Matematyka krolowa nauk ;)

[Terminus]

dlaczego sądzisz, że platonikom "jest łatwiej?
jakie jest stanowisko "konstruktywistow"?

Może nie tyle łatwiej, co wygodniej.
Stanowisko konstruktywistów jest takie: uznać za sensowne można tylko te obiekty matematyczne, które można zdefiniować w drodze skończonej konstrukcji. Co za tym idzie, konstruktywiści nie uznają wielu obiektów matematycznych za sensowne. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych (do jego konstrukcji używa się nieskończenie wielu kroków, a także prawa wyłączonego środka, którego konstruktywiści nie uznają). Prawo wyłączonego środka mówi, że o każdym zdaniu można powiedzieć że jest albo fałszywe, albo prawdziwe. Przekłada się to na zdanie: o każdej liczbie mozna orzec, czy jest dodatnia, jest zerem, czy jest ujemna. To intuicyjnie jasne zdanie, jak pokazał Brouwer, okazuje się wcale nie takie jasne gdy patrzeć okiem konstruktywisty. Otóż bowiem można skonktruować przykłąd liczby, o której nie będziemy mogli tego orzec w skończonej liczbie kroków , a zatem tak jakby wcaleśmy tego nie mogli orzec!  Czyli z punktu widzenia konstruktywistów isnieje taka liczba, o której nie wiadomo, czy jest dodatnia, ujemna czy jest zerem: tym sposobem Brouwer obalił prawo wyłączonego środka.Dodam jeszcze, że Brouwer zrobił to wszystko po to, by zbudować matematykę na ,,solidnych, intuicyjnych podstawach" - tą podstawą był dla niego zbiór liczb naturalnych (1,2,3,4, etc....) i na tym właśnie zbiorze chciał oprzeć wszystkie swoje konkstrukcje. Co się dało zeń wyprowadzić, było ok, a co nie, to do kosza. I tak to właśnie wygląda.

Jest to bardzo odważny pogląd, pewnie dlatego nie doczekał się wielu zwolenników i konstruktywiści są najmniej liczną grupą wśród matematyków.

Pozdrawiam.

[Quark]

Chciałbm cos dodać mimo, że nie jestem matematykiem. Odnosząc się do Posta Szacownego Terminusa, myslałem kiedys podczas studiów jak to jest .  Własnie chodzi o dziedzinę liczb rzeczywistych . Raz, że konstrukcja tych liczb jest poprzez ciągi których ( o ile dobrze pamietam) granica jest tymi liczbami. Ale w fizyce z powodzeniem ich używamy , zespolonych liczb także. Albo liczba "E" której całkowitego rozwinięcia nikt nigdy nie widział i nie zobaczy a jednak pojawia się we wszystkich najważniejszych rozwiązaniach np  mechaniki kwantowej. Gdyby w tym tkwił błąd komputery by nie działały i nie mógłbym napisać tego posta.  Podobnie jest z elektronami w atomach. Mają ścisłą energię a jednak prawie niemozliwe jest policzenie tego. Ale to jedynie początek. Bo odnosząc się do "matematyka królową nauk" (ja bym powiedział językiem fizyków)   jest inny problem bardziej fundamentalny i pewnie znany Forowiczom, a mianowicie dlaczego matematyka wogóle działa i tak dobrze daje się ją wykorzystac do opisu świata. (niezaleznie od poglądów konstruktywistów) Dziwi mnie to że po metrach wyprowadzeń otrzymujemy dobry wynik (jesli sie nie pomylimy). Albo inny problem : matematyka opiera się na zasadach logiki. Mechanika Kawantowa też jakby stoi na logice, choc nie koniecznie na zdrowym rozsądku co mogło by impllikować -> boję się to napisać

Einstein powiedział , że w nauce należy się kierować zasadami logiki , a nie zdrowym rozsądkiem, i to jakby się sprawdza w teoriach fizycznych i mimo, że nie wszyscy lubią M. Kwantową (moją ukochaną z nauk) to jest to taki całkiem niezły przykład. Choć nikt nie wie co to tak naprawdę jest funkcja falowa tzn co dokładnie reprezentuje, albo czemu energia czastki jest jakby sumą wszystkich prwawdopodobnych stanów energetycznych w jakich się może ona znależć, suma po historiach  to mimo wszystko to podejście działa nie bedące w zgodności z zasadmi zdrowego rozsądku i może nawet logiki ....

