Autor Wątek: Matematyka krolowa nauk ;)  (Przeczytany 25065 razy)

dzi

  • Gość
Matematyka krolowa nauk ;)
« dnia: Maj 24, 2005, 12:25:19 pm »
Zakladam temat coby nie offtopic w innym bo mocno zboczylismy, w kierunku matematyki wlasnie.

Cytuj
Hm... dzi, spójrz prawdzie w oczy: ty w niczym nie widzisz nic niesamowitego ::) Mylę się?
W przeciwnym wypadku coś na pewno by Cię w nich zaintrygowało...

Ale nie ukrywam, że rozmowy o fraktalach najlepiej wychodzą osobiście...
Czlowiek mnie zachwyca ;) Miedzy innymi dlatego ze potrafi zastanawiac sie nad czyms takim jak fraktale ;)

A troche wchodzac na temat dalej (choc robi sie niebezpieczny off-top).
Kiedys zapytalem: czy nie jest czyms normalnym, ze majac do dyspozycji wszystkie formuly matematyczne mozemy pokryc kazdy dowolny zbior w dowolny sposob? Czy nie wynika z tego ze czesc, chocby bardzo mala, z tych zbiorow bedzie "ladna"? A czy czesc z nich nie bedzie podobna do drzewek itd?
Druga rzecz ktora mnie nurtuje. Wezmy zbior mandelbrota. O jego ksztalcie decyduja krawedzie, i podjecie decyzji na krawedzi czy punkt nalezy do zbioru czy juz nie. Jak sie ma do tego nieprzeliczalnosc zbioru liczb zespolonych?
Albo "istnienie" zbioru mandelbrota wg Platonistow. Zbior mandelbrota nie istnial we wszechswiecie jako byt niezalezny lecz zostal ztworzony przez czlowieka i to na bazie stworzonego przez niego systemu formalnego. Normalne jest ze jak sie umowimy ze przeksztalcamy symbole w okreslone sposoby to mozemy zapisac formuly takie ktorych nie bedziemy mogli obliczyc do konca w skonczonym czasie.

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #1 dnia: Maj 24, 2005, 01:50:39 pm »
Cytuj
Zakladam temat coby nie offtopic w innym bo mocno zboczylismy, w kierunku matematyki wlasnie.


Kiedys zapytalem: czy nie jest czyms normalnym, ze majac do dyspozycji wszystkie formuly matematyczne mozemy pokryc kazdy dowolny zbior w dowolny sposob? Czy nie wynika z tego ze czesc, chocby bardzo mala, z tych zbiorow bedzie "ladna"? A czy czesc z nich nie bedzie podobna do drzewek itd?


Nie możemy pokryć każdego "dowolnego zbioru" w dowolny sposób.

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #2 dnia: Maj 24, 2005, 01:53:19 pm »
Cytuj
Druga rzecz ktora mnie nurtuje. Wezmy zbior mandelbrota. O jego ksztalcie decyduja krawedzie, i podjecie decyzji na krawedzi czy punkt nalezy do zbioru czy juz nie. Jak sie ma do tego nieprzeliczalnosc zbioru liczb zespolonych?


Niestety, mój anarchizujący przyjacielu, nie może być mowy o czymś takim jak ''krawędź zbioru Mandelbrota", z tej prostej przyczyny, że M jest zbiorem granicznym. Nikt nigdy nie widział i nie zobaczy jego krawędzi. Nie jest zatem prawdziwym zdanie, które napisałeś: ,,o jego kształcie decydują krawędzie".


A pytania o to, jak się ma to do nieprzeliczalności zespolonych nie rozumiem.
« Ostatnia zmiana: Maj 24, 2005, 01:54:22 pm wysłana przez Terminus »

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #3 dnia: Maj 24, 2005, 01:56:23 pm »
Cytuj
Albo "istnienie" zbioru mandelbrota wg Platonistow. Zbior mandelbrota nie istnial we wszechswiecie jako byt niezalezny lecz zostal ztworzony przez czlowieka i to na bazie stworzonego przez niego systemu formalnego. Normalne jest ze jak sie umowimy ze przeksztalcamy symbole w okreslone sposoby to mozemy zapisac formuly takie ktorych nie bedziemy mogli obliczyc do konca w skonczonym czasie.


