Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 97009 razy)

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6505
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #465 dnia: Luty 04, 2022, 11:52:35 am »
Wydaje mi się, że w założeniu powinno być n mniejsze lub równe 365, bo jeśli weźmie się grupę większą od 365  to na pewno dwie osoby mają urodziny tego samego dnia.
Pytanie było nie o osoby urodzone innego dnia, a właśnie o 2 osoby urodzone jednego dnia.

Edytka: W sensie, że dla n większego od 365 pytanie traci sens.
Traci sens w tym sensie :), że odpowiedź na pytanie staje się trywialna.

...najpierw odwrócimy nieco pytanie. Łatwiejsze jest bowiem równanie i zrozumienie odwrotnej sytuacji.
Powyższy problem ma bowiem dwie strony i można rozwiązać go dwojako. Możemy znaleźć:
- Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby mają urodziny tego samego dnia
- Prawdopodobieństwo, że żadna z osób w grupie nie ma urodzin tego samego dnia
Oba te warunki się dopełniają. To znaczy, że jeżeli prawdopodobieństwo braku urodzin tego samego dnia wyniesie 70 proc., to drugie prawdopodobieństwo – że co najmniej dwie osoby mają urodziny tego samego dnia — wyniesie 30 proc. Innej sytuacji nie ma – albo każdy ma urodziny w inne dni, albo ktoś ma urodziny tego samego dnia co inna osoba.


Przytoczony wzór dotyczy właśnie tego "odwrotnego" prawdopodobieństwa. Gdy n osiąga wartość 366, czynnik 1-(n-1)/365 staje się równy zeru, a razem z nim i cały iloczyn.
Jasne - wzór dotyczy odwrotnej sytuacji, ale koniec końców chodzi o odpowiedź na pytanie o dwie osoby urodzone tego samego dnia.
A co jeśli podstawimy 367? Możemy?
Czy otrzymując wzór należy poczynić jednak zastrzeżenia?
Wydaje mi się, że w założeniu powinno być n mniejsze lub równe 365, bo jeśli weźmie się grupę większą od 365  to na pewno dwie osoby mają urodziny tego samego dnia.
Pytanie było nie o osoby urodzone innego dnia, a właśnie o 2 osoby urodzone jednego dnia.
Edytka: W sensie, że dla n większego od 365 pytanie traci sens.
Ale skąd wiemy, że na pewno? Dopiero podstawienie do prawidłowo skonstruowanego wzoru daje pewność. I wtedy też widać, że dla n>365 pytanie nie traci sensu.
Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Ptr

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 125
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #466 dnia: Luty 04, 2022, 03:00:27 pm »
Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)

Jak to na nic? Podstaw n > 365, wyjdzie zawsze 0, tak jak powinno. Czyli 1 dla przypadku odwrotnego.
Wzór dla roku przestępnego jest analogiczny, wystarczy zmienić mianownik na 366, i ogólniej, na x dla jednostki czasu zawierającej x dni. W końcu rok to tylko umowna jednostka - może być tydzień, miesiąc, dekada. Natomiast bliźniaki, trojaczki itp. nie są żadnych utrudnieniem, to taki przypadek jak każdy inny. Interesuje nas data urodzenia, a pokrewieństwo, rozmiar buta czy wiek nie mają znaczenia, bo mamy równomierny rozkład prawdopodobieństwa.

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6505
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #467 dnia: Luty 04, 2022, 03:54:13 pm »
Jak wyżej ze wzorem.
Jeśli mamy 365 osób urodzonych różnego dnia to 366 osoba musi się powtórzyć z którąś z tych 365. Na nic nam więc jakikolwiek wzór obliczający coś dla grupy większej niż 365.
W zadaniu został pominięty rok z 366 dzionkami i bliźniacy, trojaczki czy inne utrudnienia;)

Jak to na nic? Podstaw n > 365, wyjdzie zawsze 0, tak jak powinno. Czyli 1 dla przypadku odwrotnego.
Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.
Cytuj
Wzór dla roku przestępnego jest analogiczny, wystarczy zmienić mianownik na 366, i ogólniej, na x dla jednostki czasu zawierającej x dni. W końcu rok to tylko umowna jednostka - może być tydzień, miesiąc, dekada.
Mam wątpliwości - wtedy należałoby w pytaniu dodać, że chodzi o rok przestępny. Pytanie jest ogólne - dla "zwykłego" roku.
Właśnie - umownego - roku.

Cytuj
Natomiast bliźniaki, trojaczki itp. nie są żadnych utrudnieniem, to taki przypadek jak każdy inny. Interesuje nas data urodzenia, a pokrewieństwo, rozmiar buta czy wiek nie mają znaczenia, bo mamy równomierny rozkład prawdopodobieństwa.
Mówiłam, że nie znoszę prawdopodobieństwa? Mówiłam:)
Ale! Jeśli dopuścisz bliźniaka to wiesz, że w grupie masz dwójkę urodzoną jednego dnia. Bo interesuje nas data:)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Ptr

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 125
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #468 dnia: Luty 04, 2022, 06:24:40 pm »
Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.