Podobało mi się zawsze to że wykładnią "prawdy" w nauce jest doswiadczenie - eksperyment. Oznacza to bowiem, że da się teorie zweryfikować. Takim wyrazistym przykładem jest lot człowieka na księzyć. jeden z Szacownych profesorów opowiadał mi kiedyś jak to wielu jego kolegów twierdziło że taki lot nie jest możliwy np. z powodu wytrzymałości materiałow itp... (niestety to fakt historyczny mało znany) Doświadczenie  wykazało wbrew niektórym , że jest to mozliwe. Problem w tym , że zawsze da się policzyć i udowodnic w fizyce cokolwiek, a jedynie doświadczenie jest w stanie to weryfikować, bo wszystko zależy od założeń a przede wszystkim od preferencji tworzącego daną teorię (preferencje moga być natury psychologicznej, dlatego stronie nieco od filozofii). Jednynie matematyka wydaje się opierać ludzkim zakusom i musi byc poukładana, w jakims sensie spójna (pomijając problem spójności matematyki).

Wniosek dla mnie z tego płynie taki : Od matematyki wszystkie rzeczy mają swe źrudło w Nauce co implikuje że i w świecie jaki tworzymy.    

Pozdrawiam

[chmura]

Dziękuję, Terminus, .
Piszesz: "Może nie tyle łatwiej, co wygodniej".  Dlaczego
zatem platonikom jest wygodniej? I jeszcze: Myślątko nr 1 : z Twojego opisu stanowiska "konstruktywistow" wydaje mi się wynikać, że oni - po prostu - narzucają pewne dodatkowe warunki na definiowanie (np. niektore definicje mają za "sensowne", a inne nie) i na przekształcanie zdań w matematyce (np. nie ufają zasadzie wyłączonego środka). Jeśli tak, to ich stanowisko jest po prostu odmianą stanowiska "formalistów", dla ktorych - jeśli dobrze rozumiem - matematyka sprowadza się do definiowania zdań pierwotnych i ich przekształcania zgodnie z przyjetymi regułami. Myślątko nr 2: Piszesz: "tym sposobem Brouwer obalił prawo wyłączonego środka." "Obalił", czy tylko pokazał, że - w praktyce - jest trudno rozstrzygnąć, czy konkretne zdania są prawdziwe, czy fałszywe? Jeśli miało miejsce to drugie, to nie wydaje mi sie to "przełomowe". Przecież dookoła jest pełno zdań, co do ktorych (na razie?) nie wiemy, czy sa prawdziwe czy fałszywe (np. "w układzie alfa centauri jest życie"). Ukłony.

[dzi]

Co to znaczy, że cię zawiodłem jako reprezentant matematyków?

Mowie ze zawiodles moje oczekiwanie, a nie ze jakos obiektywnie zawiodles jako matematyk czy cos. Chodzi o to, ze liczylem ze wyjasnienie Platonizmu bedzie... "glebsze". Takiego podejscia jak Ty to wyjasniles sie domyslalem, wiec nie bylem zaskoczony, ale wlasnie troche zawiedzony ze tak jest, bo dla mnie jest to... "miękkie" (ciezko tlumaczyc slowami ).

