Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 215882 razy)

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2546
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1050 dnia: Czerwca 28, 2024, 08:33:25 pm »
Istotnie, na pierwszy rzut oka wydaje się, że w nieskończonej potędzie jedynki nie ma nic nieoznaczonego. Aby zrozumieć, dlaczego jednak jest, wystarczy troszeczkę przekształcić wyrażenie:

1^inf = lim(1^n) = lim(n*(1^(n-1)) = lim(n)*lim(1^(n-1))
(Oczywiście pod każdym znakiem limesa ma być "gdy n dąży do nieskończoności").

Jak widzimy, w charakterze jednego z czynników, mianowicie lim(n), występuje nieskończoność. A skoro tak, o "oznaczoności" całego wyrażenia chyba nie ma mowy.

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13538
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1051 dnia: Czerwca 29, 2024, 07:28:17 am »
Ja tego nie czuję. 2*2*2... można zapisać (2*1)*(2*1)*(2*1)... co można zapisać 2^inf*1^inf. No OK, 2^inf to inf i tak nieoznaczoność. Hm... Ale robi się także tą metodą z np. nieskończonego ciągu zbieżnego z sumą wyrazów będącą liczbą skończoną, jeśli każdy jego wyraz pomnożyć przez 1. Musi być tego powód, ale nie jest taki oczywisty.


PS ładny zapis "inf" zapodałeś, bardzo ułatwia pisanie testem bez symbolu "poziomej ósemki".


PS2 po pierwszej kawie (myślowej, bo mi się skończyła, cholercia, ale to rozdrażnienie podziałało jak kawa ;) ) - a dlaczego 1^n jest równe n*(1^(n-1))?
« Ostatnia zmiana: Czerwca 29, 2024, 08:13:36 am wysłana przez maziek »
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2546
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1052 dnia: Czerwca 29, 2024, 09:11:33 am »
No dobra, a czy inny symbol nieoznaczony, taki 0*inf, jest bardziej "intuicyjny"? Wszak cokolwiek, będąc pomnożone przez zero, daje zero? I gdzie tu nieoznaczoność?
Tradycyjne wyjaśnienie jest takie, że tak naprawdę chodzi nie o "czyste" zero, tylko o wielkość różniącą się od zera o nieskończenie małą.
Podejrzewam, że również symbol nieoznaczony 1^inf oznacza tylko tyle, iż podstawa dąży w granicy do jedynki, a wykładnik do nieskończoności.

inf: lenistwo matką wynalazków :D


Cytuj
PS2 po pierwszej kawie (myślowej, bo mi się skończyła, cholercia, ale to rozdrażnienie podziałało jak kawa ;) ) - a dlaczego 1^n jest równe n*(1^(n-1))?
Oops! ;D

https://m.youtube.com/watch?v=FfBQ3bNNwHs

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13538
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1053 dnia: Czerwca 29, 2024, 10:43:12 am »
No jeśli chodzi o liczenie granic to zgoda, teraz widzę, że to im musi się w tym wypadku zgadzać - kiedy mamy f(x)->1 i g(x)->inf, to jest to lim f(x)^((g(x)) i OK. Ale dlaczego liczba 1 podniesiona do inf miałaby być nieoznaczona? 1 jest tu ściśle 1. Oczywista komputer estymujący to metodą przybliżeń robiłby to wieczność, ale dlaczego bez przybliżeń tylko ściśle jest to też nieoznaczone?


Spośród tych "nieoznaczoności" rzeczywiście wątpliwości na pierwszy rzut oka budzą 1^inf i 0^inf (w rachunku, nie granicach), reszta faktycznie pachnie tajemnicą
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2546
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1054 dnia: Czerwca 29, 2024, 12:22:05 pm »
A 0*inf nie budzi wątpliwości? Jak 0 to 0, a nie jakieś tam quasi-zero, to na zdrowy rozum żadnej nieoznaczoności nie ma:
0*1+0*2+0*3+..., i tak ad infinitum, = 0
Nie?

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13538
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1055 dnia: Czerwca 29, 2024, 03:14:04 pm »
Budzą wątpliwości w sensie odwrotnym: że tak zapisane liczby NIE SĄ nieoznaczonościami. Pozostałe 5 z 7 wymienionych na tej stronie nie budzi wątpliwości co do tego, że nie da im się przypisać konkretnej liczby.
A 0*inf nie budzi wątpliwości?
No właśnie jak wyżej, nie budzi wątpliwości, że jest to nieoznaczone, bo nie wiadomo na co się zdecydować, czy na to że 0 razy cokolwiek to 0, czy na to, że inf razy cokolwiek to inf.


