Wg mnie czas ma tu oczywiście znaczenie, ale nie pierwszorzędne. Coś innego wyznacza rytm pojawiania się i znikania "ha" 
No mam świadomość, że sprawa jest niejednoznaczna, a baza dokumentalna zbyt skromna dla wyciągania jednoznacznych wniosków. Jednak składając ostatnie skany z odpisami cyfrowymi dokumentów z lwowskich archiwów które częściowo zamieściłem w początkach tego wątku (choć to nie oryginały, zakładam dokładny literowy zapis) widać co następuje;
1. Berl i druga żona Rachel piszą się Lem
2. Wszystkie dzieci protoplasty Berla zapisane są jako Lem.
3. Mojżesz - ich syn rodzi się jako Lem.
4. Wszystkie swoje dzieci Mojżesz zapisuje jako Lem (lata 42-52) tj. Hermana, Binema, Izraela-Szymona, Lejzora, Abrahama. Czasem pojawia się forma Lemm, ale nigdy Lehm.
5. Ślub z Chaną - 1865 - zawiera Mojżesz Lem.
6. I po ślubie zachodzi zmiana - w księdze adresowej, jako właściciel kamienicy pojawia się Mojżesz Lehm. To rok 1871.7. W 1895 zaś, umiera "Lehm zwany (recte) Lem.
Rasumując - śledząc Mojżesza mamy widełki 65-71.
Zatem coś zmienia się w tych 6 latach miedzy ślubem a uwiecznieniem w księdze jako właściciel kamienicy. Stąd wniosek mi się nasunął - może człowiek się ożenił (tym samym zalegalizował wszystkie dzieci), wzbogacił, został właścicielem realności ... to może przyklepał ten zwrot zmianą pisowni nazwiska?
Zapewne sam się nie zapisywał w księdze zgonów - więc zrobił to ktoś z rodziny. I uwiecznił tę podwójność.
Że już Lehm, ale jeszcze pamiętany jako Lem.
Czy dzieci przejęły tę formę? Tu dopiero wkrada się zamieszanie o którym piszesz, inny czynnik. Mam wrażenie - każdy decydował sam. Większość z czasem przeszła na Lehm, jak to widać w księgach adresowych, ale jest też tam Simon Lem (w roku 1900). Jeśli to syn Mojżesza - to by znaczyło, że został przy starej wersji.
Najstarszy Herman najwyraźniej stosował zapis zamiennie.
Jednak przy jego osobie też widać prawidłowość czasową. Jest Lemem w roku 1863, bo tak zapisany jest przy urodzinach Chaje, ale 3 lata później kolejne dziecko Elke ma ojca Hermana Lehma.
Rok 1866 jest pierwszym, w którym źródłowo łapiemy "h"?
Jutro sprawdzę dokładniej .Zatem prawdopodobne, że ta forma pojawia się po 1863 a przed 1866. U syna Hermana, a zaraz potem jego ojca Mojżesza.
Możliwe, by dorosły już wprawdzie syn Mojżesza zmienił nazwisko jako pierwszy?
A może była to decyzja wspólna, lub chociaż jakoś powiązana z ojcem?
Stapiając ich eksperymentalnie w jedno
i nakładając widełki możliwej zmiany Hermana (1863-66) , na widełkowe kalendarium ojca Mojżesza (1865-71) - rozjazd się zawęża do lat
1865 (
ślub Mojżesza Lema) -
1866 (
rejestracja Elke przez Hermana Lehma). Cóż, wygląda, że okoliczność "poprawienia" nazwiska wiąże się jakoś z tym ślubem starzejącego się ojca i wejściem w dorosłość najstarszego syna który ma już drugie dziecko?
Niestety nie "widzę" jak zapisano Józefa rok młodszego od Chaje - czy jak ona Lem, czy może już z "h" ? Wtedy bym conieco 'zgłupiał" 
Wracając do pokolenia Hermana... w ksiegach adresowych, ew. poza Szymonem - pozostali występują jako Lehm. Być może dlatego, że to informacja na zewnątrz? - nie znalazłem wewnętrznych dokumentów np. Abrahama/Adolfa czy Lejzora.
Ale kto wie?
W sumie to wyważam otwarte drzwi, bo o tym już wszak informuje dokument z 1904 na który powołują się książkowi biografowie - że forma nazwiska Lem jest tym prawidłowym, bo pierwotnym.