[chmura]

...może, po prostu, nie ma sensu rozważać komu jest "wygodniej", "formalistom", czy "platonikom"? może przypomina to rozważania nt. komu się "wygodniej" żyje: wierzącym, czy - powiedzmy - agnostykom. można wypowiadać różne słowa-argumenty: na przykład: 1. wierzącym jest latwiej życ, bo mają swoje różne "drogowskazy" (patrz: koran, biblia itd.), natomiast agnostycy muszą wszystkie dylematy etyczne i inne sami jakoś porozwiązywać... 2. nieprawda, jest odwrotnie. wierzącym jest trudniej, bo musza sprostać sformułowanym w akceptowanych przez nich pismach wymaganiom, a to nie jest łatwe, . tymczasem agnostycy, z grubsza, sami tworzą sobie te wymagania.
krótko mowiąc, można wypowiadac różne słowa na rzecz obu stanowisk ("wierzący" kontra "agnostycy"; "platonicy" kontra "formaliści"), lecz dyskusja z samej natury swej jest po prostu jałowa, nierozstrzygalna, podobnie jak spory o wyższość świąt bożego narodzenia nad świetami wielkiejnocy? uff, .

[chmura]

a ja chciałabym sie odnieść do Ciebie, quark, , a wszystko dlatego, że - moim zdaniem - piszesz o rzeczach pasjonujących i ja nie moge się powstrzymac, . no bo rzeczywsicie po prostu ciekawe jest, dlaczego matematyka (logika), czyli w końcu tylko wytwory naszych zwierzęcych mózgów, tak dobrze "pasują" do świata zjawisk empirycznych. otóż, ja - po głębokiej analizie problemu, - sądzę, że przez bardzo długi czas działał tu ewolucyjny mechanizm prób i błędow, który - przez dobór naturalny - pozwolil przetrwać tylko "organizmom" (w rodzaju ameb i ludzi ), prztwarzającym informację, z grubsza, logicznie. kto nie przetwarzał informacji LOGICZNIE, nie przezywał (bo mu się wydawało np. - wbrew zasadzie wyłączonego środka, - że tygrys może być w dwóch miejscach naraz, co utrudniało ucieczkę przed tygrysem), więc nie wydawał potomstwa (statystycznie rzecz biorąc). no to po miliardach lat na placu boju zostały tylko tacy, którzy przetwarzają informację w sposób skuteczny, czyli w minimalnej zgodzie z regułami, ktorymi rządzi się świat zjawisk empirycznych. krótko mówiąc matematyka (logika) - w pewnym minimalnym stopniu - "pasuje" do świata empirycznego, bo świat  empiryczny rzeczywiści - w jakimś minimalnym stopniu - rządzi się regulami "matematycznymi (logicznymi)". pisze "w jakimś minimalnym stopniu", bo przecież ten mechanizm prób i błędow, który stworzył "naszą" matematyke (logikę) dział się tylko w określonej "niszy ekologicznej", a nie np. w świecie mikrocząstek lub we wnętzru gwiazd. nic dziwnego, że im dalej jesteśmy od naszej "niszy ekologicznej" tym gorzej sprawuje się matematyka (logika) jako narzędzie analizy świata zjawisk empirycznych. przepraszam, już wiecej nie napisze tak długiego postu, .

[dzi]

@chmura: Konstruktywisci wlasnie odrzucaja zalozenia ktore dla wielu sa "oczywiste", choc wlasnie wcale nie sa (chocby to ze udowodnienie ze nie mozna udowodnic ustnienia dowodzi nieistnienia). A "zdania prawdziwe" Terminusa to "zdania prawdziwe logicznie", czyli zgodne z pewnymi definicjami okreslajacymi prawdziwosc. Znowu wchodzimy na laczenie swiata matematyki ze swiatem rzeczywistym, dla niektorych to jest wlasnie normalne i naturalne, dla innych (mnie) nie jest, na tym polega szkopul.

