Platon vs Hoko

[Mieslaw]

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:

2+2=4

Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  

Natomiast ta aksjomatyczno-dedukcyjność dotyczy natury dochodzenia do prawd matematycznych, a nie samych prawd matematycznych. To już dziedzina metodologii.

No cóż... Dowód, że 1+1=2 (prawda, że prostsze) wcale nie był taki prosty.
Poświęcony temu fragment Principia mathematica (a właściwie chyba początek dowodu). Wkleję fragment pierwszej strony:



I dalej jest jeszcze bardzo dużo  



Informację na ten temat znalazłem w książce Petera Atkinsa Palec Galileusza

Natomiast całość Principia można znaleźć pod wskazanymi adresami:
Tom I
Tom II
TomIII

[Deckert]

Tautologia  to wypowiedź, której prawdziwość gwarantowana jest przez samą jej strukturę. Mowa tu więc o wypowiedziach, które same w sobie są prawdziwe, np: "prawdą jest prawda". W logice mat. jest to natomiast takie zdanie logiczne, które zawsze jest prawdziwe. Dowodzi się to tabelami prawdy (tabelami wartości 0 i 1).

Natomiast to, że "wychodząc od jednych (pojęć), drogą odpowiednich przekształceń można dojść do innych", to ujawnienie aksjomatyczno-dedukcyjnej natury matematyki. Ja nie wiem, co to ma wspólnego z tautologią.

CU
Deck

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:

2+2=4

Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  

Nie. Ja widzę liczbę cztery tylko po prawej stronie.

Natomiast ta aksjomatyczno-dedukcyjność dotyczy natury dochodzenia do prawd matematycznych, a nie samych prawd matematycznych. To już dziedzina metodologii.

Jakby nie było dotyczy praw matematyki, bowiem bez aksjomatów i dedukcji praw by nie było.

CU
Deck

[ANIEL-a]

Zdania logiki i matematyki nie mówią o faktach [empirycznych], lecz są ważne na mocy konwencji językowych.

W związku z tym, że powyższe zdanie (o ile jest prawdziwe) jest prawdziwe także w odniesieniu do całej filozofii jako takiej, to odwracając lufe o 180^o trzeba stwierdzić, że filozofia, jako całkowicie rozłączna z eksperymentem nie może w żaden sposób służyć do jego oceniania i jest całkiem na nic z punktu widzenia nauki.

A dlaczego? Dlaczego zdanie prawdziwe w stosunku do matematyki i fizyki MUSI odnosić się do całej filozofii i jeszcze mieć tę samą wartość logiczną? A poza tym, filozofia (wg filozofów, przynajmniej co poniektórych) nie jest rozłączna z eksperymentem. A co z empirykami, a co z chociażby z Popperem, filozofem nauki, który prawdziwość wszelkich teorii naukowych, w tym filozoficznych, uzależnia od możliwość ich zweryfikowania doświadczalnego...? A? Cóś się w zapale retorycznym kólega zapędził

[dzi]

Ja akurat nigdy nie spotkalem sie z filozofią oderwaną od empirii. No ale moze za malo sie interesuje...

Co do matematyki to platonskie sa oczywiscie aksjomaty i je mozna interpretowac jako idee.

Penrosa zaraz przeczytam.

[maziek]

Aniela - Skoro wg Hoko (którego mam tu za filozoficzny autorytet) każdy kontakt ze swiatem zewnętrznym jest subiektywny i nie mozna na nim polegać, to cała filozofia opiera sie na pewnych przyjętych prawdach plus logiczne rozumowanie czyli tautologia. A więc musi się odnosić skoro filozofia polega na logicznym wnioskowaniu na podstawie już udowodnionych lub bezspornie uważanych za prawdziewe przesłanek. Tzn nie odnosi sie do potocznych "filozofii" ale chyba musi sie odnosić do "naukowych". No bo co to by była za nauka, kiedy z tych samych przesłanek można by wyprowadzić różne wnioski?

