Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 132417 razy)

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13214
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #645 dnia: Lipca 19, 2023, 11:09:14 pm »
Zastanawiam się czy i dlaczego mianowicie ten wykres to fragment elipsy(?) - w sensie kształtu a nie że to w ogóle fragment, bo to akurat oczywiste ze względu na pierwiastek z (1-x^2). Tzn.  w sensie ewentualnego głębszego znaczenia tego faktu w odniesieniu do geometrii zagadnienia (mówiąc górnolotnie "wglądu w istotę rzeczy"), a nie w sensie że takie równanie, jako kwadratowe, daje po prostu kawałek jakiejś krzywej stożkowej. Zamierzam się tym pobawić o ile czas pozwoli ale póki co szare komórki nie chcą mi się spotkać ;) .


PS rano przy kawie przed szychtą - dodanie drugiego równania z odjętym pierwiastkiem domyka na oko całkiem ładną elipsę. Podkreślam na oko - półosie są wykreślone "na czuja" poprzez eksperymentalne dobranie wsp. kierunkowych.


« Ostatnia zmiana: Lipca 20, 2023, 09:05:00 am wysłana przez maziek »
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2333
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #646 dnia: Lipca 20, 2023, 06:22:25 pm »
Zacznijmy od początku. Mamy układ równań:
x2 + y2 = 1
S = ax + by

Pierwsze to równanie okręgu jednostkowego, który znajduje się na płaszczyźnie XY.
Drugie jest równaniem płaszczyzny w przestrzeni XYZ, która ma z płaszczyzną XY tyle wspólnego, że przecinają się wzdłuż prostej y = –ax/b. Spadek S to faktycznie współrzędna kota, z, czyli applicata:
z = ax + by
Co jest rozwiązaniem tego układu rownań z geometrycznego punktu widzenia? Oczywiście, zbiór punktów w przestrzeni, współrzędne których spełniają zarówno pierwsze, jak i drugie równanie. Mozna powiedzieć, że każdemu punktowi okręgu odpowiada punkt o określonej wartości z, znajdujący się na płaszczyźnie ax + by. Innymi słowy, to rzut okręgu na płaszczyznę, która leży na ogół pod pewnym kątem do płaszczyzny okręgu. A czym jest taki rzut? Elipsą.

To nie wszystko.
Pytanie: jaki jest, że tak powiem, sens fizyczny równania, czy też funkcji "hybrydowej", z = ax + b*sqrt(1–x2) ?
Co widzimy? Wyeliminowana została zmienna y, czyli rzędna. Zatem ostrożnie przypuszczam, że wykres tej funkcji to "rzut rzutu okręgu", tzn. rzut elipsy na płaszczyznę XZ. Taki swoisty widok na elipsę z boku. Przez co oczywiście elipsa nie przestaje być elipsą.

A że jest nie domknięta, to jest to poniekąd zrozumiałe. Skutek pierwiastkowania. Równanie
y = sqrt(1 – x2)
jest rownaniem półokręgu.
« Ostatnia zmiana: Lipca 20, 2023, 08:19:02 pm wysłana przez Lieber Augustin »

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13214
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #647 dnia: Lipca 21, 2023, 09:11:59 am »
Muszę to przetrawić. Ale zdaje się - patrząc na organizujących się opodal ludzi z widłami i pałami - nie dziś ;) ... Poza tym jestem na Ciebie zły. Całą noc śniło mi się, że się z Tobą o to spieram i z tego powodu jestem cholernie niewyspany :( . W DODATKU NIE PAMIĘTAM, KTO MIAŁ RACJĘ!
;)
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2333
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #648 dnia: Lipca 21, 2023, 10:04:11 am »
Niesmak pozostał, co? ;D ;)

Retsam

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 106
  • Niepowodzenie jest najlepszym nauczycielem
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #649 dnia: Lipca 21, 2023, 10:44:09 am »
PS rano przy kawie przed szychtą - dodanie drugiego równania z odjętym pierwiastkiem domyka na oko całkiem ładną elipsę. Podkreślam na oko - półosie są wykreślone "na czuja" poprzez eksperymentalne dobranie wsp. kierunkowych.

Machinalnie kliknąłem na jedną z dwóch nowych wiadomości i okazuje się, że @Maziek, 'na czuja', używa liczby 1.618033989 i jej odwrotności 0.618033989 i idzie 'do roboty'. Lubię takie tematy, ale jako pacholę po kilku tygodniach rozwiązywania zadań z 'Lilavati', natura doprowadziła mnie do silnych zawrotów głowy i zrozumiałem ten sygnał.  :D
'The mind that opens to a new idea never returns to its original size': Albert Einstein

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13214
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #650 dnia: Lipca 21, 2023, 11:16:32 am »
@LA - właśnie ;) .