@Quark: Wlasnie o to chodzi, ze matematyka (zbiory nieprzeliczalne np.) ma sie (IMHO) nijak do swiata, nie okresla swiata, nie zostala zbudowana na bazie swiata. Zostala stworzona "obok", i okazalo sie, ze jest tak obszerna, ze mozna nią modelowac swiat, i np uzyc do tego zbioru liczb rzeczywistych. Choc jako kwantowiec (normalnie z nieba spadles, zamecze Cie ) pewnie wiesz, ze zgodnie z nasza aktualna wiedza zbior liczb rzeczywistych ma sie nijak do opisu rzeczywistosci (po zblizeniu sie do stalej Plancka). Pewnie, nadaje sie w makroskali, ale generalnie aktualnie wierzymy w dyskretną (to pojecie informatyczne chyba, chodzi o to ze przeliczalną) rzeczywistosc, wiec kicha. I takich przykladow jest mnostwo. Fajnie pisze o tym Lem w Summie, polecam jak nie czytales, moge Ci udostepnic fragment.
Co do fizyki natomiast, fajne jest "u was" to, ze wy faktycznie zajmujecie sie otaczajacym swiatem. Znowu jest problem taki, ze najpierw wymyslacie ze moglo by byc tak, a potem dopasowujecie doswiadczenie ( ), no ale przynajmniej operujecie na swiecie. Choc z drugiej strony, potega matematyki polega IMO wlasnie na tym, ze jest od swiata niezalezna, przez to zawsze aktualna i "prawdziwa", a w fizyce np. to nic nie wiadomo.

[paszta]

Odniosę się tylko do ostatniej części wypowiedzi Quarka:
Z filozofii to ja bym tak prędko nie rezygnował tylko, że rozumnej filozofii w typie Karla Poppera, na ile Go (niewiele) czytałem. Filozofii jako metanauki z logiką w środku. Nie jakiejś "pięknomowy" po prostu, jak sobie ją kandydaci na studia filozoficzne często wyobrażają.
Gdy jest jakiś zastój w jakiej dziedzinie nauki, np w experymentalnej fizyce czy w astrofizyce wówczas naukowcy, zaczynają się zwracać w kierunku metodologii nauk i filozofii ("koło zamachowe" się kręci - jechać nie mogą z obserwacją czy eksperymentami, to główkować zaczynają i to też jest b. potrzebne - wytycza cele zmienia tory myślenia, daje nowe bodźce)
Czy tak nie jest ?

[paszta]

A wracając do moich kulek.  
Oczywiście, że mogą się ułożyć inaczej, Term !
Nigdy się jednak nie układają wcale nie z racji swego kształtu, drodzy matematycy, bo ten im w tym nie przeszkadza, lecz z powodu praw fizyki. Energia swobodna układu jest wówczas najniższa, przy obecności grawitacji.
Stąd moja hipoteza, że może to mieć związek z bazaltem.
Oczywiście mogę pleść jakieś bzdury, to mnie poprawcie.
Czasem jednak głos wezmę nawet w tym wątku.
OK ?

[Luca]

no bo rzeczywsicie po prostu ciekawe jest, dlaczego matematyka (logika), czyli w końcu tylko wytwory naszych zwierzęcych mózgów, tak dobrze "pasują" do świata zjawisk empirycznych.

    Moim zdaniem wyjaśnienie tego fenomenu jest dosyć proste. Matematyka zajmuje się wykrywaniem/tworzeniem wszelkich możliwych relacji i prawidłowości. Nasze istnienie czy istnienie czegokolwiek w ogóle implikuje to, że Świat jakieś prawidłowości spełnia. To, że nasze mózgi wytapiały się przez milionlecia w piecu selekcji naturalnej spowodowało, że posiadamy intuicyjne zalążki matematyki z grubsza odpowiadającej zjawiskom w skali naszego otoczenia. Potem wystarczyło tylko zdać sobie sprawę, że każda konstrukcja jest równie dobra, byle wewnętrznie niesprzeczna (wiem, że to nieco nieściśle powiedziane) i mogliśmy wykroczyć poza dane nam przez naturę matematyczne intuicjonizmy. Następnie wystarczy tylko przymierzać (lub nawet tworzyć "na miarę") powstałe konstrukty do zjawisk otaczającego nas świata... [hi dzi! pamiętasz może przypowieść o szalonym krawcu z Summy?;>]
    Ciekawe jest pytanie jak niezależna od naszego świata jest matematyka, co częściowo pokrywa się z ciągniętym tutaj wątkiem filozofii matematyki... Niestety wątpliwości te, jak to w filozofii bywa, pozostaną chyba jedynie do prywatnego rozstrzygnięcia;/
    W kwestii Lema - o ile mi wiadomo jest on zadeklarowanym konstruktywistą, na co wpływ mógł mieć klimat panujący w środowisku radzieckich matematyków, w którym się obracał (nie wspominając o współgraniu tej doktryny z całokształtem myśli lemologicznej)...

