Matematyka krolowa nauk ;)

[Lieber Augustin]

Wygląda na to, że macie rację.
Cóż, feci quod potui...

[maziek]

Na pewno nie fecitułeś co potujasz .


PS na pewno liczby całkowite dodatnie czyli w zasadzie N spełniają z oczywistych względów, gdyż są pozbawione mantysy, która, ponieważ n może być skończone, wprowadza diabelski zamęt. Mianowicie zależnie od n i mantysy podłoga "przeskakuje" lub nie. co jest zespoloną własnością mantysy i n. Dla, przykładowo, n=3 należałoby rozpatrzyć mantysy M<=1/3 i M>1/3. Co już nie będzie prawdą dla n=4. Pewnie to się pieruńsko sprytnie skraca...

[Lieber Augustin]

Na pewno nie fecitułeś co potujasz .

Dzięki, ale ego sum senex et stultus, a zatem non potuję

PS na pewno liczby całkowite dodatnie czyli w zasadzie N spełniają z oczywistych względów, gdyż są pozbawione mantysy...

Zdaje się, niezupełnie. Niech alfa=1 (liczba całkowita dodatnia), n=4.
(alfa+2alfa+3alfa+4alfa)/n=(1+2+3+4)/4=2,5
Nie wielokrotność.

Mianowicie zależnie od n i mantysy podłoga "przeskakuje" lub nie. co jest zespoloną własnością mantysy i n. Dla, przykładowo, n=3 należałoby rozpatrzyć mantysy M<=1/3 i M>1/3. Co już nie będzie prawdą dla n=4.

Co więcej, dla n=3 należy chyba rozpatrywać mantysy M<=1/3, 1/3<M<=2/3 i M>2/3.
Gdy alfa ∈ ]-1, 1[,
3alfa ∈ ]-3, 3[, a podłoga 3alfa przybiera wartości: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Bardziej ogólnie, dla n razy alfa mamy 2n wartości podłogi. Hm.

[maziek]

Jak to było: Ty znowu zaczynasz...
Niejasno napisałem, chodziło mi że jak za alfę wziąć N to spełniają. Trywialnie ma się rozumieć.

[Hoko]

Dla N to widać na oko. Ale dalej - spróbowałem trochę na piechotę - loteria. Może na większej próbie wyszłyby jakieś zależności, ale przecież nie o to chodzi, by to rozwalać przez brute force.

No, tu niby wychodzą jakieś wzorki 
https://www.wolframalpha.com/input?i=floor%28nx%29

LA pod koniec szukał reszty i to może być  trop - modulo.

[Hoko]

loteria jak loteria... znaleźliście może jakieś alfa nienależące do N, które spełniałoby warunki?

edit
w sumie pytanie jest chyba bez sensu 

[maziek]

Ja nie szukam póki co, ale na szybko przy kawie. Rozpatrując na początek 0<a<1 podłogi dadzą ciąg 0,0...,1,1...,2,2..., 3,3... itd. Kropki są, bo zależnie odwrotnie od tego jaką częścią jedności jest alfa, tyle razy pojawi się dana liczba w ciągu. Np. dla a=1/2 będą to po dwie liczby: 0,0,1,1,2,2,3,3... . Uogólniając jest to k*ciąg arytmetyczny z różnicą 1, gdzie k=1/a (k pewnie trzeba będzie zaokrąglić jakoś do całości). Czyli można zapisać, że k*suma (1,2,3,n)=qn, gdzie q liczba N. Taka myśl tylko. Dla a>0 ten ciąg będzie inny ale też do uogólnienia myślę

[Hoko]

Pod koniec przestaję łapać, ale o tym potem.
Podedytowałem poprzedni post, pisząc, że pytanie jest bez sensu - no właśnie, musimy ustalić, jak rozumiemy warunki zadania. Lepiej późno niż wcale 

"dla każdej dodatniej liczby całkowitej n" (for every positive integer n)

dla każdej, w odróżnieniu od dowolnej, rozumiałbym tak, że chodzi o sumę ciągu przy n dążącym do nieskończoności, a nie o jakiekolwiek konkretne n. I jeśli tak, to obliczenia "na piechotę" nie wchodzą w grę, bo to, co wyjdzie dla jakiejkolwiek konkretnej liczby n, nie spełnia warunków zadania. Tak czy nie?

[maziek]

Także sądzę, że chodzi o to, że dla danego a dowolne n z zakresu <1;inf) ma spełniać Zakładam także, że najmniejsze "dodatnie, całkowite n" to 1 (a nie 0 - bo to kwestia dyskusyjna typu czy 0 jest N). Dla n=8 a=1/2 kolejne podłogi to 0,1,1,2,2,3,3,4. Ich suma to 16, czyli "cząstkowo" to spełnia. Poprzednio napisałem, że ten ciąg to 0,0,1... ale jest jedno 0 na początku.

[Hoko]

Zaraz... wg mnie dla każdego n oznaczałoby liczenie sumy ciągu przy n dążącym do inf. - przy jakimś wybranym a. Liczenie dla np n=8 nie ma tu sensu. Inaczej: czy ten ciąg może być skończony?
Nie będę się upierał - tylko dla mnie to jest niejasne.