Takie stawianie sprawy jak czyni to Hoko mnie osobiście wkurza, bo jak już się odetnie logikę i matematykę od fizyki to w zasadzie mozna siąść i płakać, więc to odwrócenie lufy o 180^o to była, przyznaję, pewna złośliwość. Podejrzewam, że ci którzy rozbijają nukleony na kwarki po prostu nie łamią sobie nad tym głowy.

Ten wątek poniekąd jest o tym, czy:

a) aksjomaty (np. te Euklidesa) są czystym założeniem (nauka jest tautologią oderwaną od świata)
b) aksjomaty są odbiciem struktury naszego świata (cały świat jest tautologią, a matematyka i logika są tego odbiciem) - to jest jak rozumiem ten platonizm, reprezentowany przez Penrose.

Hoko - cóż, szkoda że jestem tylko drugi po ty tam A. Ayer

Miesław - świetny link. Już sobie to trochę pościągałem, ciężko się przebić przez ten symboliczny zapis, kwantyfikatory itp. Matematycy to jednak mają przerąbane.

Deckard - rozwiń swoje "dokładnie odwrotne" poglądy.

W ogóle liczę na poważną dyskusję.

[Deckert]

To proste. Nie jestem platonikiem.
Innymi słowy nie uważam, że byty matematyczne istnieją niezależnie od nas. To my je tworzymy i są one całkowicie od nas zależne.  Bez naszego umysłu nie istnieją nawet w świecie matematycznej abstrakcji.

Pogląd platoński to taka magiczna nadbudówka dodana do matematyki. Idąc dalej tym tropem możemy dojść do następnych coraz bardziej absurdalnych wniosków kończąc ostatecznie na historii, która tylko się odtwarza, bowiem istnieje już od dawna i niezależnie od nas. Każdy nowy dzień to tylko odkrycie historii, która jest gdzieś tam i czeka na wypełnienie się.

CU
Deck

[Terminus]

Rozumiem stwierdzenie, że matematyka to tautologia, choć zgodzić się z nim do końca nie mogę, bo zbyt upraszcza zagadnienie. Słowo "matematyka" ma znaczenie znacznie szersze, nie jest tylko jednym ciągiem dedukcyjnym i ciągiem przekształceń. Fakt, że w obrębie jednego rozumowania rzeczywiście wszystkie przekształcenia teoretycznie są wyłącznie zmianami formy zdań. Niemniej jednak gdybyśmy ograniczyli matematykę w naszym rozumieniu tylko do tego procesu, to pominęlibyśmy wiele innych istotnych aspektów tej dziedziny.
Nie sposób na przykład w słowie "tautologia" (rozumiana jako system wzajemnie przekształcalnych na siebie postaci tej samej prawdy) zawrzeć takich procesów jak odnajdywanie kontrprzykładów, dowody indukcją pozaskończoną, lub pewnych innych manipulacji. Ponadto należałoby mówić o pewnej tautologii która się rozszerza tudzież zwęża, jest bowiem przecież możliwe dodanie nowych działów i pojęć pierwotnych, tworzenie nowych matematyk.

Dobra, nie będe Wam tu psuł zabawy

[Hokopoko]

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:
2+2=4
Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  
Natomiast ta aksjomatyczno-dedukcyjność dotyczy natury dochodzenia do prawd matematycznych, a nie samych prawd matematycznych. To już dziedzina metodologii.

No cóż... Dowód, że 1+1=2 (prawda, że prostsze) wcale nie był taki prosty.

Prostota to zupełnie inna para kaloszy i nie ma tu nic do rzeczy. Stwierdzenie że jakiś zdanie czy rozumowanie jest tautologią może być niekiedy niezmiernie trudne i skomplikowane - i to nie tylko na na gruncie matematyki.

