Nieskończoność i jej różne wymiary

[Lieber Augustin]

O hierarchii nieskończoności:
https://www.youtube.com/watch?v=i7c2qz7sO0I

Ciekawy filmik.
Drobne zastrzeżenie: teza, że parzystych jest tyle samo co naturalnych, bo zachodzi bijekcja, opiera się na logice i zdrowym rozsądku. Które nie zawsze są pomocne, ba, czasem wręcz szwankują, zwłaszcza gdy chodzi o nieskończoności. Przykładem czego może służyć choćby zasadnicza (!) niemożność udowodnienia bądź obalenia hipotezy continuum w ramach matematyki. Pomyśleć tylko, matematyki, która podobno jest apoteozą i kwintesencją wszelkiej logiczności i zdroworozsądkowości...

W świetle powyższego: a dlaczego właściwie teza, że parzystych jest dwa razy mniej, jest "gorsza"? Wszak również oparta jest na logice. Mniej więcej w taki deseń:
W przedziale, dajmy na to, [0; 10[ jest dokładnie 10 liczb naturalnych i 5 parzystych; stosunek N/Np wynosi 2:



To samo dotyczy przedziału [0; 100[, [0; 1000000[, itd. Generalnie, dla dowolnego n zachodzi równość:



Bardziej ogólnie, w granicy, gdy n dąży do nieskończoności:

,



Czyli:



QED

[maziek]

teza, że parzystych jest tyle samo co naturalnych, bo zachodzi bijekcja, opiera się na logice i zdrowym rozsądku.

No jak na logice, to wcale nie na zdrowym rozsądku . Skoro oba te ciągi są nieskończone to wychodzi, że na 1 liczbę N przypada jedna P, jak długo byś nie liczył dodając jedną, kolejną z N i P? To chyba ta magia, już gdzieś omówiona zdaje mi się, że dla dowolnego skończonego parzystego n od dowolnego n nieparzystego liczba kolejnych liczb N jest ściśle 2x większa od liczby kolejnych liczb P, zaś w nieskończoności wcale nie...

[Lieber Augustin]

Taa... masz rację, ze zdrowym rozsądkiem raczej nie do końca w porządku... Nie wykluczono nawet, ze z perspektywy rzeczonego zdrowego rozsądku zachodzi tu klasyczny związek prostytucji z muzyką: coś tu k*wa nie gra

A więc okej, niech będzie tylko i wyłącznie logika, sama jak palec. Trzeba przyznać, że Twoje rozumowanie

...na 1 liczbę N przypada jedna P, jak długo byś nie liczył...

jest logiczne, a nawet bardzo logiczne. Mucha nie siada. Z drugiej strony, a w którym to miejscu ja zgrzeszyłem przeciwko logice, rozważając przedział, górna granica którego dąży do nieskończoności?..

[maziek]

Ha! Pewno w ostatniej linijce zgrzeszyłeś, skoro z innych linijek wręcz tryska woda święcona. Wszak dzielisz tam ∞/∞.

[Lieber Augustin]

Ha! Pewno w ostatniej linijce zgrzeszyłeś, skoro z innych linijek wręcz tryska woda święcona. Wszak dzielisz tam ∞/∞.

I co? ∞/∞ to symbol nieoznaczony, jeden z 7, i jako taki może przybierać w granicy określoną wartość.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony

[maziek]

Może, suma ciągu przez sumę itd. - ale czy przybiera w tym wypadku? Algebraicznie chyba nie skrócisz i "delopitala" nie zastosujesz IMO. Niby można napisać prosto, że dla parzystego n liczb N począwszy od 1 przypada 1/2 n liczb parzystych, sęk w tym, że jeśli rozpatrujesz bijekcję to fałszywe jest założenie, że przedział dla N jest taki sam jak dla P, bo ten drugi jest 2x większy. Jeśli rozpatrujesz  dajmy na to N od 1 do 10 to przedział dla P będzie od 2 do 20. A że oba przedziały nigdy się nie kończą...

[Lieber Augustin]

Algebraicznie chyba nie skrócisz i "delopitala" nie zastosujesz IMO.

Dlaczego nie skrócisz? Moim zdaniem, jak najbardziej. Na dowolnym przedziale parzystych jest tyle samo co nieparzystych:
Np=Nn ,
przy czym
N=Np+Nn=2Np .
Zatem, podstawiając 2Np zamiast N, mamy: