@ maziekWracając na chwilę do Twojej zagadki:
...ale gdyby tak zadać pytanie szczegółowiej - jaką będzie wysokość szczeliny, jeśli to będzie wiotka lina dłuższa o 10 m od obwodu Ziemi, odciągnięta w jednym punkcie, tworząca więc z tego punktu dwie styczne do obwodu Ziemi, połączone między sobą od punktów styczności resztą koła wielkiego? Da radę bez śinusów ?
Właśnie przyszło mi do głowy: przy małych wartościach kąta alfa łuk okręgu AC z dość dobrym przybliżeniem można uznać za odcinek prostej. Innymi słowy, długość odcinka AX można zaniedbać i uznać za poszukiwaną wysokość szczeliny h cały odcinek BX:
Zgodnie z treścią zadania, |DB|+|BC|=|DC|+10, skąd |XC|=|BC|-5=d-5
Wówczas możemy ułożyć układ równań, zgodnie z oznaczeniami na rysunku:
(R+h)
2=R
2+d
2h
2+(d-5)
2=d
2Hm, "ułożyć układ" to chyba tautologia
. Ale mniejsza...
R
2+2rh+h
2=R
2+d
2h
2+d
2-10d+25=d
2h
2+2Rh-d
2=0
h
2-10d+25=0
Podstawiając d=(h
2+25)/10 do pierwszego równania, mamy:
h
2+2Rh-((h
2+25)/10)
2=0
skąd po nieskomplikowanych przekształceniach otrzymuje się równanie czwartego stopnia o jednej zmiennej:
h
4-50h
2-200Rh+625=0
h
4-50h
2-1274200000h+625=0
Rozwiązując je w liczbach za pomocą online calkulatora
https://allcalc.ru/node/552(bo jestem zbyt leniwy, żeby obliczyć ręcznie metodą Ferrariego
), uzyskujemy 4 korzeni, z czego tylko jeden ma sens fizyczny, tzn. jest liczbą dodatnią rzeczywistą:
h=1084,1399...≈
1084 [m]
Nie do wiary
Imho, wynik jest nieco sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem. Cóż to, lina o marnych 10 metrów dłuższa od obwodu Ziemi może utworzyć szczelinę o wysokości przekraczającej kilometr? Intuicyjnie oczekiwałem wielkości rzędu kilku, kilkunastu, no, góra kilkudziesięciu metrów. Przecież jeśli tę samą linę ułożyć na długość całego obwodu, to jej reszta utworzy niedużą pętelkę, taki "ogonik" o długości 10/2=5 metrów...
Cóż, spróbujemy sprawdzić rozwiązanie.
Na początek obliczymy odcinek d:
Ponieważ trójkąty OBC i XBC są podobne, możemy zapisać:
R/d=(d-5)/h
d(d-5)=Rh
d
2-5d-Rh=0
d
2-5d-6907055303=0
Rozwiązując równanie kwadratowe, mamy jeden dodatni korzeń:
d=83105,833≈
83106 [m]
A teraz obliczymy kąt alfa:
d=R*tg alfa
tg alfa=d/R=0,01304...
alfa =arctg d/R=0,7473... [stopni]
skąd długość łuku AC=2*pi*R*alfa/360=83101,128≈
83101 [m]
Zgadza się, niech mnie kule biją. I to z dobrą dokładnością. Nieduży błąd - różnica "d minus długość łuku AC" jest nieco mniejsza od 5 metrów - to najprawdopodobniej skutek zaokrągleń podczas obliczeń...
Co Ty na to, maźku?