Przy takim sformułowaniu, jakie cytujesz, nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5. Dla rozwiązania tego zadania trzeba rozwiązać nierówność:



Wśród 367 osób prawdopodobieństwo spotkania dwóch osób urodzonych tego samego dnia wynosi:



Czyli 367 jest rozwiązaniem nierówności  :)

Jeżeli chcemy najmniejszą grupę, to wtedy równanie:



Z racji tego, co autor raczył był napisać, przyjrzeliśmy się wzorowi w kontekście bardziej ogólnym, stąd pytanie, co wyjdzie dla n>365.

« Ostatnia zmiana: Luty 04, 2022, 07:02:14 pm wysłana przez Ptr »

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1917
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #469 dnia: Luty 04, 2022, 06:50:41 pm »
A co jeśli podstawimy 367? Możemy?
Możemy, jak najbardziej :)
Cytuj
Ile wychodzi z n=367?
Zero. Albo "komplementarna" do zera jedynka, tak jak napisał Ptr.
Spójrzmy jeszcze raz na wzór:

Wówczas w zero zmienia się poprzedni mnożnik 1-(n-2)/365, a nie 1-(n-1)365. Tyle tylko różnicy między n=367  i n=366.

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6505
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #470 dnia: Luty 04, 2022, 07:10:01 pm »
Ile wychodzi z n=367?
Pytanie do zadania:
Jak dużą grupę osób należy zebrać, by szansa na to, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, była wyższa niż 50 proc.?
Chodzi o najmniejszą grupę dającą wynik powyżej 0.5.
Przy takim sformułowaniu, jakie cytujesz, nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.
Pewnie - można się sprzeczać czy "jak dużą grupę osób należy zebrać" to "ile osób musi być w grupie". Tylko wtedy po co coś liczyć? Jeśli nie chodzi o najmniejszą grupę? Można powiedzieć, że 367, 5000 - co komu w duszy...:)
Wystarczy po prostu podać dowolną liczbę większą od liczby dni w roku.
Wówczas w zero zmienia się poprzedni mnożnik 1-(n-2)/365, a nie 1-(n-1)365. Tyle tylko różnicy między n=367  i n=366.
Ok - ale co to ma do zadania? Po co podstawiać liczby większe od 365 skoro wiadomo, że wtedy na pewno jest 1?
Uważasz, że nie należy robić żadnych założeń? Że n jest dowolne w tym konkretnym zadaniu o którym mówimy?

Nawiasem:  nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.
Jakie jest rozwiązanie dla Twojego pytania?
« Ostatnia zmiana: Luty 04, 2022, 07:19:47 pm wysłana przez olkapolka »
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1917
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #471 dnia: Luty 04, 2022, 07:29:51 pm »
Skasowałem swój post, bo stracił aktualność:)
« Ostatnia zmiana: Luty 04, 2022, 07:52:49 pm wysłana przez Lieber Augustin »

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6505
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #472 dnia: Luty 04, 2022, 07:41:23 pm »
Nawiasem:  nie chodzi o najmniejszą grupę, tylko o dowolną grupę, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5.
Jakie jest rozwiązanie dla Twojego pytania?
Szczerze mówiąc, jakoś straciłem wątek... ::)
Przypomnij mi bitte, jak brzmi moje pytanie? ;)
;D
Nawias był do Piotra:)
Tylko też straciłam... Ptr chyba edytował swojego posta, bo jego prawdopodobieństwo wynosi 0,5 (jak widać w cytacie z niego w moim poście) zmieniło się w: dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5

Tak przeedytowany post nie budzi mojego nawiasowego pytania o prawdopodobieństwo 0.5:)

Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1917
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #473 dnia: Luty 04, 2022, 07:54:15 pm »
No to sorki:)

Ptr

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 125
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #474 dnia: Luty 04, 2022, 08:21:05 pm »
Tylko też straciłam... Ptr chyba edytował swojego posta, bo jego prawdopodobieństwo wynosi 0,5 (jak widać w cytacie z niego w moim poście) zmieniło się w: dla której prawdopodobieństwo wynosi więcej niż 0,5

Tak przeedytowany post nie budzi mojego nawiasowego pytania o prawdopodobieństwo 0.5:)

Tak, edytowałem posta, i to kilka razy, bo po każdej lekturze okazywało się, że jednak coś w nim było nie tak. Przepraszam za zamieszanie.
Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.
Oczywiście graniczny przypadek, od którego prawdopodobieństwo wynosi 1 (lub 0 dla zdarzenia komplementarnego) można po prostu, jak to zrobiła olkapolka, wydedukować beż żadnych wzorów.