[Quark]

Nie mogę przez was spać. Już pokochałem to Forum

Pozdrawiam

[dzi]

[hi dzi! pamiętasz może przypowieść o szalonym krawcu z Summy?;>]

To moj zdecydowanie ulubiony fragment w zdecydowanie ulubionym rozdziale.
Ulubionym nie w summie, ulubionym w calej literaturze
Na forum jest wklejony z 3, 4 razy. W sieci ogolnie z 20.

Nie mogę przez was spać. Już pokochałem to Forum

Alez ja dopiero zaczynam! Kolejnym tematem do pogadania z Toba by byla teoria Heisenberga oraz nieistniejaca jeszcze ogolna teoria grawitacji (czyli kwantowa teoria grawitacji). Ale poki co, musze znalezc miejsca w juz istniejacych watkach w ktorych potrzebny byl mi fizyk, niestety na to potrzeba czasu. Mozesz sam sprobowac kliknac "szukaj" i wpisac "fizyk". Poczytaj tematy, jak na szybkiego patrzalem to troche tam tego bylo ciekawego i chetnie bym uslyszal opinie fizyka na niektore rzeczy.

[Terminus]

Cieszę się bardzo, Quark, że już ,,pokochałeś to forum". Fajnie jest, nie? Najlepszy jest dzi i jego summo-kracja, hehe.

Nie mogę teraz za dużo pisać, jak zwykle zrobię 'writing-spree' wieczorem, ale na szybko dodam jedynie nt. tego co pisał Quark że dziwi go dlaczego matematyka pasuje do świata. Myślę że można krótko uciąć to używając ukochanego przez wiadomogo kogo porównania matematyka do krawca: matematycy szyją co popadnie i jak popadnie - jeśli coś pasuje, to ok (choć to i tak nie nasza sprawa) jeśli nie, to trudno, może kiedyś się dopasuje (też nie nasz problem). Oczywiście, że wiele obiektów i teorii pasuje do ,,rzeczywistości'' (czyli, jak to mawiają fizycy, opisują dobrze pewne doświadczenia) ale mamy też całe stada takich, do których nic nie pasuje (jeszcze?).

No, Quark mam prośbę jeszcze - rzuć jakąś nazwą dobrego podręcznika wprowadzającego w quantum mechanics, może być trudny.

Pozdrawiam

[Quark]

Jak trudny to  Schiff, Mechanika Kwantowa.
Ale Polacy piszą o tych sprawach wyjątkowo nudno czyli :

dużo wyprowadzeń i mało wniosków. To mi się podoba u Amerykanów , że postępują zupełnie odwrotnie. Jaka kolwiek książka Anglo-języczna będzie owiele lepsza.

A w kwestii matematyki : jakoś od pewnego czasu się dzieje , że co matematycy wymyślą to fizycy stosują . I obiekty czasem zupełnie abstrakcyjne w matematyce stają się rzeczywiste w fizyce. Mnie to jednak dziwi mimo całego ewolucyjnego spojrzenia na człowieka. Ale może tu własnie tkwi wyjaśnienie problemu. Dziś trudno  się zamknąć w jednej dziedzinie, więc ciszę się bardzo, że na forum są matematycy i filozofowie , może i biolodzy i myśliciele .  Bo dopiero zderzenie poglądów ma sens i jest moim zdaniem największą wartością tego Forum. Dla mnie największym darem jest wymiana poglądów nie zaleznie kto ma  rację.

Pozdrawiam

[chmura]

tak. chmura podobać się co pisać quark, .