---------------

Tautologia  to wypowiedź, której prawdziwość gwarantowana jest przez samą jej strukturę. Mowa tu więc o wypowiedziach, które same w sobie są prawdziwe, np: "prawdą jest prawda". W logice mat. jest to natomiast takie zdanie logiczne, które zawsze jest prawdziwe. Dowodzi się to tabelami prawdy (tabelami wartości 0 i 1).
Natomiast to, że "wychodząc od jednych (pojęć), drogą odpowiednich przekształceń można dojść do innych", to ujawnienie aksjomatyczno-dedukcyjnej natury matematyki. Ja nie wiem, co to ma wspólnego z tautologią.
CU
Deck

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:
2+2=4
Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  

Nie. Ja widzę liczbę cztery tylko po prawej stronie.

A po której stronie widzisz "kawalera" w zdaniu:

kawaler to nieżonaty mężczyzna
?

A zdanie to z punktu wiedzenia logiki jest tautologią.

Natomiast ta aksjomatyczno-dedukcyjność dotyczy natury dochodzenia do prawd matematycznych, a nie samych prawd matematycznych. To już dziedzina metodologii.

Jakby nie było dotyczy praw matematyki, bowiem bez aksjomatów i dedukcji praw by nie było.
CU
Deck

Prawa a prawdy to dwie różne rzeczy.  Tautologiczność dotyczy matematycznych prawd, a nie sposobu ich osiągania.

[Hokopoko]

Rozumiem stwierdzenie, że matematyka to tautologia, choć zgodzić się z nim do końca nie mogę, bo zbyt upraszcza zagadnienie. Słowo "matematyka" ma znaczenie znacznie szersze, nie jest tylko jednym ciągiem dedukcyjnym i ciągiem przekształceń. Fakt, że w obrębie jednego rozumowania rzeczywiście wszystkie przekształcenia teoretycznie są wyłącznie zmianami formy zdań. Niemniej jednak gdybyśmy ograniczyli matematykę w naszym rozumieniu tylko do tego procesu, to pominęlibyśmy wiele innych istotnych aspektów tej dziedziny.
Nie sposób na przykład w słowie "tautologia" (rozumiana jako system wzajemnie przekształcalnych na siebie postaci tej samej prawdy) zawrzeć takich procesów jak odnajdywanie kontrprzykładów, dowody indukcją pozaskończoną, lub pewnych innych manipulacji. Ponadto należałoby mówić o pewnej tautologii która się rozszerza tudzież zwęża, jest bowiem przecież możliwe dodanie nowych działów i pojęć pierwotnych, tworzenie nowych matematyk.

Dobra, nie będe Wam tu psuł zabawy

OK. Doprecyzowałem to w ostatnim zdaniu w poprzednim poście.
A z tymi nowymi pojeciami pierwotnymi to nie jestem wcale pewien. Jeśli matematyka jako całość ma być wewnętrznie niesprzeczna, to te nowe pojęcia muszą "współgrać" z już istniejącymi. Nie mogą więc tworzyć zupełnie nowej jakości, a dojście do nich (nawet post factum) musi być możliwe z pozycji już uznanych.

[dzi]

OK, przeczytalem tekst Penrose'a. Fajnie sie czyta, sympatyczny facet  

Moj odbior: Ja widze w calym rozumowaniu jakis taki blad logiczny. Penrose stara sie obalac teze ze matematyka zostala stworzona poruszajac sie "wewnatrz" niej. Tj. tlumaczy ze Tw Fermata istnieje od zawsze. A formalisci temu nie przecza, twierdza jedynie ze zasady na bazie ktorych powstalo Tw Fermata (np arytmetyka) sa stworzone! Normalnym jest ze jak stworzymy system i wynikanie w nim wystepujace to mozemy badac skutki tego wynikania i szukac wynikow. Mozna wtedy rowniez powiedziec ze owe wyniki "istnieja" i sa bytami, ok, ale pod warunkiem ze caly system istnieje.

