Autor Wątek: Nieskończoność i jej różne wymiary  (Przeczytany 5616 razy)

Stanisław Remuszko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 7678
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #135 dnia: Czerwiec 04, 2018, 04:21:55 pm »
Uważam, że oznaczanie mocy zbioru liczb rzeczywistych literą "c" (gotycką) jest od zawsze ogólnoświatowym standardem.

Uprzejmie polecam zainteresowanym: https://pl.wikipedia.org/wiki/Hipoteza_continuum

R.
Ludzi rozumnych i dobrych pozdrawiam serdecznie i z respektem : - )

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 172
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #136 dnia: Czerwiec 04, 2018, 04:25:33 pm »
W porządku. Mamy zatem do czynienia z kilkoma różnymi standardami. Nic nowego :)

https://xkcd.com/927/

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4317
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #137 dnia: Czerwiec 04, 2018, 04:30:07 pm »
W porządku. Mamy zatem do czynienia z kilkoma różnymi standardami. Nic nowego :)

https://xkcd.com/927/
:D
Chyba jednak jeden - albo dwa: jeśli bardzo chcesz - jak Cantor;)
Jak zauważyliśmy, moc continuum (a więc R), 2^alef0, oznaczana jest zwykle literą C.
Cantor niewątpliwie wolałby oznaczyć ją jako alef1, przez co rozumiał "następną najmniejszą" liczbę kardynalną po alef0.  Włożył wiele wysiłku w udowodnienie, że 2^alef0 = alef1, co się nie powiodło, i od tej pory ta supozycja, znana pod nazwą hipotezy continuum, stał się jednym z najbardziej znanych nierozwiązanych problemów matematycznych.

R.P. "Droga do rzeczywistości" str.355
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

xpil

  • Full Member
  • ****
  • Wiadomości: 172
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #138 dnia: Czerwiec 04, 2018, 04:45:07 pm »
Przypuszczam, że z hipotezą continuum może być tak, jak z Wielkim Twierdzeniem Fermata lub z hipotezą ABC. Wszyscy przyjmują je za prawdziwe przez setki lat, aż się znajdzie spryciarz, który je w końcu udowodni.

Stanisław Remuszko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 7678
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #139 dnia: Czerwiec 04, 2018, 05:23:32 pm »
@ xpil

Wbrew Panu, nie mamy do czynienia z kilkoma różnymi standardami powszechnie uznawanymi w matematyce. Od początku do dziś jest jeden i ten sam standard. Gotyckie "c".

R.

pjes: plus, ma się rozumieć, duży (ale skończony) zbiór "standardów prywatnych" :-)
Ludzi rozumnych i dobrych pozdrawiam serdecznie i z respektem : - )

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10593
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #140 dnia: Czerwiec 04, 2018, 05:38:41 pm »
Chyba z c jest gorzej, bo z Godla wiadomo, że na bazie aksjomatów teorii mnogości tego twierdzenia nie da się udowodnić, a ściślej można dowieść zgodnie z nimi że jest fałszywe bądź prawdziwe. Co jednakże nie jest tym samym, co NIE WIEDZIEĆ (nie mieć dowodu), czy jest prawdziwe. Więc to wg mnie jest trochę inaczej niż z Fermatem.
Nie mam racji a i tak maździory witosieją w terpentynie!
Z Globalnym uważaj Pan, on tylko udaje tępotę! Potem wciąga do jamy i zagryza!© Remuszko.
Ukłony, maziek

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10593
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #141 dnia: Czerwiec 11, 2018, 09:44:20 pm »
Tak nieco apropos kolejnej liczby rzeczywistej...
http://wyborcza.pl/7,75400,23524772,matematyka-wolnej-woli.html
Nie mam racji a i tak maździory witosieją w terpentynie!
Z Globalnym uważaj Pan, on tylko udaje tępotę! Potem wciąga do jamy i zagryza!© Remuszko.
Ukłony, maziek

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10593
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #142 dnia: Czerwiec 26, 2018, 08:13:43 pm »
To whom it may concern...

Czytam akurat, a raczej mozolnie fedruję przez "Podstawy matematyki" Iana Stewarta i Davida Talla, jest tam rozdział o tych szatańskich alefach... Do którego mam daleko, ale kartkując książkę natrafiłem, to przeleciałem metodą ściganego kota w centrali rybnej... Nie znalazłem odpowiedzi na poruszane tu kwestie, ale postanowiłem napisać do profa Stewarta, gdyż jego adres na Warwick University jest dostępny wszem i wobec. I ku memu zdumieniu prof odpisał z dnia na dzień. Poniżej moje wypociny i odpowiedź :) .


Dear professor,
I am reading your great book and being at cardinal numbers I remember discussion I once had - would you please point, where the truth is?

This is something similar to Galileo square numbers vs N numbers.
If we take two infinite sets - N numbers and even numbers, they are both alef zero, so both sets have the same cardinality.

