olka
A na jakiej podstawie LA wydaje się, że można?
Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka
Też uważam, że jest pomieszana - stąd wcześniejsza próba rozplątania.
Co do LA - nie wiem:)
Wydaje mi się, że wychodzi z prostego założenia, że żeby porównać liczbę elementów jednego zbioru, do liczby elementów drugiego trzeba sprawdzić w jakiej proporcji do siebie są (iloraz).
Stosuje to też do granic - ale jaki z tego wniosek: nie rozumiem.
Iloraz działa w skończonych zbiorach.
Np. w klasie jest 20 dziewczyn i 10 chłopaków. Ile razy więcej jest dziewczyn niż chłopaków? 20/10=2. Zbiór jest dwukrotnie większy.
Ale tak nie działają zbiory nieskończone 2n i n. Nieskończoność pomnożona przez dwa to nie jest dwukrotnie większa nieskończoność tylko dalej nieskończoność.
i
No to inaczej: czym jest iloraz zbiorów?
Wydaje się, nie potrafiłem wyrazić swoją myśl w formie zrozumiałej. Spróbuję na nowo.
Olka, nie chodzi mi o to, żeby porównywać
liczby elementów zbiorów, tylko
sumy samych elementów, od n
1 do nieskończoności:
1 + 2 + 3 + 4 +...+ n +...
2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2n +...
Dla porównania takich nieskończonych sum, obliczania granicy ich ilorazu istnieje aparat matematyczny:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczonyNawiasem: artykuł po polsku jest, moim zdaniem nie bardzo „informatywny”. W języku angielskim trochę lepiej, a najlepiej – po rosyjsku.
Jak widzisz, iloraz działa i w nieskończonych zbiorach, i bynajmniej nie ja wymyśliłem ten sposób na obliczenie nieoznaczoności.
Mały niuans: jeśli po prostu, formalnie wzięć proporcję n/2n, wyjdzie nam1/2. Moim zdaniem, to jest niezgodnie ze zdrowym rozsądkiem i logiką, gdyż zbiór parzystych to podzbiór N, i nie może być od niego większy. Dlatego to właśnie różne tam 2n+(2n-1).
Na marginesie: można rozwiązać nieoznaczoność i bez Szpitalnego:
lim_{1, +oo} (4n-1)/2n = lim (4-1/n)2 = 2
gdyż 1/n –> 0 przy zwiększeniu n
Moce są równe (chociaż intuicja mówi, że nie są), więc - co z sumami? Jak napisał xpil - też są równe? Bo nie ma większej i mniejszej nieskończoności w zbiorze liczb N?
Na przykładzie stosunków dwóch zbiorów o różnej mocy, np. R/N widzimy że nieskończoności mogą być różnymi, większymi lub mniejszymi. Dlatego nie widzę przeciwwskazań, żeby zbiory o równej mocy różniłyby od siebie wielkością. Wydaje się, myśl xpila jest na poziomie intuicji, czuja: "nieskończoność to zawsze nieskończoność". Ale na takim poziomie intuicja może łatwo zawieść.
@Hoko
Generalnie ta dyskusja jest zdrowo pomieszana - ciągi, funkcje, zbiory, wszystko wrzucone do jednego worka
Dodaj do tego worka jeszcze szeregi:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_(matematyka)