Co do fraktali i Mandelbrota. Ja to interpretuje tak: skoro wytwarzamy system i metode wizualizacji zbioru i robimy to na wszystkie mozliwe sposoby to prawdopodobnym jest ze jeden z nich bedzie "ladny w zapisie" i przy okazji "ladny z wygladu". Tylko co z tego wynika? Znowu, Mandelbrot jest "wewnatrz" matematyki, czyli jego istnienie determinowane jest istnieniem matematyki w ogole. I znowu sie zawieszamy na problemie "oceny z wewnatrz" (ktora to wyklarowal chyba do konca Goedel).

Zabawny jest tez moment w ktorym uznaje ze Tw Wyboru jest prawdziwe w zaleznosci od przyjetych regol rozumowania - to wskazuje raczej na prawdziwosc formalizmu niz platonizmu moim zdaniem...

Zatem w mojej ocenie to co napisal Penrose ma sie nijak do tematu, pisze tak jakby nie zrozumial pytania.

Dodac tez nalezy ze Penrose jest matematykiem a ja jakimstam zwyklym sobie kims wiec roznica wiedzy jest napewno tak ogromna ze nastepuja problemy w komunikacji i pewnie on costam napewno rozumie (czy tam "czuje") ale mi nie potrafi mi tego wytlumaczyc. Tak jak to jest opisane w GOLEMie

I jeszcze jedno bardzo wazne, cos co jest ciekawe dla "zwyklego czlowieka". Doszedlem do tego rozmawiajac o problemie "istnienia" w matematyce z roznymi matematykami. Zawsze byl problem komunikacyjny a wynikal z jednej rzeczy. Zarowno dla platonistow jak i formalistow oczywiste jest ze "swiat matematyki" nie opisuje swiata rzeczywistego (w sensie fizycznego, nie w sensie platonskiego swiata idei - tlumaczy to Penrose pod koniec wywodu) tylko jest jakimstam osobnym "swiatem". Roznica pogladow polega jedynie na tym czy to my ten swiat wytworzylismy czy istnieje od nas niezaleznie. To dosc wazne i wydaje mi sie ze "zwykli ludzie" po pierwsze maja problem z oddzieleniem matematyki od rzeczywistosci, dopiero nastepnym etapem jest rozwazanie takie jak w przytoczonym fragmencie.

[Hokopoko]

Aniela - Skoro wg Hoko (którego mam tu za filozoficzny autorytet)

A jaki tam ze mnie autorytet... ja tylko czytam co popadnie...

Takie stawianie sprawy jak czyni to Hoko mnie osobiście wkurza, bo jak już się odetnie logikę i matematykę od fizyki to w zasadzie mozna siąść i płakać, więc to odwrócenie lufy o 180^o to była, przyznaję, pewna złośliwość. Podejrzewam, że ci którzy rozbijają nukleony na kwarki po prostu nie łamią sobie nad tym głowy.

Ten wątek poniekąd jest o tym, czy:

a) aksjomaty (np. te Euklidesa) są czystym założeniem (nauka jest tautologią oderwaną od świata)
b) aksjomaty są odbiciem struktury naszego świata (cały świat jest tautologią, a matematyka i logika są tego odbiciem) - to jest jak rozumiem ten platonizm, reprezentowany przez Penrose.

Trochę pomieszałeś  
Platonizm polega na tym, że istnieje świat idei - bytów idealnych (taki trójkąt prostokątny dajmy na to, żeby za daleko nie szukać   ) A to właśnie świat rzeczywisty jest jego niedoskonałym odbiciem (pamiętasz jaskinię Platona?) Z tym, że to tak najogólniej - bo rozmaitych nurtów w platoniźmie jest multum; a oba z tych punktów, które wyszczególniłeś są na tyle ogólne, że można je przypisać do kilku  najmniej kierunków.

