Nieskończoność i jej różne wymiary

[Stanisław Remuszko]

@ maziek
1. Nie idzie: "na przykład". To marny chwyt erystyczny, skoro taki zbiór z zerami jest tylko jeden i jego istnienie w niczym nie zmienia nieskończonej liczby nieskończonych zbiorów BEZ możliwości określenia sumy ich liczb-elementów.
2. Odpowiedziałem Ci uprzejmie w poście #451:

która temu zdaniu orzekającemu nadaje sens wyłącznie uczuciowy (tzw. czuj).

R.

pjes (15:56):
@ LA
Pana uwaga z postu #457 powinna być skierowana nie do mnie, lecz do maźka.
@ Ol
Może rozważyłabyś to przeniesienie od wskazanego miejsca i utworzenie nowego wątku pod tytułem "Nieskończoność...", skoro maziek się wykręca?   

[Lieber Augustin]

chyba straciłem wątek

gdzieście wyliczyli ten stosunek 2 (albo 1/2) dla nieskończoności, he?

bo wzór na sumę elementów ciągu dotyczy konkretnej liczby wyrazów - n to liczba wyrazów. A nieskończoność nie jest liczbą.

Zapewne trzeba mi było uporządkować oznaczenia we wzorach. Powtórzę na nowo, od początku.

A więc, zdefinujmy ciąg arytmetyczny liczb naturalnych N:  1, 2, 3, 4, ..., n, n+1, ...
n - to nie liczba wyrazów lecz poszczególne wyrazy, liczby 1, 2, 3, 4, ...

Suma wyrazów ciągu Σn_i przy i=[1, +oo)
i - to jak raz liczba wyrazów ciągu

Czysto formalnie zakładam, że N=Nparz U Nnieparz, przy czym
Nparz=2N, czyli 2, 4, 6, 8, ... 2n, ...
Nniep=2N-1, czyli 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ...

Dalej, lim ΣN/ΣNparz=lim Σ(2n_i+(2n_i-1))/Σ2n_i  przy i=[1, +oo)

Jeśli poprawnie rozwiązać ten limes, przy pomocy pana Szpitalnego, jak raz wyjdzie 2.

[olkapolka]

Nparz=2N, czyli 2, 4, 6, 8, ... 2n, ...
Nniep=2N-1, czyli 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ...

2n+1?

[Lieber Augustin]

olka, piszę 2n-1 właśnie po to, żeby uniknąć braku 1 w ciągu nieparzystych. Zresztą to wszystko jedno - pochodna ze stałej dorówna zeru.

[olkapolka]

olka, piszę 2n-1 właśnie dlatego, żeby uniknąć braku 1 w ciągu nieparzystych. Zresztą to wszystko jedno - pochodna od stałej dorówna się zeru.

Wszystko zależy...od zera. Jeśli go nie liczysz: ok. Jeśli 0 jest - mamy -1.
Może to nie ma znaczenia. Czy zero odpowiada 1, czy 1 - 1. W tej równoważności.

[Lieber Augustin]

olka, zakładam, że nie ma zera. n₁=1

[Hoko]

chyba straciłem wątek

gdzieście wyliczyli ten stosunek 2 (albo 1/2) dla nieskończoności, he?

bo wzór na sumę elementów ciągu dotyczy konkretnej liczby wyrazów - n to liczba wyrazów. A nieskończoność nie jest liczbą.

Zapewne trzeba mi było uporządkować oznaczenia we wzorach. Powtórzę na nowo, od początku.

A więc, zdefinujmy ciąg arytmetyczny liczb naturalnych N:  1, 2, 3, 4, ..., n, n+1, ...
n - to nie liczba wyrazów lecz poszczególne wyrazy, liczby 1, 2, 3, 4, ...

Suma wyrazów ciągu Σn_i przy i=[1, +oo)
i - to jak raz liczba wyrazów ciągu

Czysto formalnie zakładam, że N=Nparz U Nnieparz, przy czym
Nparz=2N, czyli 2, 4, 6, 8, ... 2n, ...
Nniep=2N-1, czyli 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ...

