Czytając uważnie zauważyłem że (jak zwykle
) nikt tak naprawdę nie zadaje tu żadnego pytania, tylko sobie dywagujecie na temat liczb kardynalnych. Ale ponieważ, dzięki
Hokopoko wiem już, o co chodzi w tych rozmowach (o "zabawę"), to po prostu dodam kilka ciekawostek które nie zostały tu powiedziane.
1.Otóż po pierwsze, oczywiście moc zbioru Z i N jest taka sama (czy tam kwadratów liczb naturalnych, etc.).
1a. Bardzo ciekawe pytanie pojawia się w elementarnej teorii liczb, - owóż czy istnieje nieskończenie wiele tzw. liczb pierwszych bliźniaczych. O co chodzi? Kiedy zaczniemy wymieniać sobie liczby pierwsze: 2,3,5,7,11,13,17,19 etc to zauwazymy, że między nimi pojawiają się "parki" - jak 5 i 7 lub 17 i 19, "odsunięte" od siebie na osi liczb o 2 jednostki. Są też inne liczby pierwsze porozrzucane między nimi (nie jest zatem tak, że wszystkie liczby pierwsze są w takich parkach - parki nie ma np. liczba 23). No i jesli nazwiemy sobie zbiór takich liczb pierwszych bliźniaczych PB, to powstaje pytanie - ile ich jest? Intuicja odpowiada że oczywiście nieskończenie wiele (przeliczalnie, czyli tyle, ile liczb naturalnych), no ale uwirzycie czy nie - nie ma nato dowodu. Jest (od starożytności) dowód, że samych liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale że BP -nie. Zabawne, nie?
2.Po drugie, możecie "pobawić" się tzw. hipotezą kontinuum, którą podał już Hilbert formułując swoją liczbę problemów matematycznych w końcu XIX wieku. Hipoteza ta mówi, że między alef_0 (mocą liczb naturalnych) a c (mocą liczb rzeczywistych) nie ma żadnej innej liczby kardynalnej. Możnaby to (coprawda tworząc pewną
błędną intuicję) przeliterować tak: czy istnieje taki zbiór, który ma "więcej" liczb niż jest liczb naturalnych, ale "mniej" niż jest rzeczywistych. Nikt, jak narazie, nie udzielił prostej (tak/nie) odpowiedzi na to pytanie, choć pewni "nudni ludzie" poczynili pewne spostrzeżenia, ale nie będę tu zanudzał.
3.Inną ciekawostką jest relacja - czy też może raczej efekt, jaki te dane wywierają w naszej intuicji - między pojęciami mocy zbiorów (liczbami karnynalnymi czy też "rodzajami nieskończoności") a ich geometryczną reprezentacją. No bo, że prosta, czy odcinek, mają nieskończenie wiele punktów (w sensie tyle, ile jest liczb rzeczywistych, czyli moc wynosi
c), to jest w miarę intuicyjnie pojmowalne.
(Tak - odcinek [0,1] ma tyle samo liczby co [-\infinity,\infinity], to chyba jasne, nie?
).
Ale skonstruujmy sobie choćby taki zbiór Cantora, prosty fraktal.
RObi się to tak: z odcinka [0,1] wydzielamy trzy cześci [0,1/3],(1/3,2/3),[2/3,1] i usuwamy środkową.
Zostaje nam zbiór C
1=[0,1/3] U [2/3,1]. Teraz ponownie, każdą z "półówek" zbioru C
1 traktujemy tak samo (usuwamy z niej środkową jedną trzecią) zatem:
C
2=[0,1/9] U [2/9] U [4/9,5/9] U [8/9,1]
...
Oczywiście, "U" oznacza tu znak sumowania zbiorów.
Kolejne zbiory C
n dla n=1,2,3,... wyglądają zatem tak:
Akurat widać tu pierwsze cztery, potem byłoby jeszcze drobniej. W końcu zbiór staje się tak drobny, że Wasz monitor nie jest w stanie go wyświetlić. No i co z tego wszystkiego, do czego zmierzam? Otóż zbiór Cantora jest granicą ciągu C
n a zatem tym, co zostanie, gdy będziemy wycinać te środki w nieskończoność. Nie jest to zbiór pusty! Zauważmy bowiem, że np. liczba 1/3 do niego należy i nigdy nie zostanie wycięta.
No i teraz pytanie, ile liczb jest w zbiorze Cantora? Ano, nieskończenie wiele. A jaka to nieskończoność? I tu niespodzianka - okazuje się, że c, czyli jest ich tyle ile liczb rzecywistych:)
No, to zostawiam Was z zadaniem wyobrażenia tego sobie, hehe...
pozdr
