Coś w tym jest. Sam o tym myślałem. Można chyba sformulować to inaczej: gdyby wszystkie liczby naturalne lub wymierne ustawić niejako "obok siebie", tzn. spróbować przypisać im "sąsiednie" liczby ze zbioru niewymiernych/rzeczywistych, to cały zbiór przeliczalny byłby jednym jedynym punktem na osi liczbowej. Nie?
Właśnie przyszło mi do głowy. No dobra, wg Cantora, przedział [0; 1] jest równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych, tzn. moc przedziału jest równa mocy całego zbioru R. Tak? Tak.
Dalej, równa moc oznacza, że zachodzi bijekcja, t.j. każdej liczbie, każdemu punktowi z przedziału [0; 1] odpowiada jedna i tylko jedna liczba, punkt na osi liczbowej. I vice versa, to ważne. Zgodnie z definicją,
funkcja jest bijekcją jeśli każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden element przeciwdziedziny oraz jednocześnie każdy element przeciwdziedziny odpowiada jakiemuś argumentowi.Niby wszystko git, ale co z przedziałem [1; 2]? Przecież tam też zachodzi podobna bijekcja? Czy nie wychodzi, że jednemu elementowi zbioru R odpowiadają dwa elementy w dwóch różnych przedziałach? To już nie bijekcja, tylko jakaś trzy-jekcja
. Że nie wspomnę o kolejnych przedziałach, bo wówczas mielibyśmy do czynienia z 4-, 5-, n-jekcją, a tak wprawdzie z nieskończoność-jekcją