Platoniści nie zgadzają się z Tobą. Otóż twierdzisz, że M nie istniał we wszechświecie. Platoniści stwierdzą, że istniał, tylko nie został wcześniej odkryty. Drugiego zdania  w tym akapicie ("Normalne jest...") nie rozumiem.

dzi

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #4 dnia: Maj 24, 2005, 03:38:06 pm »
1. Podaj przyklad zbioru ktorego nie moge pokryc jakims algorytmem. (zreszta no dobra, czesc takich jest, ale np mandelbrot jest na zespolonych a ten moge pokryc jak mi sie podoba na 20miliardow sposobow)
2. M nie jest granicznym bo zespolone sa nieprzeliczalne.
Przyklad.
Bierzemy zbior z rozdzielczoscia 0.01 i liczymy, punkt 0.01 powiedzmy ze nalezy do M a 0.02 juz nie. Teraz gdy "zwiekszymy rozdzielczosc" i np miezymy z dokladnoscia 0.005 to wtedy mamy dwie jednostki na 0.02, z tym ze moze byc tak, ze jedna z nich (powiedzmy 0.020) nalezy do M a 0.025 juz nie. (zreszta pewnie wlasnie wytlumaczylem niekrawedziowosc). Zatem zadna krawedz jaka rysujemy nie jest prawdziwa, bo zmienia sie przy "wiekszej rozdzielczosci". Tak jak sie teraz zaczelem zreszta nad tym zastanawiac to rozumiem ze M sie przelicza za kazdym razem od nowa a nie bierze poprzednie nalezace i tylko z nich wylicza albo cos podobnego?
3. Jesli umowimy sie, ze mamy symbole ktorymi mozemy liczyc, potem ze jesli napiszemy przecinek i dwie takie liczby to beda to czesci dziesiate calosci (l. rzeczywiste) i jesil potem umowimy sie ze jak te rzeczywiste znowu podzielimy ze jak piszemy "i" to mamy czesc urojona a jak "i" nie piszemy to mamy czesc rzeczywista. I jak potem p. Mandelbrot zaproponuje formule (nie pamietam jak wyglada, pamietam jedynie ze jest "prosta" ;) ) oparta na tym zbiorze to mozliwe jest ze bedzie ona wygladala "ladnie", ze bedzie "nigdy do konca nie obliczona" itd. Nijak nie ma sie to jednak to jej istnienia przed istnieniem pana Mandelbrota.

Deckert

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #5 dnia: Maj 24, 2005, 05:01:03 pm »
Cytuj
2. M nie jest granicznym bo zespolone sa nieprzeliczalne.
Przyklad.
Bierzemy zbior z rozdzielczoscia 0.01 i liczymy, punkt 0.01 powiedzmy ze nalezy do M a 0.02 juz nie. Teraz gdy "zwiekszymy rozdzielczosc" i np miezymy z dokladnoscia 0.005 to wtedy mamy dwie jednostki na 0.02, z tym ze moze byc tak, ze jedna z nich (powiedzmy 0.020) nalezy do M a 0.025 juz nie. (zreszta pewnie wlasnie wytlumaczylem niekrawedziowosc).


To co opisałeś bardziej mi podpada pod problem nieograniczoności zbioru.

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #6 dnia: Maj 24, 2005, 06:26:43 pm »
Haha, ale będę miał ubaw...

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #7 dnia: Maj 24, 2005, 06:43:08 pm »

Cytuj
1. Podaj przyklad zbioru ktorego nie moge pokryc jakims algorytmem. (zreszta no dobra, czesc takich jest, ale np mandelbrot jest na zespolonych a ten moge pokryc jak mi sie podoba na 20miliardow sposobow)


Może mi napisz najpierw co to znaczy ,,pokryć jakimś algorytmem".

Cytuj
2. M nie jest granicznym bo zespolone sa nieprzeliczalne.


No, tu prawie doznałem apopleksji.  To w takim razie uważasz, że pojęcie granicy jest zdefiniowane tylko w zbiorach przeliczalnych?  

Cytuj

Przyklad.