First set is an arithmetic progression with common difference equal to 1, and second equal to 2.
when a1=0 we can divide n-term sum of first progression by second using expression for sum of n-term, this will be:

[n(n-1)1/2] / [n(n-1)2/2]

what is independent of n and equal to 1/2. So: n-term sum of first progression divided by n-term sum of second is always 1/2.
And the question: is this correct to say, that when n is infinite it is still true, that infinite sum of even numbers set is 2 times bigger than adequate sum of N numbers set? Despite the fact, that cardinality is equal?

sincerely yours...



Odpowiedź profa:

You have to be very careful when considering
the infinity you get by adding numbers together. One way to do this
would be to take sets with 1, 2, 3, and so on members, and form
the disjoint union. That would give alpeh-zero in both cases
you mention.

It is a rather nice paradox that the sum of the even numebrs
is ‘obviously’ twice that of all numbers, despite being
a subset. The resolution is that 2 times aleph-0 equals aleph-0
in Cantor’s set-up. So you’re right — but it’s not contradictory.
Nie mam racji a i tak maździory witosieją w terpentynie!
Z Globalnym uważaj Pan, on tylko udaje tępotę! Potem wciąga do jamy i zagryza!© Remuszko.
Ukłony, maziek

Stanisław Remuszko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 7678
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #143 dnia: Czerwiec 26, 2018, 09:04:22 pm »
Congratulations, Mr. maziek!!!

R.

pjes: nie wykluczałbym z Forum rozumowo (od: "rozumieć") jego pełnoprawnych uczestników-młotków nie władających angielskim. Zwracam nieśmiało Twą uwagę na fakt, że to nadal jest "Forum po polsku", mimo że obok istnieje "Forum in English"... 
Ludzi rozumnych i dobrych pozdrawiam serdecznie i z respektem : - )

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10593
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #144 dnia: Czerwiec 26, 2018, 09:52:37 pm »
Chyba nikt z zajętych tą dyskusją nie ma problemów z angielskim (chyba, że się mylę) - ale leciało to tak, pomijając choreografię:


Czy zechciałby profesor wskazać, gdzie leży prawda?
Problem podobny do galileuszowego o kwadratach i liczbach naturalnych.

Jeśli weźmiemy dwa nieskończone zbiory: liczb naturalnych i liczb parzystych to oba są mocy alef zero, mają więc tą samą moc.
Pierwszy zbiór jest ciągiem arytmetycznym z różnicą 1, a drugi z różnicą 2.
Przyjmując n1=0 możemy podzielić sumę n-wyrazów pierwszego ciągu przez sumę drugiego, korzystając ze wzoru na sumę n-wyrazów ciągu, co daje:

[n(n-1)1/2] / [n(n-1)2/2]

co jest niezależne od n i równe 1/2. Tak więc suma n-wyrazów pierwszego ciągu podzielona przez sumę n-wyrazów drugiego daje zawsze 1/2.

Pytanie: czy można powiedzieć, że dla n nieskończonego również jest prawdą, że suma nieskończenie wielu liczb parzystych jest 2x większa od odpowiedniej sumy liczb naturalnych? Mimo tego, że moc zbiorów jest równa?


Odpowiedź:

Trzeba być bardzo uważnym rozważając nieskończoność powstałą poprzez dodawanie liczb. Jedną z możliwości jest tworzenie (pod)zbiorów 1, 2, 3 itd. -elementowych (zbiorów N i parzystych - przyp. mój) i ich sum rozłącznych. To pokaże, że oba zbiory są mocy alef zero.

To dość sympatyczny paradoks, że zbiór parzystych jest "oczywiście" większy od zbioru naturalnych, choć jest jego podzbiorem. Rozwiązaniem (paradoksu) jest, że 2*alef-zero równa się alef-zero wg założenia Cantora. Tak więc masz rację - i nie ma w tym sprzeczności.
Nie mam racji a i tak maździory witosieją w terpentynie!
Z Globalnym uważaj Pan, on tylko udaje tępotę! Potem wciąga do jamy i zagryza!© Remuszko.
Ukłony, maziek

liv

  • Global Moderator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4223
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #145 dnia: Czerwiec 26, 2018, 11:03:06 pm »
Cytuj
Chyba nikt z zajętych tą dyskusją nie ma problemów z angielskim (chyba, że się mylę)
Mylisz się.  :)
Cytuj
, że to nadal jest "Forum po polsku", mimo że obok istnieje "Forum in English"... 
Bez przesady. Wystarczy skorzystać z automatycznego tłumacza, całkiem nieźle już sobie radzi. Tak przetłumaczył odpowiedź - spoko, da się zrozumieć.
Podczas rozważania musisz być bardzo ostrożny
nieskończoność, którą uzyskujesz, dodając razem liczby. Jeden sposób to zrobić
byłoby wziąć zestawy z 1, 2, 3 itd. członkami i formularzem
rozłączny związek. W obu przypadkach dałoby to zero
wspomniałeś.
To raczej niezły paradoks, że suma parzystych liczb
jest "oczywiście" dwa razy większy od wszystkich liczb, mimo że jest
podzbiór. Rozdzielczość jest taka, że 2 razy aleph-0 równa się aleph-0
w ustawieniu Cantora. Masz rację, ale nie jest to sprzeczne.

