prawdopodobieństwami. Przyjąłem tutaj kostki o identycznej objętości, ale w razie, gdyby prawdopodobieństwa tego wymagały (jak w poprzednim akapicie), można to zastąpić czymkolwiek bądź, byle w przeliczalnej ilości. Natomiast nieskończona nieprzeliczalna ilość losowań to nic innego, jak czas. No chyba że ktoś wierzy w czas dyskretny (skwantowany), z "chrononami", ponoć część fizyków w to wierzy.
Bo jeżeli ktoś utrzymuje pogląd filozoficzny, że wszechświat na dnie nie jest deterministyczny (a nie tylko, że z naszego punktu widzenia nie jest obliczalny: bo to zgoła co innego), to znaczy to ni mniej, ni więcej (bo cóż innego miałoby znaczyć?), jak "w każdej chwili czasu cząstka znajduje się w wylosowanym położeniu, zgodnie z prawdopodobieństwami", co można też wyrazić tak: "w każdej z nieprzeliczalnie wielu chwil czasowych, jakie składają się na jedną sekundę, przyroda losuje położenie elektronu, jakkolwiek trzyma się prawdopodobieństw". Właśnie to - że życie jest ciągiem losowań - wynika koniecznie z indeterminizmu. A to, jak w całym tym tekście pokazałem, jest równoznaczne z tym, że ów elektron powinien trafić do każdej komórki... każda możliwość powinna wypaść, już choćby właśnie stąd, że losujemy na ślepo (pomyślcie choćby o rozkładzie równomiernym). Jednak to, że można znaleźć taką chwilę, iż elektron jest dowolnie daleko od jądra, choćby 600.000 km dalej, znaczyłoby m.in., że może on przenosić się szybciej od światła. Błąd: nie może, a MUSI! W każdej sekundzie musi spędzać nieskończoną liczbę chwil w zupełnie innych galaktykach.