U mnie upał. Dopiero załapałem, że wymyśliłem sztuczny problem pytając, czy 3^inf>2^inf. Porypała mi się równoliczność z wynikiem działania. Przeczytałem wczoraj co napisałeś, ale się widać nie przebiło ;)
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2546
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1056 dnia: Czerwca 30, 2024, 08:16:01 am »
A 0*inf nie budzi wątpliwości?
No właśnie jak wyżej, nie budzi wątpliwości, że jest to nieoznaczone, bo nie wiadomo na co się zdecydować, czy na to że 0 razy cokolwiek to 0, czy na to, że inf razy cokolwiek to inf.
No nie wiem. Ja bym się zawahał nazywać zero "czymkolwiek". Powiedziałbym, że zero z definicji jest raczej brakiem czegokolwiek, jego przeciwieństwem. Nic, nicość, pustka.
Ponadto takie same - lub bardzo podobne -rozumowanie można zastosować i do 1^inf: nie wiadomo na co się zdecydować, czy jedynka pomnożona przez siebie nieskończoność razy to jedynka, czy też nieskończoność.

Cytuj
Dopiero załapałem, że wymyśliłem sztuczny problem pytając, czy 3^inf>2^inf. Porypała mi się równoliczność z wynikiem działania.
Nie powiedziałbym, że problem aż taki sztuczny. Wręcz przeciwnie, dość ciekawy.
Jeżeli rozumować po cantorowsku, to chyba 3^inf=2^inf. Wszak to nieskończoności, o tym samym alefie, a co za tym idzie, są równe sobie nawzajem.
Stosując bardziej konwencjonalne podejście, z granicami i limesami, można dojść do wniosku, że jednak nie. To trochę jak w naszej starej dyskusji o liczbach naturalnych i parzystych: których jest "więcej" :)

Swoją drogą, jeszcze taki ciekawy moment: online-kalkulator jest zdania, że lim(2/3)^n=0, gdy n dąży do inf. Tymczasem intuicja podpowiada, że ma być 2/3. Hm... :-\

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 13538
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1057 dnia: Czerwca 30, 2024, 09:03:56 am »
No nie wiem. Ja bym się zawahał nazywać zero "czymkolwiek".
Nawiązuję tu do wzmiankowanego przybliżania. Jeśli weźmiesz ściśle zero i będziesz mnożył przez olbrzymie, coraz większe liczby, to zawsze dostaniesz zero, z czego można wnosić, ze 0*inf=0. Jeśli weźmiesz inf i będziesz mnożył przez coraz mniejsze liczby to zawsze dostaniesz inf, z czego można wnosić przeciwnie niż poprzednio, że 0*inf=inf. Tak czy siak wygląda na to, że w tym tandemie to inf jest zatrutym owocem, który skazi wszystko.

Cytuj
Jeżeli rozumować po cantorowsku, to chyba 3^inf=2^inf.
No nie wiem. Równoliczne tak, ale skoro można stworzyć bijekcję 2^n<->3^n to w każdej parze 2^n<3^n. Czy więc można napisać że 2^n=3^n gdy n->inf?

Cytuj
Swoją drogą, jeszcze taki ciekawy moment: online-kalkulator jest zdania, że lim(2/3)^n=0, gdy n dąży do inf. Tymczasem intuicja podpowiada, że ma być 2/3. Hm... :-\
Dlaczego Ci intuicja tak podpowiada? Na oko widać, że mianownik będzie rósł dużo szybciej, ułamek już dla n=20 jest grubo mniejszy od 1/1000.
Człowiek całe życie próbuje nie wychodzić na większego idiotę niż nim faktycznie jest - i przeważnie to mu się nie udaje (moje, z życia).

Lieber Augustin

  • God Member
  • ******
  • Wiadomości: 2546
    • Zobacz profil
Odp: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1058 dnia: Czerwca 30, 2024, 03:56:27 pm »
No nie wiem. Równoliczne tak, ale skoro można stworzyć bijekcję 2^n<->3^n to w każdej parze 2^n<3^n. Czy więc można napisać że 2^n=3^n gdy n->inf?
A diabli wiedzą. Granica 2^n gdy n–>inf to nieskończoność? Nieskończoność. A 3^n? Tak samo. "Moc" zarówno pierwszej jak i drugiej nieskończoności, rozumiana jako moc zbioru liczb n (naturalnych bądź rzeczywistych) w zbiorze wartości/przeciwdziedzinie obu funkcji, czyli w przedziale [0, inf[, jest ta sama: alef zero albo continuum odpowiednio. A więc, o ile rozumiem, według Cantora te nieskończoności są równe... ???

Cytuj
Dlaczego Ci intuicja tak podpowiada? Na oko widać, że mianownik będzie rósł dużo szybciej, ułamek już dla n=20 jest grubo mniejszy od 1/1000.
Racja. Zastanowiłem się nad tym co palnąłem, dopiero gdy już napisałem głupotę. Lecz nie chciało mi się edytować wpisu :)