Więc podaję link na wypadek wszelki następny
https://translate.google.pl/?hl=pl
Tłumaczy też całe strony, wystarczy wkleić adres po lewo i kliknąć w tenże adres przetłumaczony - po prawo.
Leniwy wałkoń i wielki waleń mozolnie zgłębiał tajemnice bytu, nazbyt głębokie dla wielkich wałkoni i leniwych waleni.
Winnie the Pooh -  o Wieloryba Polikarpia rozmowach ze śmiercią

olkapolka

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 4317
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #146 dnia: Czerwiec 26, 2018, 11:57:48 pm »
To whom it may concern...
For whom the bells tolls...;)
Fiuuu...jestem pod wrażeniem, że lubiony pan od Załamania chaosu wdaje się w mailowe objaśnianki:)
Ale tak to rozbieram i czy to nie to samo, o czym pisaliśmy gdzieś na tej stronie dyskusji:
http://forum.lem.pl/index.php?topic=1629.msg73262#msg73262
Suma wartości elementów i moc zbioru - w tym nie ma sprzeczności.
Mężczyźni godzą się z faktami. Kobiety z niektórymi faktami nie chcą się pogodzić. Mówią dalej „nie”, nawet jeśli już nic oprócz „tak” powiedzieć nie można.
S.Lem, "Rozprawa"
Bywa odwrotnie;)

Stanisław Remuszko

  • Juror
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 7678
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #147 dnia: Czerwiec 27, 2018, 12:45:22 am »
Cytuj
Suma wartości elementów i moc zbioru - w tym nie ma sprzeczności.

W pełni podzielam opinię Ol (i prof. Stewarta), lecz jeszcze bym zaostrzył/sprecyzował/uwypuklił:

W różnych liczbowych zbiorach tej samej mocy alefzero suma arytmetyczna elementów może być dowolnie różna.

Prawda czy fałsz?

R. 

pjes dwie minuty później: dzięki, Livie, za podpowiedź translacyjną :-)

« Ostatnia zmiana: Czerwiec 27, 2018, 12:47:38 am wysłana przez Stanisław Remuszko »
Ludzi rozumnych i dobrych pozdrawiam serdecznie i z respektem : - )

maziek

  • YaBB Administrator
  • God Member
  • *****
  • Wiadomości: 10593
  • zamiast bajek ojciec mi Lema opowiadał...
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #148 dnia: Czerwiec 27, 2018, 09:00:57 am »
wziąć zestawy z 1, 2, 3 itd. członkami i formularzem rozłączny związek.
Genialne ;) .
« Ostatnia zmiana: Czerwiec 27, 2018, 09:02:40 am wysłana przez maziek »
Nie mam racji a i tak maździory witosieją w terpentynie!
Z Globalnym uważaj Pan, on tylko udaje tępotę! Potem wciąga do jamy i zagryza!© Remuszko.
Ukłony, maziek

Lieber Augustin

  • Senior Member
  • *****
  • Wiadomości: 405
    • Zobacz profil
Odp: Nieskończoność i jej różne wymiary
« Odpowiedź #149 dnia: Czerwiec 27, 2018, 12:18:30 pm »
Suma wartości elementów i moc zbioru - w tym nie ma sprzeczności.
Wydaje się, przez długi czas usiłowałem dowieść tego.

Cytuj
It is a rather nice paradox that the sum of the even numebrs
is ‘obviously’ twice that of all numbers, despite being
a subset.
Może czegoś nie rozumiem, ale dla mnie nie jest to aż tak obviously. Wszystko zależy od sposobu określenia zbioru N.
Definicja naturalnych jako sumy parzystych 2n i nieparzystych 2n-1 wydaje mi się nie mniej "obviously", i na pozór nie kłóci się ze zdrowym rozsądkiem. Za to, przyjmując takie założenie, unikamy dość poważnego paradoksu - "część większa całości".

Cytuj
Rozwiązaniem (paradoksu) jest, że 2*alef-zero równa się alef-zero wg założenia Cantora. Tak więc masz rację - i nie ma w tym sprzeczności.
Ciężka to sprawa - dyskutować z profesorem :)
Ale, moim zdaniem, sprzeczność pozostaje nadal. "2*alef-zero równa się alef-zero" dotyczy mocy zbioru, podczas gdy chodzi nam o sumie wartości elementów. Czy ja się mylę?

Np. w klasie jest 20 dziewczyn i 10 chłopaków. Ile razy więcej jest dziewczyn niż chłopaków? 20/10=2. Zbiór jest dwukrotnie większy.
Np. w klasie jest 10 dziewczyn i 10 chłopaków. Dziewczęta ważą przeciętnie 35 kg, chłopaki natomiast 70 kg. Ile razy większy jest zbiór dziewczyn niż chłopaków? 10*70/10*35=2. Zbiór jest dwukrotnie większy.
Czy moje rozumowanie jest poprawne?