Nauka nie jest tautologią. To prawdy matematyczne są tautologią. Może wartałoby tu przytoczyć podział sądów na zdania analityczne i syntetyczne. Analityczne to sądy logiki i matematyki: ich prawdziwość gwarantowana jest przez samo ich znaczenie ("kawaler to nieżonaty mężczyzna"), przez reguły języka. Natomiast prawdziwość sądów syntetycznych jest warunkowana przez ich zgodność z faktami empirycznymi: np.: kawaler Draco jest łysy - jeśli rzeczony kawaler jest łysy, to zdanie to jest prawdziwe, a jęsli łysy nie jest, to zdanie jest fałszywe... Otóż zdania nauk formalnych są zdaniami analitycznymi, natomiast zdania nauk empirycznych są zdaniami syntetycznymi. A cały ambaras bierze się z tąd, że te systemy formalne (jak matematyka) w jakiś sposób wiążą się z poznaniem empirycznym - nie będę wnikał, czy stanowią ich fundament, czy tylko otoczkę, bo nie mam do tego głowy.

Dobra, idę cos zjeść i zaraz biorę się za Penrosa.

[Mieslaw]

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:
2+2=4
Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  
Natomiast ta aksjomatyczno-dedukcyjność dotyczy natury dochodzenia do prawd matematycznych, a nie samych prawd matematycznych. To już dziedzina metodologii.

No cóż... Dowód, że 1+1=2 (prawda, że prostsze) wcale nie był taki prosty.

Prostota to zupełnie inna para kaloszy i nie ma tu nic do rzeczy. Stwierdzenie że jakiś zdanie czy rozumowanie jest tautologią może być niekiedy niezmiernie trudne i skomplikowane - i to nie tylko na na gruncie matematyki.

Chciałem pokazać, że to wcale nie jest aż tak oczywiste.

edit:
I był to post numer 19191 (liczba palindromiczna - czytana tak samo od lewej jak i od prawej) na tym forum   .

[Deckert]

I jeszcze jedno bardzo wazne, cos co jest ciekawe dla "zwyklego czlowieka". Doszedlem do tego rozmawiajac o problemie "istnienia" w matematyce z roznymi matematykami. Zawsze byl problem komunikacyjny a wynikal z jednej rzeczy. Zarowno dla platonistow jak i formalistow oczywiste jest ze "swiat matematyki" nie opisuje swiata rzeczywistego (w sensie fizycznego, nie w sensie platonskiego swiata idei - tlumaczy to Penrose pod koniec wywodu) tylko jest jakimstam osobnym "swiatem". Roznica pogladow polega jedynie na tym czy to my ten swiat wytworzylismy czy istnieje od nas niezaleznie. To dosc wazne i wydaje mi sie ze "zwykli ludzie" po pierwsze maja problem z oddzieleniem matematyki od rzeczywistosci, dopiero nastepnym etapem jest rozwazanie takie jak w przytoczonym fragmencie.

Tak, to wszystko prawda. Jak już wspomniałem w poprzednich postach wybór czy jest się platonikiem czy nie jest uzależniony w znacznej mierze od osobistych przekonań danego człowieka. Z punktu widzenia samej matematyki jest to fakt mały istotny.

Nie sądzę jednak byś miał problem ze zrozumieniem Penrose'a, bo ja także zauważyłem sprzeczności w jego rozumowaniu. Nie wątpię, że jest słynnym matematykiem, ale to, że broni platonizmu, to wyłącznie jego własny pogląd na świat. On nie jest idealny tak jak matematyka. Jest tylko człowiekiem i żyje w świecie realnym. Zważając na ogół jego życiowych doświadczeń wybrał platonizm. W nim się odnajduje i ma swoje argumenty, które popierają jego wybór. Ja mam swoje.