Bierzemy zbior z rozdzielczoscia 0.01 i liczymy, punkt 0.01 powiedzmy ze nalezy do M a 0.02 juz nie. Teraz gdy "zwiekszymy rozdzielczosc" i np miezymy z dokladnoscia 0.005 to wtedy mamy dwie jednostki na 0.02, z tym ze moze byc tak, ze jedna z nich (powiedzmy 0.020) nalezy do M a 0.025 juz nie. (zreszta pewnie wlasnie wytlumaczylem niekrawedziowosc). Zatem zadna krawedz jaka rysujemy nie jest prawdziwa, bo zmienia sie przy "wiekszej rozdzielczosci".


I czego ten przykład dowodzi? Niedoskonałości Twojego komputera? Bo nic w nim nowego więcej nie ma. Ostatnie zdanie, które napisałeś, jest prawdziwe.Oznacza to, iż rozumiesz, że przy stopniowym, jak to powiedziałeś ,,zwiększaniu rozdzielczości'' otrzymujemy coraz dokładniejsze przybliżenie granicy. Granicy, powtarzam. Sam, pisząc to co napisałeś, podkreślasz fakt, iż mowa o pewnej granicy, a przecież chciałeś temu zaprzeczyć. Niestety, przykro to stwierdzić, ale kupy to się to nie trzyma.
Cytuj

 Tak jak sie teraz zaczelem zreszta nad tym zastanawiac to rozumiem ze M sie przelicza za kazdym razem od nowa a nie bierze poprzednie nalezace i tylko z nich wylicza albo cos podobnego?


Istotnie, fakt, czy dany punkt należy lub nie należy do M nie ma nic wspólnego z tym, czy należą doń jakiekolwiek inne punkty. A zatem, używając twojej terminologii nie ,,bierze się poprzednich należących". Tzn można, ale tylko by przyśpieszyć obliczenia,.

dzi

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #8 dnia: Maj 24, 2005, 08:04:57 pm »
Przez "pokryc" rozumialem "wymienic wszystkie elementy zbioru stosujac algorytm". Oczywiscie mozna wymienic czesc - patrz zbior M.

Co do reszty to ciesze sie ze udalo mi sie Ciebie sprowokowac do odpowiedzi, dowiedzialem sie dzieki temu kilku rzeczy ;) Z tym ze obawiam sie ze dalsze drazenie tematu moze sie skonczyc niemilo, i siebie bym za to nie winil...  :-/
Ale zaryzykuje, czego sie nie robi dla wiedzy ;)

Napisales ze M nie jest zbiorem krawedziowym (w poprzednim poscie sie walnelem, mialem (chyba) na mysli niekrawedziowy a nie niegraniczny), mozesz wyjasnic co to znaczy? (innymi slowy: podac definicje krawedziowosci badz krawedzi)

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #9 dnia: Maj 24, 2005, 10:27:00 pm »
Nie, nie napisałem że zbiór Mandelbrota jest  lub nie jest ,,krawędziowy''. Nie użyłem nigdzie takiego pojęcia, ponieważ go nie znam. Nie ma takiego w matematyce.

Pytasz, co to jest krawędź. Niestety, pomijając geometrię przestrzenną i w ogóle geometrię, gdzie pojęcia "krawędź'' używa się intuicyjnie, takie pojęcie także nie funkcjonuje.

Możemy używac pojęcia brzegu, które jest dobrze zdefiniowane. Intuicyjnie może pokrywac się z wyrazem ,,krawędź''. Brzeg zbioru to zbiór tzw. punktów brzegowych. Punkt brzegowy (nazwijmy B) to taki, który sam zawiera się w danym zbiorze (tu w M), ale kiedy rozpatrzymy jakiekolwiek otoczenie B, tj. kulę o środku w B (mówiąc potocznie, koło o środku w B) to w tej kuli znajdą się zarówno punkty z M, jak i punkty z dopełnienia M (czyli spoza M).

To wlaśnie zatem zbiór punktów takich jak B (brzegowych) jest nazwany brzegiem zbioru, i możnaby go od biedy nazywac krawędzią. Sęk w tym że ani jeden taki punkt nie jest znany explicite. Znane są tylko przyblżenia tych punktów. Przybliżenia te otrzymuje się, jak wiadomo, rysując na komputerach.
Wraz z każdym przybliżeniem ,,krawędź'' zbioru M wydłuża się, ujawniają się jej, ukryte wcześniej szczegóły. Mówiąc ,,ujawniają się'' mam na myśli ,,ujawniają się oczom ludzkim za pośrednictwem monitora komputerowego''. Graniczna długośc brzegu zbioru M to oczywiście nieskończonośc. Jest więc to krzywa płaska, która, choc cała mieści się w skończonym obszarze, ma długośc równą nieskończoności. To typowe zachowanie brzegów zbiorów fraktalnych.

