...
Spróbujmy spojrzeć na kwestię istnienia platońskiego świata nieco inaczej. Słowa [ch8222]istnienie" używam tutaj w znaczeniu obiektywności prawdy matematycznej. Istnienie w sensie Platona, tak jak ja to widzę, oznacza istnienie pewnego standardu zewnętrznego, które nie jest uzależnione ani od naszych indywidualnych opinii, ani od szczególnej kultury, w której żyjemy. [ch8222]Istnienie" w tym sensie może odnosić się również do sfer innych niż matematyka, na przykład do moralności czy estetyki (zob. rozdz. 1.5), ale ograniczę się tylko do rzeczywistości matematycznej, gdyż tutaj sprawy przedstawiają się najbardziej klarownie.
Pozwolę sobie zilustrować to zagadnienie przez rozważenie pewnego znanego przykładu prawdy matematycznej i pokazać jej związek z kwestią [ch8222]obiektywnego istnienia". W 1637 roku Pierre de Fermat dokonał wielkiego odkrycia znanego pod nazwą [ch8222]wielkie twierdzenie Fermata" (twierdzenie to głosi, że dodatnia n-ta. potęga3 dowolnej liczby całkowitej nie może być sumą dwóch innych dodatnich n-tych potęg liczb całkowitych, gdy n jest liczbą większą od 2) i zapisał je na marginesie ksiązidArithmetica autorstwa Diofantosa, matematyka greckiego z III w. Na tym samym marginesie Fermat dopisał: [ch8222]Odkryłem doprawdy cudowny dowód tego twierdzenia, ale na tym marginesie jest za mało miejsca, żeby go przedstawić". Pomimo ogromnych wysiłków wielu wybitnych matematyków twierdzenie to pozostawało nieudowodnione przez ponad 350 lat. Dopiero w 1995 roku Andrew Willes opublikował ten dowód (opierając się na wcześniejszych pracach różnych matematyków), zaakceptowany przez społeczność matematyków.
Można teraz postawić pytanie: czy należy przyjąć takie stanowisko, że twierdzenie Fermata było prawdziwe zawsze, na długo zanim Fermat je odkrył, czy też kwestia jego prawdziwości jest sprawą czysto kulturową, zależną od subiektywnego standardu zawodowego społeczności matematyków? Załóżmy, że prawdziwość twierdzenia Fermata jest sprawą subiektywną. W takim razie nie będzie rzeczą absurdalną wyobrazić sobie, że oto pojawił się matematyk X i podał kontr-przykład do tego twierdzenia. Gdyby uczynił to przed rokiem 19954, to społecz-ność matematyków musiałaby przyjąć poprawność kontrprzykładu podanego przez X'a. Od tej pory, jakiekolwiek byłyby próby Wilesa udowodnienia twierdzenia Fermata, wszystkie byłyby daremne z tego powodu, że argument X'a pojawił się pierwszy i, w wyniku tego, twierdzenie Fermata byłoby fałszywe! Co więcej, mielibyśmy prawo postawić następne pytanie: czy, mając na uwadze poprawność przyszłego kontrprzykładu X'a, sam Fermat nie byt w błędzie, gdy wierzył w poprawność swego [ch8222]doprawdy cudownego dowodu", kiedy robił te zapiski na marginesie? Przyjmując punkt widzenia subiektywności prawdy matematycznej, można by uważać, że Fermat byt w posiadaniu ważnego dowodu (dowodu, który mógłby być zaakceptowany jako taki przez autorytety jego czasu, gdyby Fermat go ujawnił), i że tylko fakt, iż Fermat ten dowód ukrył, pozwolił, by X później znalazł kontrprzyktad! Myślę, że nie znajdzie się taki matematyk, bez względu na to, jaki jest jego stosunek do idei platońskich, który by nie uważał takiej możliwości za kompletną bzdurę.
Oczywiście, jest rzeczą w pełni możliwą, że dowód podany przez Wilesa zawiera jakiś błąd, i że twierdzenie Fermata jest fałszywe. Może być też tak, że jest jakiś podstawowy błąd w rozumowaniu Wilesa, a pomimo tego twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Albo tak, że dowód Wilesa jest poprawny w istotnych częściach, ale zawiera jakieś [ch8222]mniej ścisłe kroki", które mogą być nie do przyjęcia według jakichś przyszłych standardów matematycznej poprawności. Jednakże nie o to mi chodzi. Zagadnieniem, które rozważamy, jest kwestia obiektywnej prawdziwości twierdzenia Fermata, a nie to, czy jakaś konkretna demonstracja jego prawdziwości czy też fałszywości została uznana za przekonującą przez społeczność matematyków danego czasu.
c.d.n. ...