CU
Deck

[Deckert]

Tautologia  to wypowiedź, której prawdziwość gwarantowana jest przez samą jej strukturę. Mowa tu więc o wypowiedziach, które same w sobie są prawdziwe, np: "prawdą jest prawda". W logice mat. jest to natomiast takie zdanie logiczne, które zawsze jest prawdziwe. Dowodzi się to tabelami prawdy (tabelami wartości 0 i 1).
Natomiast to, że "wychodząc od jednych (pojęć), drogą odpowiednich przekształceń można dojść do innych", to ujawnienie aksjomatyczno-dedukcyjnej natury matematyki. Ja nie wiem, co to ma wspólnego z tautologią.
CU
Deck

Wszystko się zgadza. Prawdziwość wypowiedzi matematycznych gwarantowana jest przez ich strukturę. I przez nic innego. Zobacz:
2+2=4
Nieprawdaż, że po obu stronach równania jest cztery?  

Nie. Ja widzę liczbę cztery tylko po prawej stronie.

A po której stronie widzisz "kawalera" w zdaniu:

kawaler to nieżonaty mężczyzna
?

A zdanie to z punktu wiedzenia logiki jest tautologią.

W tym zdaniu kawaler jest po lewej stronie. Dla mnie to aksjomat, który przyjmuję za wiarygodny, na podstawie doświadczenia życiowego. Nie jest to dla mnie tautologia.
Tautologią dla mnie jest zdanie:

Dzisiaj pada deszcz lub nie pada.

Jest to zdanie zawsze prawdziwe. Zdanie, które ty podałeś jest wynikiem bardziej złożonego myślenia, które tłumaczy mi co to znaczy określenie "kawaler". To nie jest dla mnie tautologia lecz aksjomat, który jeżeli zostanie przeze mnie przyjęty, to stanie się dla mnie zdaniem prawdziwym. Tautologia to zdanie ZAWSZE prawdziwe, a jak Ci to pokazałem, Twoje zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy się na to zgodzę.

I oczywiście ja rozumiem, że każde twierdzenie w matematyce jest tautologia, w tym sensie, że mówi ono prawdę. Ale jest to zbyt duże uproszczenie. Gdy bowiem dotrzemy do np: postulatów Peano, to ostatecznie znowu staniemy przed aksjomatami, z których dopiero będziemy wyciągać nowe prawa matematyki.
Czyli innymi słowy: postulaty Peano nie koniecznie są prawdziwe, gdyż są aksjomatami. Ze względu jednak na ich skuteczność przyjmuję je jako prawdziwe. Póki co po prostu nie ma innej opcji.
Tak ja to widzę.

CU
Deck

[Hokopoko]

Wrócę jeszcze do tego zdania o łysym, bo widzę, że był to trochę niefortunny wybór. Mianowicie w pewnych szczególnych okolicznościach sąd taki może popaść w tzw. paradoks  łysego. Bierze się to z tąd, że nie istnieje obiektywne kryterium bycia łysym (określające np. minimalną liczbę włosów... ). W skutek tego w niektórych okolicznościach zdanie x jest łysy można uznać za zdanie wartościujące, a więc z punktu widzenia nauki pozbawoine sensu   . Nie wiem, jak tam jest w przypadku Draco, ale ja za rok dwa na tenże paradoks się pewnie załapię...

Jeśli więc modelowi mamy przypisać jakąś formę [ch8222]istnienia", to owo istnie­nie musi go lokować w platońskim świecie form matematycznych. Oczywiście, można przyjąć przeciwny punkt widzenia: można uważać, że sam model istnieje tylko w na­szym umyśle, a nie wkładać go do jakiegoś urojonego świata platońskich idei. Jest jednak coś bardzo ważnego, co można zyskać, jeśli się przyjmie, że struktury mate­matyczne istnieją niezależnie od nas. Tak się bowiem składa, że nasze własne umy­sły notorycznie wykazują brak precyzji w rozumowaniu, nie można na nich polegać i często wikłają się w sprzecznościach. Dokładność, niezawodność i spójność, ja­kich wymagają teorie naukowe, potrzebują czegoś więcej niż nasze indywidualne i zawodne umysły. Otóż właśnie te cechy znajdujemy w matematyce. Czy to nie wskazuje nam na jakąś rzeczywistość, która istnieje poza nami?