[maziek]

Trudno powiedzieć, że trzeba liczyć granicę. To raczej wyjdzie słabo. Wystarczy wykazać, może np. indukcyjnie, że suma podłóg [1a]+[2a]+...+[na] plus podłoga dla (n+1) jest podzielne przez (n+1). Indukcja to może być trop.


PS czy ten ciąg może być skończony - wg mnie chodzi o ciągi skończone co nie znaczy, że n nie może być dowolnie duże. To w sumie najprostsza definicja nieskończoności liczb N (czy C itd.), że jakiej wielkiej liczby nie pomyślisz - zawsze możesz dodać 1.

[Hoko]

Granicę znamy - inf. Liczymy sumę ciągu tak czy owak.
Chodzi o to - tak mi się przynajmniej widzi - że jeśli ciąg jest nieskończony, to niezależnie od mantysy będą w nim, jak to ująłeś, przeskakujące podłogi. Chyba że co innego prze to rozumiemy.

Ale OK, dowodzenie z indukcji może spowodować, że czy ciąg taki czy inny będzie bez znaczenia. Tylko znasz może wzór na sumę takiego ciągu? Czy jak inaczej to policzyć? 

[Lieber Augustin]

Wiecie co, panowie... Mam takie wrażenie, skądinąd czysto intuicyjne, że zadanie jest nie do rozwiązania, gdy mantysa alfa różni się od zera. Przecież suma
[a]+[2a]+[3a]+...+[na]
ma być podzielna przez n dla każdego n. Dla każdego. A tymczasem dla niezerowej mantysy ze wzrostem n tak czy owak zachodzi "przeskok" wartości podłogi o jedynkę, gdy mantysa M>=1/n.
Nieco upraszczając: jakkolwiek przy określonej (niezerowej) wartości mantysy powyższa suma będzie podzielna przez n, to już niekoniecznie (suma +1) podzieli się bez reszty przez (n+1).

Jeżeli coś w tym rozumowaniu jest, tzn. alfa ma być liczbą całkowitą, to [a]=a da się wyciągnąć przed nawias, i wówczas warunek wielokrotności sprowadza się do wyznaczenia takich wartości alfa, że a(n+1) jest podzielne przez 2.

Hm?

[maziek]

Granicę znamy - inf. Liczymy sumę ciągu tak czy owak.

Niekoniecznie. Nie musisz, mocno trywializując dla przykładu, żeby stwierdzić, że suma 2+4+6+...2n jest zawsze podzielne przez 2 nie musisz przecież liczyć tej sumy.

Chodzi o to - tak mi się przynajmniej widzi - że jeśli ciąg jest nieskończony, to niezależnie od mantysy będą w nim, jak to ująłeś, przeskakujące podłogi.

Będą. Roboczo co 1/(mantysa a)

Ale OK, dowodzenie z indukcji może spowodować, że czy ciąg taki czy inny będzie bez znaczenia. Tylko znasz może wzór na sumę takiego ciągu? Czy jak inaczej to policzyć? 

Ja kto bez znaczenia? Bez znaczenia, o ile wszystkie takie ciągi da się uogólnić i wykazać, ze jeśli prawidłowość jest spełniona dla [a] jest także spełniona dla [2a], a następnie, z czego wynika, że jest spełniona dla n+1 itd. Tylko w tym celu trzeba mieć wzór na ten ciąg uogólniony (haha, takie proste) i zawierający n. Jak to policzyć... Dlatego pisałem o tych ciągach. Dla a=1/2 przeskok będzie co 2, dla 1/3 przez trzy, ciekawe co będzie dla mantysy niewymiernej, czyli niewyrażalnej ułamkiem... weźmy mantysę z sqrt2 to jest 0,4142... niech a będzie powiedzmy 0,4142..., przeskok będzie co 1/0,4142... czyli co ~2,4142 pozycje. Jak taki ułamek się ma do faktów...


Kolejne [n*a] to 0011222334445566777... (przecinki pominąłem) - czyli jakoś się ma ale słabo, bo przeskok jest nieregularnie o ile nie pomyliłem się na kolanie spisując z kalkulatora i o ile jego pamięć nie była za krótka na sqrt2 mnożony przez liczbę dwucyfrową i się wrednie nie zaokrągliło myląc trop. Bazując na tym jednym przykładzie najpierw idzie przeskok 2 pozycje lub przez 3 i tak w koło Macieju przynajmniej przy tej długości ciągu, trzeba dopracować...
Masz tu złożenie ciągów: czytając w dół po skosie


0 1 2 4 5 6
 0 2 3 4 5 7
  1 2 3 4 6 ...


albo spróbować sumować wyrazy wówczas:


0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3
----------------------------------------
0 0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7


Tak tylko na szybko kombinuję.


PS @LA - też mam takie dojmujące wrażenie, ale znając "ogólne zasady tego typu zadań" mniemam, że jednak jest rozwiązanie...

[Hoko]

LA,
to, przed co chcesz wyciągać, to nie jest nawias; to jest, nazwijmy to tak, taki operator jak np. wartość bezwzględna. On grupuje wyrażenia wewnątrz w pewną całostkę i określa działania, jakie trzeba przeprowadzić, gdy sie go "opuści".

Co do reszty - zgoda. I stąd moje rozkminy, jak interpretować treść zadania. Bo gdyby dało się dowieść, że przeskakująca podłoga w ciągu dyskwalifikuje dany ciąg, to jesteśmy w domu: zostają tylko alfy należące do N.