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1917
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #475 dnia: Luty 04, 2022, 09:51:00 pm »
Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.
Taa, chyba wszystko jasne...
A co jeśli trochę pofantazować? 8)
Połóżmy n=0. Jakie jest owo prawdopodobieństwo an dla grupy najmniejszej ze wszystkich możliwych, składającej się z zera osób?
Czysto formalnie można zapisać następujący wzór:



Uups! Cóż to, wychodzi na to, że autor zlinkowanego przez Q artu jednak miał rację, gdy pisał o prawdopodobieństwie przekraczającym jedynkę? ;D

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 6505
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #476 dnia: Luty 05, 2022, 01:35:44 am »
Muszę powiedzieć, że co zaglądam w ten wątek to nowe odkrycia.
A to coś się zmienia, a to znika z braku aktualności - dobrze, że was cytuję;))

Tak, edytowałem posta, i to kilka razy, bo po każdej lekturze okazywało się, że jednak coś w nim było nie tak. Przepraszam za zamieszanie.
Nie ma za co - ja też edytowałam swojego żeby zadać to marginesowe pytanie:)
Tylko nie zaglądałam już w Twojego macierzystego posta - a zadałam je na podstawie cytatu z Ciebie...który to zmieniał postać rzeczy, bo 0.5 w punkt? Nie ma takiego rozwiązania;)
Cytuj
Ale chyba wszystko jest jasne, sedno polega na tym, że mamy wzór, który daje poprawny rezultat dla każdego n>0, czyli dla dowolnej grupy osób.
Rajt  - tylko należy poczynić zastrzeżenia dla konkretnego pytania.
Uups! Cóż to, wychodzi na to, że autor zlinkowanego przez Q artu jednak miał rację, gdy pisał o prawdopodobieństwie przekraczającym jedynkę? ;D
Niechybnie chodzi o trojaczki z 29 lutego;)
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 12630
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #477 dnia: Luty 05, 2022, 09:46:37 am »
O Boziu, jak słodko po tygodniu rypaniny jak obłamanym kilofem na przodku zajrzeć tu i stwierdzić, że nic się nie zmienia (na wsz. wyp. dodam, że w pozytywnym sensie :) ). Jak ja Was za to lubię :) .


Moim zdaniem udowodniono właśnie ściśle i matematycznie istnienie Boga - prawdopodobieństwo większe niż 1 to bez wątpienia wola boska!
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Ptr

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 125
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #478 dnia: Luty 05, 2022, 12:32:19 pm »
A co jeśli trochę pofantazować? 8)
Połóżmy n=0. Jakie jest owo prawdopodobieństwo an dla grupy najmniejszej ze wszystkich możliwych, składającej się z zera osób?

Trudno liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, skoro nie ma zdarzenia :) To jest rozwiązanie "niefizyczne", przykład pouczający o tym, że nie wolno bezkrytycznie ufać, że każdej matematycznej konstrukcji coś odpowiada w przyrodzie (nota bene jest to temat stale przewijający się w twórczości S. Lema). Tutaj akurat sprawa jest ewidentna, ale w przypadku np. mechaniki kwantowej, gdzie nie do końca wiadomo, co z matematyki jest fizyczne, a co nie, problem staje się nietrywialny.

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 1917
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #479 dnia: Luty 05, 2022, 08:02:18 pm »
Niechybnie chodzi o trojaczki z 29 lutego;)
Raczej z 32 maja, w specjalnym kalendarzu barona Munchausena ;)

O Boziu, jak słodko po tygodniu rypaniny jak obłamanym kilofem na przodku zajrzeć tu i stwierdzić, że nic się nie zmienia (na wsz. wyp. dodam, że w pozytywnym sensie :) ). Jak ja Was za to lubię :) .
My też Cię lubimy, maźku :)

Trudno liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, skoro nie ma zdarzenia :) To jest rozwiązanie "niefizyczne", przykład pouczający o tym, że nie wolno bezkrytycznie ufać, że każdej matematycznej konstrukcji coś odpowiada w przyrodzie (nota bene jest to temat stale przewijający się w twórczości S. Lema). Tutaj akurat sprawa jest ewidentna, ale w przypadku np. mechaniki kwantowej, gdzie nie do końca wiadomo, co z matematyki jest fizyczne, a co nie, problem staje się nietrywialny.
Jasne.
Ja tylko żartowałem :)
Chociaż zaznaczę, że obliczenie prawdopodobieństwa wspólnych urodzin tam, gdzie nikogo nie ma, z punktu widzenia zdrowego rozsądku jest imho tylko niewiele gorsze od, dajmy na to, podnoszenia liczby do potęgi zerowej. Które podnoszenie jest, zgodnie z definicją, niczym innym jak mnożeniem liczby przez siebie samą zero (sic!) razy...