@Retsam - węszę, ze wiesz więcej niż piszesz...
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2333
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #651 dnia: Lipca 21, 2023, 01:50:31 pm »
liczby 1.618033989
Liczba 1.618033989 to złoty podział, (1+sqrt(5))/2. Pierwiastek równania x2=x+1.
Hm. Nie bardzo rozumiem, jak jej "wyciągnąć" z równania y=x+sqrt(1–x2)
 :-\

Retsam

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 106
  • Niepowodzenie jest najlepszym nauczycielem
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #652 dnia: Lipca 21, 2023, 05:21:26 pm »
@LA + @maziek.

Temat jest na tyle interesujący (liczba Phi w kontekście elipsy), że warto może poszukać pomocy na stronach https://www.obliczeniowo.com.pl/298. To strona na temat hypocykloidy, to tylko ostatnia, którą sprawdzałem. Moja książka o złotym podziale i liczbie Pi powinna stać obok książki "e: the Story of the number", a ponieważ nie stoi, to trzeba wyruszyć na łowy i odzyskać 'wgląd w istotę rzeczy'.
'The mind that opens to a new idea never returns to its original size': Albert Einstein

Retsam

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 106
  • Niepowodzenie jest najlepszym nauczycielem
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #653 dnia: Lipca 21, 2023, 10:24:49 pm »
Trochę przesadziłem z tym 'wglądem'. Wystarczyło, abym spojrzał na wcześniejszą stronę dyskusji, aby zdać sobie sprawę, że temat jest rozważany w kontekście proporcji 2 : 1 półosi elipsy. Można ją zatem wpisać w prostokąt o bokach 2, 1. Przekątna tego prostokątu to SQRT(5), czyli ~2.236. A więc jesteśmy o krok od PHI (~1.618), bo geometrycznie można to zrobić 'odcinając' 1 od przekątnej (~1.236) i ewentualnie wykonując bi-sekcję tej części (~0.618). Te czynności są wykonywane bez żadnych dodatkowych obliczeń.

Wtedy dłuższy bok (2) podzielony przez 1.236 daje PHI a 1.236 podzielone przez dłuższy bok daje 1/PHI. Czyli sama relacja 2:1 półosi elipsy i zabawa z prostokątem doprowadza do wyniku, który wydaje się 'nadzwyczajny'...

Mam opanować błędy poznawcze i nadal jest sporo pracy. Zaliczam to do błędu 'skrótu myślowego' i niestety robię to, moim zdaniem, zbyt często...
'The mind that opens to a new idea never returns to its original size': Albert Einstein

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2333
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #654 dnia: Lipca 21, 2023, 11:55:09 pm »
Trochę przesadziłem z tym 'wglądem'. Wystarczyło, abym spojrzał na wcześniejszą stronę dyskusji, aby zdać sobie sprawę, że temat jest rozważany w kontekście proporcji 2 : 1 półosi elipsy. Można ją zatem wpisać w prostokąt o bokach 2, 1. Przekątna tego prostokątu to SQRT(5), czyli ~2.236. A więc jesteśmy o krok od PHI (~1.618), bo geometrycznie można to zrobić 'odcinając' 1 od przekątnej (~1.236) i ewentualnie wykonując bi-sekcję tej części (~0.618).
Rozumowanie ciekawe, acz nie widzę w nim "sensu fizycznego". Wygląda mi raczej na zabawę z liczbami i próbę "podciągnąć" wynik pod z góry znaną wartość. Tym bardziej, że tu akurat nie chodzi o proporcję 2:1. Sądząc z wyrazu x+sqrt(1-x2), maziek tym razem ograniczył się do prostszego przypadku 1:1.

Te czynności są wykonywane bez żadnych dodatkowych obliczeń.
Spróbuję jednak po staremu, z obliczeniami. Wychodząc z tego, że styczna jest prostopadła do wielkiej osi elipsy, a tangens kąta jej nachylenia odpowiada wartości pochodnej powyższej funkcji w punkcie styku.
Coś w ten deseń:



« Ostatnia zmiana: Lipca 22, 2023, 08:50:04 am wysłana przez Lieber Augustin »

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13214
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #655 dnia: Lipca 22, 2023, 12:12:12 pm »
Wg mnie to nie jest jasne, czy to elipsa, choć tak wygląda. Problem z tym wątkiem polega na tym, że co sobie człowiek chce coś mądrego napisać to się okazuje, że już ktoś mądrzejszy tu napisał. W nocy miałem znów dyskusję, z tym że teraz było już Was dwóch na mnie biednego, jednego. Muszę powiedzieć, że ja te współczynniki ze złotego podziału naprawdę dobrałem na oko, nie mając pojęcia, że to numeryczna proporcja złotego podziału. Złoty podział, o ile go dokonuję, to na oko, bo w końcu taki jest pierwotny sens złotego podziału, że jest najbardziej harmonijny dla oka, a nie dla cyferek. Ewentualnie, zapytany jak to mniej więcej wyliczyć powiem, że tak jak 3:5 a jak chce ktoś być dokładniejszy to 5:8, a jak już zamierza budować damski zegarek na rękę to 8:13. Jak jest ktoś  bardzo mocno uparty to powiem, że jest to ciąg stosunków takich, że suma dwóch poprzednich wyrazów daje kolejny wyraz, z którym należy porównać drugi z sumowanych uprzednio wyrazów (3:5:8:13:21:34:55:89). W zasadzie jeśli chodzi o estetykę to już 3:5 jest doskonale akceptowalne a 8:13 idealne. I na tym wiedza niezapomniana u mnie na ten temat się kończy ;) . A już żebym pamiętał ten wzór z pierwiastkiem z 5 to dałbym się na torturach zarżnąć, żem go nigdy nie widział!