Innym przykładem na to (brzeg nieskończenie długi) może byc np. płatek śniegu Kocha, trzy przybliżenia poniżej:
.

Cóż, tyle mogę Ci powiedziec o brzegu zbioru M. Jeśli chodzi o powierzchnię jego, to można ją oszacowac, czyli obliczyc z niezłą dokładnością.


paszta

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #10 dnia: Maj 25, 2005, 09:56:40 am »
 Tylko się nie podgryzać poproszę na łonie swej Królowej ale ssać ją.
Edredon zacierać ręce  :D
Przybierać postać sroki z "Misia Kolargola" i skrzeczeć:
"a mówiłem, że to się źle skończy"  :)
« Ostatnia zmiana: Maj 25, 2005, 09:58:35 am wysłana przez paszta »

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #11 dnia: Maj 25, 2005, 01:17:37 pm »
Ja tez mówię, ze lepiej nie rozmawiać na takie tematy na forach, lepiej przy piwku, gdzie czasu nie brakuje. Może w takim razie powinienem opuścić też ten wątek... w końcu nic to z Lemem wspólnego ni ma.
« Ostatnia zmiana: Maj 25, 2005, 01:18:14 pm wysłana przez Terminus »

dzi

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #12 dnia: Maj 26, 2005, 10:27:23 am »
Ssac łono?!  :o
;)

Anyway, dzieki Term za opis :)
Napisz jeszcze na zakonczenie co wg. Ciebie jest takiego "fajnego" we fraktalach. Tylko to ze nie wiemy jak bedzie wygladalo kolejne przyblizenie?

Terminus

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #13 dnia: Maj 26, 2005, 02:11:40 pm »
Najbardziej fascynuje mnie to, że niezwykle dobrze nadają się do opisu przyrody. Jest to jakby ,,wyższa szkoła jazdy'' w porównaniu z geometrią euklidesową starożytnych Greków, gdzie mieliśmy do dyspozycji, proste, punkty, etc.  Tymczasem okazuje się, że natura jest ,,chętniejsza'' i poddaje się opisowi łatwiej przy użyciu fraktali. Pęknięcia skalne, dreny, liście, kalafiory, narosty mchu, powierzchnie korozyjne metali - wiele z tych zjawisk zachowuje się i rozwija podług pewnych algorytmów identycznych z algorytmami do generowania fraktali. Tak więc fraktale stają się modelami wielu obiektów przyrodniczych.
Oczywiście nie ma tu mowy o żadnej powierzchownej fascynacji. Laicy znają fraktale, ponieważ kilka programów komputerowych potrafi je narysowac w sposób atrakcyjny wizualnie. Tymczasem matematycy nie zwracają prawie na ten ich wygląd uwagi. Ich fascynacja zasadza się innym gruncie: otóż fraktale są zbiorami punktów przyciągania pewnych ciekawych systemów dynamicznych, mają niecałkowity wymiar, są nieprzebranym morzem kontrprzykładów w topologii (są wśród nich przykłady zbiorów niemierzalnych, krzywych, po których nie można całkowac...itp.), są niezwykle istotne w dynamice, w biomatematyce, etc, etc.  Wprowadzają sporo niepokoju do najbardziej poważanych działów topologii. Jednym słowem, jest to naprawdę bogata dziedzina.
Niemniej trzeba przyznac, ze zachodzi tu pewien głupawy paradoks - nikt nie interesował się fraktalami na powaznie przed Mandelbrotem, który zainteresował się nimi z powodu ich wyglądu... Potem wszyscy zaczęli się interesowac ich wyglądem, a Mandelbrot przestał. Heh.
« Ostatnia zmiana: Maj 26, 2005, 02:14:49 pm wysłana przez Terminus »

dzi

  • Gość
Re: Matematyka krolowa nauk ;)
« Odpowiedź #14 dnia: Maj 26, 2005, 08:28:51 pm »
No w kooooncu ktos mi normalnie wytlumaczyl co jest ciekawego we fraktalach. OK, teraz je akceptuje ;)