Dalej, lim ΣN/ΣNparz=lim Σ(2n_i+(2n_i-1))/Σ2n_i  przy i=[1, +oo)

Jeśli poprawnie rozwiązać ten limes, przy pomocy pana Szpitalnego, jak raz wyjdzie 2.

to poproszę to poprawne rozwiązanie

[Hoko]

a nie, sorki, to już chyba było. to jest granica nowego i odrębnego ciągu i nic z tego nie wynika dla ilorazu granic.

[maziek]

@Remuszko  - w matematyce nie ma mowy o erystyce. Wyjątki na ogół rujnują twierdzenia. Jeśli nieskończony ciąg z samych zer jest wyjątkowy i masz rację, że nie można sumować wyrazów ciągów nieskończonych niezbieżnych to w takim razie suma nieskończonego ciągu z samych zer też nie jest równa zero, bo nie można w takowych ciągach sumować wyrazów.

Hoko, a co sądzisz o tym: http://forum.lem.pl/index.php?topic=1629.msg73194#msg73194 . Bez delOpitala tylko po prostu z sumy ciągu? Kwestia, czy to można delOpitala czy nie jest mimo wszystko uboczna. Mamy po prostu dwa nieskończone ciągi arytmetyczne o pierwszym wyrazie 0 i różnicy odpowiednio 1 lub 2. Jeśli poszukiwana wartość jest constans jak w tym wypadku (dla każdego n suma n wyrazów jednego ciągu podzielona przez sumę drugiego daje 1/2) - to w zasadzie nie ma sensu badanie zbieżności, bo się nic nie zbiega.

[Hoko]

maziek

toć mówiłem już: sumę liczy się dla ciągów skończonych (które mogą być fragmentami ciągów nieskończonych) - jest to właśnie suma n-wyrazów, konkretna liczba wyrazów. nie można tu wsadzić nieskończoności.

[Lieber Augustin]

Hoko pisał:

to poproszę to poprawne rozwiązanie

Ależ proszę bardzo, Hoko.

a nie, sorki, to już chyba było. to jest granica nowego i odrębnego ciągu i nic z tego nie wynika dla ilorazu granic.

Przepraszam, nie dla ilorazu granic, tylko dla granicy ilorazu. Jest subtelna różnica

Otóż, zdefinujmy funkcję f(n)=2n , gdzie n Є N w przedziale [1, +oo) dla ciągu parzyctego
i funkcję g(n)=2n-1 dla ciągu nieparzystego odpowiednio.

Wtedy, zgodnie z regułą de l'Hospitala,

lim (f(n)+g(n))/f(n) = lim ((f(n)+g(n))/f(n))'
lim (2n+(2n-1))/2n = lim ((2n+(2n-1))/2n)' = lim ((4n-1)/2n)' = lim 4/2 = 4/2 = 2

[Hoko]

LA

iloraz granic:
(lim a_n) / (lim b_n)

granica ilorazu (czyli de facto nowego ciągu):

lim (a_n / b_n)

to, co liczysz, to granica ilorazów - granica nowego ciągu, wyznaczonego przez iloraz funkcji f/g.
Ten wzór:
(2n+(2n-1))/2n
to jest po prostu nowy ciąg, dla którego liczysz granicę, nie ma to już nic wspólnego z dwiema odrębnymi granicami funkcji f i g.

[Lieber Augustin]

@Hoko

Tak jest, Hoko, to po prostu nowy ciąg, który, w odróżnieniu od ciągów N i Nparz ma granicę.

Wydaje się, o to nam właśnie chodzi - czy istnieje granica ilorazu (f+g)/f, czyli N/Nparz, i jeśli tak, ile ten limes wynosi.
W jaki jeszcze sposób można porównać dwa ciągi, jeżeli nie przez ich iloraz?

Jeśli powiedzmy limes wynosiłby 1, znaczy "wielkość" zbiorów N i Nparz byłaby jednakowa w sensie matematycznym.

[Stanisław Remuszko]

Ja tam bym zapostulował - heretycko i dygresyjnie - ZMIANĘ tytułu wątku na bardziej romantyczny, na przykład "Ad Infinitum..." albo "Labirynt słodkiej nieskończoności...", bo ten, aczkolwiek merytorycznie O'K, wydaje mi się zbyt ściśle matematyczny :-)

R.

[maziek]

Wot inteligenty pozabijają się o granicę ciągu...

PS. @Remuszko - byłbyś uprawniony, gdybyś dał definicje.