Co do zaś współczynnika kierunkowego prostej zawierającej oś wielką domniemanej elipsy, to przechodzi ona przez maksimum sumy kwadratów współrzędnych x,y punktu leżącego na niej, czyli spośród wszystkich punktów ma maksymalną długość od tegoż punktu do środka elipsy.

Ponieważ nasza "elipsa" ma wzór y=x+sqrt(1-x^2) to wzór na długość l jest l^2=x^2 + (x+sqrt(1-x^2))^2. Znowuż z lenistwa (podziwiam Cię LA :) ) korzystając z desmosa i WolphramAlpha maximum to wypada faktycznie tak faktycznie tak:



Hmm.

Retsam - "moja książka o złotym podziale" - "moja" poprzez manie, czy napisanie? Pytam z ostrożności, aby nie wyjść na większego idiotę, niż jestem...

BTW faktycznie pominąłem onegdaj 2 przed pierwiastkiem niejasno przypuszczając, że dla samych kształtów (jest li to elipsa, czy nie) znaczenia mieć nie będzie.
« Ostatnia zmiana: Lipca 22, 2023, 01:54:18 pm wysłana przez maziek »
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Retsam

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 106
  • Niepowodzenie jest najlepszym nauczycielem
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #656 dnia: Lipca 22, 2023, 07:40:33 pm »
Retsam - "moja książka o złotym podziale" - "moja" poprzez manie, czy napisanie? Pytam z ostrożności, aby nie wyjść na większego idiotę, niż jestem...

Brawo za wytrwałość, @maziek! Książka 'moja', tylko dlatego, że stoi w mojej bibliotece. Bez obawy, po wczesnych zawrotach głowy oszczędzam siły.  :D
Jednak z powodów pewnych nawyków obserwacyjnych, (to może być obsesja, która nie podlega ściganiu z urzędu i przeszukiwaniu /.../), dostrzegam często relacje typu PHI, 1/PHI, 1-SQRT(PHI), e, 1/e, 1-1/e, itp. w realu i wirtualu.

Oczywiście dosyć pobieżnie śledziłem Waszą dyskusję, ale te 'dziwne' relacje zwróciły moją uwagę. Ostatnia odpowiedź @LA to poprawne rozwiązanie układu równań przez podstawianie, którego rozwiązaniem jest PHI (przekątna) i mówiąca o proporcji dłuższego boku prostokąta do krótszego boku. Pomoc 'pana WolframaAlpha' po Twojej refleksji @maziek, wszystko wyjaśnia. Elipsa trochę zaciemniała mi obraz, ale dla mnie to super wgląd, który się zaczął od węzy strażackich. Do tego ten sposób obliczania PHI jest jednak łatwiejszy i szybszy od używania ciągu Fibonacciego.  8)

P.S. Pan Wolfram pokazał, jak można sprząc WolframAlfa z ChatGPT i otrzymać sensowne odpowiedzi odnoście trochę bardziej złożonych obliczeń, niż powierzchnia koła przy danym promieniu, itd. To będzie interesujący trop.
'The mind that opens to a new idea never returns to its original size': Albert Einstein

Q

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 15674
  • Jego Induktywność
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #657 dnia: Sierpnia 11, 2023, 12:10:56 pm »
Taka figura; nieskomplikowana, a (w trójwymiarowej przestrzeni) niemożliwa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings
"Wśród wydarzeń wszechświata nie ma ważnych i nieważnych, tylko my różnie je postrzegamy. Podział na ważne i nieważne odbywa się w naszych umysłach" - Marek Baraniecki

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2333
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #658 dnia: Sierpnia 11, 2023, 07:32:28 pm »
Taka figura; nieskomplikowana, a (w trójwymiarowej przestrzeni) niemożliwa:
https://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings
Etam, zaraz "niemożliwa" ;)
However, the Borromean rings can be realized using ellipses. These may be taken to be of arbitrarily small eccentricity...

Na mój chłopski rozumek, elipsa o mimośrodzie dążącym do zera z matematycznego punktu widzenia jest okręgiem. Na tej samej zasadzie, co 0,(9)=1

Q

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 15674
  • Jego Induktywność
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #659 dnia: Sierpnia 11, 2023, 11:13:36 pm »
Ha, nie dość, że wracamy do debaty o wymiarach nieskończoności, to jeszcze taka stara dyskusja znów się przypomina:
https://muzeum.startrek.pl/forum/index.php?action=vthread&forum=6&topic=705
"Wśród wydarzeń wszechświata nie ma ważnych i nieważnych, tylko my różnie je postrzegamy. Podział na ważne i nieważne odbywa się w naszych umysłach" - Marek Baraniecki