Ot i cały Penrose. W zasadzie wszystko, co Penrose przedstawia w tym (całym) fragmencie przewijało się już w Nowym umyśle. I tu jak na dłoni widać to, co mi i w tamtym sposobie dochodzenia do wniosków nie odpowiadało. Mianowicie owo "co można zyskać, jeśli zrobimy tak a tak". Przy czym, żeby była jasność, zysk jest tu subiektywno-filozoficzny, a nie formalno-naukowy. U Penrosa mamy najpierw rodzaj jakiegoś przeczucia, jakiś wymóg punktów odniesienia, a potem konstrukcję myślową, wnioskowanie, które prowadzi nas do z góry założonego celu. Więc to wszystko jest bardziej kwestią przekonań, niż jakiegokolwiek rzeczowego argumentowania.

Istnienie w sensie Platona, tak jak ja to widzę, oznacza istnienie pewnego stan­dardu zewnętrznego, które nie jest uzależnione ani od naszych indywidualnych opinii, ani od szczególnej kultury, w której żyjemy. [ch8222]Istnienie" w tym sensie może odnosić się również do sfer innych niż matematyka, na przykład do moralności czy estetyki (zob. rozdz. 1.5), ale ograniczę się tylko do rzeczywistości matematycznej, gdyż tutaj sprawy przedstawiają się najbardziej klarownie.

Tu już widać tendencję do aksjomatyzacji norm moralnych, co pozostawię bez komentarza...

Można teraz postawić pytanie: czy należy przyjąć takie stanowisko, że twierdzenie Fermata było prawdziwe zawsze, na długo zanim Fermat je odkrył, czy też kwestia jego prawdziwości jest sprawą czysto kulturową, zależną od subiektywnego standardu zawodowego społeczności matematyków?

Logika wypowiedzi. Prawdziwym lub fałszywym może być coś co istnieje, a przed odkryciem Fermata owo twierdzenie (jako Twierdzenie) nie istniało. Można co najwyżej zapytać, czy prawda matematyczna wynikająca z owego twierdzenia zaczęła obowiązywać od chwili jego odkrycia czy też obowiązywała już wcześniej. A jeśli tak, to kogo?  

Oczywiście, matematyczne formy świata Platona nie istnieją w taki sam spo­sób, w jaki istnieją zwykłe obiekty fizyczne, takie jak krzesła czy stoły. Nie moż­na ich umiejscowić ani w przestrzeni, ani w czasie. Obiektywne pojęcia mate­matyczne należy uważać za byty ponadczasowe, a nie za powołane do życia z chwilą zauważenia ich, po raz pierwszy, przez człowieka

Nie rozumiem pojęcia "ponadczasowe". Czy to znaczy że istniały przed wielkim wybuchem? (zakładając, że był to rzeczywisty początek).

Te desenie [ch8222]istniały" od począt­ku czasów, w tym ponadczasowym sensie, w oczekiwaniu, że zostaną odkryte dokładnie w tej formie, w jakiej je widzimy obecnie, nieważne gdzie i kiedy jakaś rozumna istota zdecyduje się je zbadać.

Metafizyka. (A jak zauważa Ayer, sądy metafizyki i teologii są, ze względu na niepodleganie zasadzie weryfikacji, pozbawione sensu ) (   ).

No tak. Penrose nie przedstawia niczego nowego, a tylko swoim autorytetem podpiera pewne filozoficzne nurty. To nie jest grunt, na którym mozna cokolwiek udowodnić (chociaż czasami udaje się coś obalić...). I - tak jak poniekąd  zauważyli już Deckard i Dzi - wszystkie te kwestie to jest sprawa osobistych przekonań.